高校数学III 正接関数の導関数—商の公式から分母と定義域を読み取る｜武蔵野個別指導塾

商の微分で正接の公式を導き、合成した角の除外点を求めて、微分係数を代入できる範囲を確かめます。

よくあるのは演習ノートで、正接が定義されない角を導関数に代入してしまう場面です。公式の分母に0が現れると計算が止まりますが、それは約分して消すべき障害ではありません。元の関数がその点で値を持つかを先に調べる合図です。角を変数にした正接と、角に式を入れた正接を区別し、使える点を残したまま微分します。

どこで条件が必要になるか

正接の導関数を求める問いでは、まず sin x / cos x を商として微分し、分子を整理する形が現れます。このとき分母が0でないという商の条件が、元の正接の定義域と一致することが要点です。分子が1にまとまっても、分母の条件は消えません。

次に、tan(3x + 1) のように角が x 自身でない場合があります。外側の正接を微分した後で、内側の角の導関数を掛けます。定義域を調べる際にも x ではなく 3x + 1 が余弦を0にするかを見ます。角は弧度法で表し、以下の整数 k は正、負、0を含みます。

さらに、指定された点で微分係数を求める場合は、公式へ代入する前に元の関数がその点で定義されることを確認します。値が存在しない点では、その点を中心とする差商を作れないため、通常の意味で微分係数もありません。近くの点で導関数が計算できることとは別の判断です。

商から正接の公式へ

角 x を弧度法で測るとき、正接は cos x ≠ 0 の範囲で tan x = sin x / cos x と定義されます。cos x = 0 となるのは x = π/2 + kπ です。したがって正接の定義域は、実数からこれらの点を除いた集合です。

図1のように、分母の条件を先に通過してから商の微分公式を適用します。sin x と cos x は実数全体で微分可能であり、それぞれの導関数は cos x と -sin x です。商の公式は分母が0でない点で適用できます。

図1の右端の式も、左端で確認した範囲で読む必要があります。計算を1行ずつ追うと次のようになります。

(tan x)′ = (sin x / cos x)′
         = {cos x・cos x - sin x・(-sin x)} / cos² x
         = (cos² x + sin² x) / cos² x
         = 1 / cos² x

最後には恒等式 sin² x + cos² x = 1 を使いました。cos² x は (cos x)² の意味です。分子が1になることは、cos x が0の点で割り算が許されることを意味しません。元の tan x と導関数の式の双方で、その点は除外されます。

角を u = g(x) とする合成関数では、g が対象の点で微分可能で、cos g(x) ≠ 0 なら、連鎖律により次の式を得ます。

(tan g(x))′ = g′(x) / cos² g(x)

角の値 g(x) が正接の定義域に入ることと、内側の関数 g が微分可能であることは別々の条件です。例えば内側が定義されない点では、余弦を調べる以前に元の式を作れません。また、内側の導関数が0でも、角が許される点なら上式は使え、導関数の値は0です。0を掛けることと、0で割ることを混同しないでください。

基本例題：一次式の角

関数 f(x) = tan(2x − π/3) の定義域と導関数を求め、x = π/6 における微分係数を分数で求めてください。除外点は整数 k を用いて表します。

内側の角は実数全体で微分可能です。まず余弦が0となる x を除きます。

2x - π/3 = π/2 + kπ
2x = 5π/6 + kπ
x = 5π/12 + kπ/2

したがって定義域は x ≠ 5π/12 + kπ/2 です。図2に対応する除外角は、π/2 から π の整数倍だけずらした π/2 + kπ です。角の変化率は2なので、定義域上で連鎖律が使えます。

図2では x = π/6 に対応する角が0であることも示しています。除外点の列に含まれないことを元の角で確認してから、値を求めます。

f′(x) = 2 / cos²(2x - π/3)
2・(π/6) - π/3 = 0
cos 0 = 1
f′(π/6) = 2 / 1²
           = 2

元の関数に戻しても f(π/6) = tan 0 = 0 で、点の値が存在します。一方、x = 5π/12 では角が π/2 になり、元の関数が定義されません。公式に代入して分母が0になることは、この事実と対応します。除外点の式は、角を戻すと π/2 + kπ になることで検算できます。

標準例題：二次式の角

関数 g(x) = tan(x²) の定義域と導関数を求め、x = 1 における微分係数を三角関数を含む厳密な式で表してください。

内側 x² は実数全体で微分可能ですが、角 x² が π/2 + kπ なら元の正接は定義されません。x² は負にならないので、右辺が正になる整数は k = 0, 1, 2, … です。よって除外点は次の2列です。

x² = π/2 + kπ
x = √(π/2 + kπ), -√(π/2 + kπ)  （k = 0, 1, 2, …）

この2列を実数全体から除いたものが定義域です。平方根の正負を落とすと、負の側の除外点が残ってしまいます。逆に k を負の整数まで無条件に入れると、実数の平方根として意味を持たない式を並べることになります。

定義域内では x² が微分可能で、角の余弦は0でないので、連鎖律を使えます。

g′(x) = (x²)′ / cos²(x²)
      = 2x / cos²(x²)
g′(1) = 2 / cos² 1

1 は 0 < 1 < π/2 にあるので cos 1 ≠ 0 です。元の角も1であり、g(1) = tan 1 は定義されます。除外点の2つの符号をそれぞれ二乗すると元の角 π/2 + kπ に戻ります。なお x = 0 は定義域に入り、g′(0) = 0 です。分子が0である点は、分母が0である除外点とは異なります。

発展例題：内側にも分母がある角

関数 h(x) = tan(1/(x − 1)) の定義域と導関数を求め、x = 1 + 4/π における微分係数を π を用いた厳密な式で表してください。除外点は整数 k を用います。

まず内側の分数から x ≠ 1 が必要です。次に、残った x について正接の角が定義されない場合を除きます。

1/(x - 1) = π/2 + kπ
              = (2k + 1)π/2
x - 1 = 2/((2k + 1)π)
x = 1 + 2/((2k + 1)π)

2k + 1 は整数 k に対して0にならないため、逆数を取る操作は可能です。逆に、この式の x は1と異なり、元の角に代入すると π/2 + kπ に戻ります。したがって定義域は x = 1 と上の列を実数から除いた集合です。列が1に近づくことと、x = 1 で元の分数が定義されないことを区別して記録します。

定義域上では内側も外側も微分可能です。内側の分母は0でなく、外側の分母も0ではありません。

(1/(x - 1))′ = -1/(x - 1)²
h′(x) = -1/{(x - 1)² cos²(1/(x - 1))}

指定点を a = 1 + 4/π と置くと、a − 1 = 4/π です。角は π/4 であり、cos(π/4) = √2/2 なので、元の関数も定義されます。

h(a) = tan(π/4)
     = 1
h′(a) = -1/{(4/π)²・(√2/2)²}
      = -1/{(16/π²)・(1/2)}
      = -π²/8

この例では外側の導関数が正であっても、内側の導関数が負なので答えは負です。角の微分を忘れれば符号だけでなく大きさも変わります。

誤答を点検する

基本例題で「f′(x) = 1/cos²(2x − π/3) だから f′(π/6) = 1」とすると、角の導関数2が抜けています。図3のように、角を u と置けば、x から u への変化と u から tan u への変化を別々に追えます。

図3の2つの因子を掛けると、正しい値は 2・1 = 2 です。u を元の式に戻しただけでは、u の変化率を掛けたことにはなりません。途中に u′ = 2 と書けば抜けを見つけやすくなります。

別の誤りは、x = 5π/12 を公式に代入して「微分係数は無限大」と答えることです。その点では f 自体が定義されず、微分係数は存在しません。分母が0の式を数として扱わず、まず角が π/2 になることを元の関数で確かめます。除外点付近の挙動を調べる問題と、その点の微分係数を求める問題は区別します。

練習問題

各問で k は整数とします。定義域は除外点を用いて表し、微分係数は指定された形で答えてください。

1. p(x) = tan(4x + π/6) の定義域と導関数を求め、x = -π/24 の微分係数を整数で求めてください。
2. q(x) = tan(π − 3x) の定義域と導関数を求め、x = π/4 の微分係数を整数で求めてください。
3. r(x) = tan(x² + π/6) の定義域と導関数を求め、x = 0 の微分係数を整数で求めてください。
4. s(x) = tan(2/(x + 2)) の定義域と導関数を求め、x = -2 + 12/π の微分係数を π を用いて表してください。
5. t(x) = tan(x/2) について、x = π と x = 0 のそれぞれで微分係数が存在するか判定し、存在する場合は分数で求めてください。

練習の解答と確認

1. 角が π/2 + kπ となる条件を解きます。

4x + π/6 = π/2 + kπ
4x = π/3 + kπ
x = π/12 + kπ/4
p′(x) = 4/cos²(4x + π/6)

定義域は x ≠ π/12 + kπ/4 です。x = -π/24 で角は0に戻るので元の値は tan 0 = 0、微分係数は 4 です。除外点を角へ代入すると π/2 + kπ に戻ります。

2. 角の係数が負でも、除外点を解くときは等式の両辺を同じ数で割ります。

π - 3x = π/2 + kπ
-3x = -π/2 + kπ
x = π/6 - kπ/3
q′(x) = -3/cos²(π - 3x)

定義域は x ≠ π/6 − kπ/3 です。x = π/4 の角は π/4、元の値は1です。cos²(π/4) = 1/2 なので微分係数は -6 です。除外点を戻すと角は π/2 + kπ です。

3. 角の条件と二次式の範囲を合わせます。

x² + π/6 = π/2 + kπ
x² = π/3 + kπ
x = √(π/3 + kπ), -√(π/3 + kπ)  （k = 0, 1, 2, …）
r′(x) = 2x/cos²(x² + π/6)

定義域はこの2列を除いた実数です。k < 0 では右辺が負なので実数の除外点はありません。x = 0 の角は π/6 で、元の値は 1/√3、微分係数は 0 です。除外点を二乗して π/6 を足すと、正接の定義されない角に戻ります。

4. 先に x ≠ -2 を記録し、次に角が許されない点を求めます。

2/(x + 2) = (2k + 1)π/2
x + 2 = 4/((2k + 1)π)
x = -2 + 4/((2k + 1)π)
s′(x) = -2/{(x + 2)² cos²(2/(x + 2))}

定義域は x = -2 と上の列を除いた実数です。指定点では x + 2 = 12/π、角は π/6 なので、元の値は 1/√3 です。cos²(π/6) = 3/4 を代入します。

s′(-2 + 12/π) = -2/{(144/π²)・(3/4)}
                = -π²/54

除外点の式を内側の分数に戻すと (2k + 1)π/2 になります。x = -2 は内側で割れないため、別に除外する必要があります。

5. x = π では角が π/2 となり、t(π) は定義されません。したがって微分係数は存在しません。x = 0 では角が0で t(0) = 0 です。周囲でも余弦は0でないので連鎖律が使えます。

t′(x) = (1/2)/cos²(x/2)
t′(0) = (1/2)/1
      = 1/2

公式の分母に代入する前に、各点を元の角に戻して判断することが、この2点の違いです。

覚えておくこと

正接は cos x ≠ 0 で定義され、導関数は 1/cos² x です。
tan g(x) では内側の微分可能性と cos g(x) ≠ 0 を確認します。
導関数は g′(x)/cos² g(x) であり、除外点を元の式に戻して照合します。

手が止まったときの見分け方

分母が0になったら、先に元の関数の値が存在するかを調べます。角の式に分母があれば、その分母の条件も別に書きます。答えの係数や符号に迷う場合は、角を u と置き、u′ と 1/cos² u の2つを並べてみてください。個別指導で式を確かめる際にも、除外点を角へ戻す行と、内側の変化率を求める行を見比べると、どこで条件や因子を落としたかを特定できます。正接の微分は、角の居場所を確かめてから進みます。