高校数学III 余弦関数の導関数—差商の変形から負号が付く理由を確かめる｜武蔵野個別指導塾

差商の2項と位相の対応を追い、一次式の係数とともに余弦の符号を読み解きます。

よくあるのは演習ノートで、余弦を微分するときに負号を付けず正弦に直すという場面です。形はよく似ていても、角が増えたときの変化の向きは同じではありません。どこで負号が生じたかを差商に戻って追うと、公式を覚え直す際の手がかりが残ります。

ここでの角は断りがない限り弧度法で表します。余弦そのものと、角が x の一次式で表される場合を扱い、三角関数の積や商の微分には広げません。

要点（結論から）

• 弧度法では (cos x)′ = -sin x です。
• 負号は余弦の加法定理にある引き算から生じます。
• cos(ax + b) の導関数は -a sin(ax + b) です。

どのように問われるか

まず、余弦の加法定理から差商を変形し、導関数を導く問いがあります。h を0にする前は h ≠ 0 とし、分母の h がどの項に対応するかを見ます。途中の極限が存在することも確認します。

次に、cos(ax + b) のような式の導関数を求める問いがあります。a と b は定数です。外側の余弦の負号と、内側の角の変化率 a を別々に書くと、a が負の場合にも符号を追えます。

さらに、指定した角で微分係数を求め、式の符号を点検する問いがあります。関数値が正か負かと、導関数の値が正か負かは別の情報です。例えば余弦が正であっても、その値が角の増加に伴って減っていれば、導関数は負です。

差商の2項に分ける

関数 f が x で微分可能とは、h ≠ 0 の差商 (f(x + h) − f(x))/h が h → 0 で有限な極限を持つことです。その極限を f′(x) とします。ここでは x は任意の実数で、h は0でない実数として計算を始めます。

弧度法の基本極限 lim[h→0] sin h / h = 1 を使います。また、恒等式 cos h − 1 = -2 sin²(h/2) から、h ≠ 0 のとき次のようになります。

(cos h - 1)/h = -sin(h/2)・(sin(h/2)/(h/2))
lim[h→0] (cos h - 1)/h = 0

右辺では h/2 → 0、sin(h/2) → 0 です。後者は正弦の連続性によります。したがって積の極限を使えます。cos h − 1 を h で割った項が0に近づくことは、分子が0に近づくという理由だけでは言えません。分母も0に近づくため、上のように比の形を調べます。

加法定理 cos(x + h) = cos x cos h − sin x sin h を使うと、差商は次の2項です。

(cos(x + h) - cos x)/h
= (cos x cos h - sin x sin h - cos x)/h
= cos x・(cos h - 1)/h - sin x・(sin h/h)

x は固定して h を0に近づけるので、cos x と sin x はこの極限では定数です。2つの極限がそれぞれ存在するため、差の極限を取れます。

lim[h→0] (cos(x + h) - cos x)/h
= cos x・0 - sin x・1
= -sin x

この極限は任意の実数 x で存在するので、余弦関数は実数全体で微分可能で、(cos x)′ = -sin x です。図1のように、残る項の負号は加法定理の引き算に由来します。

図1では、左側の項は0へ、右側の比は1へ向かいます。右側の sin x に付く負号は極限を取った後に付け足すものではなく、差商を作った時点からあります。

別の見方として、cos x = sin(x + π/2) があります。弧度法で正弦の導関数が余弦であることと合成関数の微分を使えば、cos(x + π/2) = -sin x です。角を π/2 だけずらした余弦が負の正弦になることが、位相からも同じ負号を示します。ただしこの見方も、正弦の微分公式を弧度法で使えることを前提とします。

一次式の角についても、差商に戻ると係数の働きを直接見られます。a ≠ 0 とし、固定した x で u = ax + b、角の増分を k = ah と置きます。h → 0 なら k → 0 で、h ≠ 0 なら k ≠ 0 です。

(cos(a(x + h) + b) - cos(ax + b))/h
= a・(cos(u + k) - cos u)/k

右辺の比は、すでに求めた余弦の微分係数 -sin u に近づきます。したがって極限は -a sin(ax + b) です。一方 a = 0 では k を分母にできませんが、元の関数 cos b が定数なので導関数は0です。公式に a = 0 を代入した値とも一致します。分母が0となる場合を別に扱うことで、任意の実数 a に対する式が得られます。

たとえば内側の係数が0のときに、角の増分で割る変形をそのまま使うことはできません。変化しない角を持つ定数関数へ戻ることが、この場合の修正です。係数が負でも0でなければ k は h と逆向きに0へ近づきますが、両側からの極限は同じなので上の導出を使えます。

基本例題：角が一定の速さで増える場合

次の関数の導関数を求め、x = 0 での微分係数を根号を用いた正確な値で答えてください。角は弧度法です。

f(x) = cos(2x + π/6)

内側を u = 2x + π/6 と置きます。u は実数全体で微分可能で u′ = 2、余弦も実数全体で微分可能です。したがって合成関数の微分法を適用できます。

f′(x) = -sin u・u′
= -sin(2x + π/6)・2
= -2 sin(2x + π/6)
f′(0) = -2 sin(π/6)
= -2・(1/2)
= -1

図2のように、x の増分が h なら角の増分は 2h です。角の値をそのまま正弦に入れる操作と、その角の変化率を掛ける操作を分けます。定数 π/6 は角の位置を変えますが、角の変化率には加わりません。

図2の対応を元の式へ戻すと、x = 0 の角は π/6 です。そこで余弦は正ですが、角が少し増えると値は減るので、微分係数 -1 の符号と整合します。符号の確認は導出の代わりではありませんが、計算の写し間違いを見つける助けになります。

標準例題：内側の係数が負のとき

次の関数の導関数を求め、x = π/6 での微分係数を正確な値で答えてください。

g(x) = 3 cos(π/3 - 2x)

内側の一次式の導関数は -2 です。外側の余弦から出る負号と区別し、まず掛け算の形に残します。内側も外側も実数全体で微分可能なので合成できます。

g′(x) = 3・{-sin(π/3 - 2x)}・(-2)
= 6 sin(π/3 - 2x)
g′(π/6) = 6 sin(π/3 - 2・π/6)
= 6 sin 0
= 0

元の角は x = π/6 で0です。この点では余弦の角に関する微分係数が0なので、角の変化率が -2 でも積は0です。負号が2つあるという理由だけで答えを正と決めず、正弦の値も代入して初めて0と判断します。

また、x = 0 を代入すると導関数は 3√3 です。元の角は π/3 で、x が増えると角は減ります。角がこの近くで減れば余弦は増えるため、正の符号と対応します。角の増減が逆向きになることを見落とすと、外側の負号を消す理由が見えなくなります。

発展例題：係数を条件から求める

a を実数とし、p(x) = cos(ax + π/6) とします。p′(0) = 2 を満たす a を正確に求めてください。また、その値を元の条件に戻して確かめてください。

任意の固定した a に対し、内側の一次式も余弦も実数全体で微分可能です。したがって、まず a を定数として微分します。

p′(x) = -sin(ax + π/6)・a
= -a sin(ax + π/6)
p′(0) = -a sin(π/6)
= -a/2

これを与えられた条件と等しくします。

-a/2 = 2
a = -4

逆に a = -4 を元の関数に入れると p(x) = cos(-4x + π/6) です。この関数の導関数は 4 sin(-4x + π/6) なので、x = 0 で 4・(1/2) = 2 となり、条件に戻ります。一次方程式の係数 -1/2 は0でないため、求めた値以外は条件を満たしません。

この問題では、a が負だから答えの微分係数も負とは限りません。余弦の微分の負号、内側の係数、正弦の値を掛け合わせて決まります。角が0になるような別の条件では正弦が0となり、係数を同じ手順で一意に決められるとは限らない点にも注意します。

負号を落とした答案を直す

基本例題の関数について、次の答案を考えます。

誤り: f′(x) = 2 sin(2x + π/6)
修正: f′(x) = -2 sin(2x + π/6)

誤答は内側の係数 2 を掛けていますが、余弦の差商から出る負号を落としています。図3のように、外側の微分と内側の微分を別の欄に置けば、どちらが欠けたかを特定できます。

図3で外側は -sin u、内側は 2 です。x = 0 では誤答は 1、正しい値は -1 となります。元の角 π/6 の近くで、角が増えると余弦が減るという向きにも合いません。

別の失敗は、余弦の負号を付けても内側の係数を省くことです。-sin(2x + π/6) は外側を u で微分した式に角を戻したものですが、x に対する変化率ではありません。角の変化率 2 を掛けて修正します。さらに、角を度数法としたまま弧度法の公式を適用することもできません。例えば角が x 度なら弧度法の角は πx/180 であり、内側の変化率 π/180 を掛ける必要があります。

練習問題

角は弧度法です。導関数は x の式で、指定された値は根号を含む正確な形で答えてください。

1. y = cos(3x − π/4) の導関数と、x = 0 での微分係数を求めてください。
2. y = 2 cos(π/2 − 5x) の導関数と、x = 0 での微分係数を求めてください。
3. y = -4 cos(x/2 + π/3) の導関数と、x = 0 での微分係数を求めてください。
4. 実数 c に対して y = cos(cx + π/3) とします。x = 0 での微分係数が -√3 となる c を求め、元の条件に戻してください。
5. y = cos(π − 3x) の導関数と、x = π/3 での微分係数を求めてください。

練習の解答と点検

各問の内側は一次式、外側は余弦なので、いずれも実数全体で微分可能です。各点で元の角を確かめてから正弦の値を代入します。

1. 内側の変化率は 3 です。

y′ = -3 sin(3x - π/4)
y′(0) = -3 sin(-π/4)
= 3√2/2

元の式の x = 0 の角は -π/4 です。その点で角が増えると余弦は増えるため、正の値と整合します。

2. 内側の変化率は -5 です。外の係数 2 も掛けます。

y′ = 2・{-sin(π/2 - 5x)}・(-5)
= 10 sin(π/2 - 5x)
y′(0) = 10 sin(π/2)
= 10

元の角は π/2 で、x が増えると角は減ります。余弦はそこで角が減る方向に増えるので、正の値と対応します。

3. 外の係数 -4 と内側の変化率 1/2 を両方残します。

y′ = -4・{-sin(x/2 + π/3)}・(1/2)
= 2 sin(x/2 + π/3)
y′(0) = 2 sin(π/3)
= √3

元の角は π/3 です。余弦の変化に外の負の係数が掛かるため、微分係数は正です。

4. まず c を定数として微分し、条件を代入します。

y′ = -c sin(cx + π/3)
y′(0) = -c√3/2
-c√3/2 = -√3
c = 2

元の式へ c = 2 を戻すと y = cos(2x + π/3) です。その導関数は -2 sin(2x + π/3) であり、x = 0 で -√3 となります。方程式の c の係数は0でないので、他の値は条件を満たしません。

5. 内側の変化率 -3 を掛けます。

y′ = -sin(π - 3x)・(-3)
= 3 sin(π - 3x)
y′(π/3) = 3 sin(π - 3・π/3)
= 3 sin 0
= 0

元の角も x = π/3 で0です。内側の係数が負でも、その点の正弦が0なので答えは0です。

要点

• 弧度法では (cos x)′ = -sin x です。
• 負号は余弦の加法定理にある引き算から生じます。
• cos(ax + b) の導関数は -a sin(ax + b) です。
• 値を代入する前に、元の角と内側の変化率を別々に確かめます。

つまずきを見分けるには

答えの符号が合わないときは、まず余弦の微分の負号があるか、次に角の係数を掛けたかを順に見ます。値が合わないときは、元の式に指定された x を戻して角を計算し直します。個別指導で式を確認するときも、外側と内側の微分を別々に書いてもらうと、どの段階で対応が切れたかを確かめられます。

差商に残る引き算が、余弦の導関数の符号を決めます。