高校数学I 正弦定理の導出—高さと円周角から辺と向かい合う角の比を結び付ける｜武蔵野個別指導塾

高さの共通性と外接円の直径を手がかりに、鈍角を含む三角形でも成立する正弦定理の根拠をたどります。

よくあるのは、高1の高校生が正弦定理の右辺を外接円の半径 R と書き、直径との違いで立ち止まる場面です。式を覚えていても、円のどの線分がその比に対応するかが見えていないと、2 を付ける理由が残りません。高さを2通りに表す方法と、直径を補助線に使う方法をたどり、式の各部分を図の中に戻します。

何を説明する問題か

三角形の辺と角の対応を示し、3つの比が等しい理由を説明する問題があります。また、外接円を描いて共通の値が半径ではなく直径になる理由を問うこともあります。さらに、鈍角になると垂線の足や円周角の位置が変わるため、その場合も同じ式を使えるか説明する問題があります。

いずれも、最初に三角形がつぶれていないことを確かめます。内角はそれぞれ 0度より大きく 180度より小さく、和は 180度です。したがって各角の正弦は正で、正弦を分母にしても 0 で割ることにはなりません。辺の長さも正です。ここでは定理の成立理由に焦点を当て、辺の値を求める複雑な計算には広げません。

対辺と高さから比を作る

三角形 ABC で、角 A、角 B、角 C に向かい合う辺の長さを順に a、b、c とします。つまり a = BC、b = CA、c = AB です。外接円の半径を R とすると、正弦定理は次の式です。

a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R

図1のように、まず角 A と辺 a、角 B と辺 b を対応させます。C から直線 AB に垂線を下ろし、足を H、高さ CH を h とします。図1では A と B が鋭角なので H は辺 AB 上にあります。

図1のように直角三角形 ACH と BCH から、それぞれ h = b sin A、h = a sin B です。同じ高さなので b sin A = a sin B となり、両辺を正の sin A sin B で割れば a/sin A = b/sin B を得ます。同じ議論を別の頂点からの高さにも行うと、残る比も等しくなります。

鈍角がある場合にも高さの考え方は使えます。例えば A が鈍角なら H は A を越えた直線 AB 上にあり、直角三角形 ACH の H と A の間で使う鋭角は 180度 − A です。補角の正弦は等しいので h = b sin(180度 − A) = b sin A です。一方 B は鋭角で h = a sin B です。B が鈍角の場合も左右を入れ替えれば同様です。C が鈍角でも A と B は鋭角ですから、同じ2つの高さの式が使えます。

直角を含む場合は垂足が頂点と重なることがあります。例えば A が直角なら H は A に一致し、h = b = b sin A です。B が直角の場合も同様です。したがって、垂足が辺上、延長上、端点のどこにあるかを区別すれば、高さによる説明は直角や鈍角を含む三角形にも通じます。

次に共通の値を円から調べます。外接円で B の反対側の直径の端を D とします。BD = 2R で、直径に対する円周角 BCD は直角です。A と D が弦 BC の同じ側にあれば、同じ弧 BC に対する円周角より角 BDC = A です。反対側にあれば、円に内接する四角形の対角の和より角 BDC = 180度 − A です。どちらでも正弦は等しいので、直角三角形 BCD から次が成り立ちます。

sin A = BC/BD
sin A = a/(2R)
a/sin A = 2R

A が直角なら BC 自体が直径なので a = 2R、sin A = 1 です。この場合も同じ結論です。B や C を基準にしても同じ円の直径が得られるので、3つの比の共通値は 2R です。円周角が等しい場合と補角になる場合を区別することが、鈍角まで説明を延ばす鍵です。

基本例題：直径を式に戻す

三角形 ABC の外接円の直径 BD を引きます。A と D は弦 BC の同じ側にあり、角 A = 30度、BC = 5 cm です。円周角と直角三角形を使い、直径 BD と半径 R をそれぞれ cm 単位で求めてください。

図2のように、弦 BC に対する円周角を比べます。D は直径の端なので、角 BCD は直角です。

図2のように角 BDC = 角 BAC = 30度 です。直角三角形 BCD で、角 D の向かい側は BC、斜辺は BD です。よって次のように進めます。

sin 30度 = BC/BD
1/2 = 5/BD
BD = 10
R = 10/2
R = 5

答えは直径 10 cm、半径 5 cm です。戻して確かめると、直径 10 cm の直角三角形で 30度の対辺は 10・(1/2) = 5 cm となり、与えられた BC に一致します。半径を 10 cm としてしまうと直径は 20 cm となり、同じ対辺が 10 cm になって条件に戻りません。

この図では角 A と角 D が同じ弧 BC を見ています。A を外接円上で動かしても、その弧に対する円周角が同じ側にある限り変わらず、BC と直径の比も変わりません。これは比が各辺の長さそのものではなく、その辺と対角の組で決まることを示しています。

標準例題：鈍角と補角

三角形 PQR の外接円で、Q の反対側の直径の端を T とします。角 P = 120度、QR = 6√3 cm です。角 QTR と直径 QT を求め、長さは根号を使って cm 単位で表してください。

角 P は鈍角なので、弦 QR に対して P と T は反対側にあります。内接する四角形の対角は補角ですから、次のようになります。

角 QTR = 180度 - 120度
角 QTR = 60度
角 QRT = 90度
sin 60度 = QR/QT
√3/2 = 6√3/QT
QT = 12

答えは角 QTR = 60度、直径 QT = 12 cm です。直径を斜辺とする直角三角形へ戻すと、対辺 QR は 12・(√3/2) = 6√3 cm です。120度と 60度は正弦が等しく、QR/sin 120度 も 12 cm になります。円周角を 120度とそのまま書けば、直角三角形の残りの角が正にならないので誤りと判断できます。

鈍角の頂点を含む三角形の絵では、円の中心が三角形の外に出ることがあります。それでも直径は円を横切り、直角三角形 QRT は作れます。中心が三角形の内側にあることを証明の条件に加える必要はありません。

発展例題：高さと円を別々に使う

三角形 XYZ で角 X = 90度、辺 XY = 8 cm、辺 XZ = 15 cm です。Y から直線 XZ へ下ろした高さを用いて、YZ/sin X と XZ/sin Y が等しいことを示し、その共通値と外接円の半径を cm 単位で求めてください。

三平方の定理より、斜辺 YZ は正なので次の通りです。

YZ² = XY² + XZ²
YZ² = 8² + 15²
YZ² = 289
YZ = 17

この垂線の足は X そのもので、高さは XY = 8 cm です。角 Y については直角三角形 XYZ の定義から sin Y = 15/17 です。角 X は直角なので sin X = 1 です。したがって対辺の組をそろえると次のようになります。

YZ/sin X = 17/1
YZ/sin X = 17
XZ/sin Y = 15/(15/17)
XZ/sin Y = 17

直角に対する外接円の弦 YZ は直径なので 2R = 17、R = 17/2 cm です。高さについても XY = YZ sin Z = 17・(8/17) = 8 cm と元に戻ります。辺の二乗は 8² + 15² = 17² で、直角という条件とも一致します。

この例で高さが辺と重なることは、図が壊れたという意味ではありません。垂足が頂点に来る境界の形です。鋭角の場合の図だけを覚えていると、この形で補助線を探し続けてしまうため、どの線が底辺に垂直かを先に確認します。

半径を共通値にした答案を直す

次の答案を考えます。「外接円の半径が R だから、a/sin A = R」。図3のように、辺 a と正弦の比を作る直角三角形の斜辺を見直します。

図3のように円の中心 O から円周までが R、円周上の両端を結ぶ BD が 2R です。弦 BC を対辺とする直角三角形 BCD では、斜辺は半径ではなく直径 BD です。したがって sin A = a/(2R) と書き直します。A と D が反対側にあるときも、角 D は A の補角で正弦が等しいので、この式は変わりません。

誤答を点検するときは、式の 2 を後から付け足す前に、分母の線分の両端を指で追います。片端が中心なら半径、両端が円周上で中心を通れば直径です。さらに、辺 a は角 A の対辺かも確認します。例えば a/sin B と書くと、直径との関係に必要な直角三角形で対応する辺がずれます。

練習問題

各問は互いに独立した三角形です。長さは指定の形で表し、図を描く場合も辺と対角の対応を書き込んでください。

1. 三角形 ABC で A = 45度、BC = 7√2 cm です。外接円の直径を整数の cm で求め、半径を分数または整数の cm で求めてください。
2. 三角形 DEF で D = 150度、EF = 4 cm です。E の反対側の直径の端を G とするとき、角 EGF を度で、直径 EG を整数の cm で求めてください。
3. 三角形 JKL で J = 90度、JK = 9 cm、JL = 12 cm です。KL と外接円の直径を整数の cm で求め、JL/sin K がその直径と等しいことを確かめてください。
4. 三角形 MNP の角 M、N は鋭角です。P から MN へ下ろした高さを h、NP = p、PM = q とします。h を角 M と角 N の正弦で2通りに表し、対辺と正弦の比の等式を導いてください。
5. 三角形 RST で R が鈍角です。T から直線 RS に下ろした垂線の足を H とし、ST = u、TR = v とします。高さ TH を2通りに表し、u/sin R = v/sin S を導いてください。

練習問題の解き方

1

BC は角 A の対辺です。正弦定理の共通値は直径なので、次のようにします。

直径 = BC/sin A
直径 = 7√2/(√2/2)
直径 = 14
半径 = 14/2
半径 = 7

直径は 14 cm、半径は 7 cm です。直径に sin 45度 を掛け直すと 14・(√2/2) = 7√2 cm となり、BC に戻ります。45度は三角形の内角として許され、残る2角も正に選べます。

2

D は鈍角なので、弦 EF の反対側にある G の円周角はその補角です。直径に対する角 EFG は直角です。

角 EGF = 180度 - 150度
角 EGF = 30度
sin 30度 = EF/EG
1/2 = 4/EG
EG = 8

角 EGF は 30度、直径は 8 cm です。8・sin 30度 = 4 cm なので EF に戻ります。150度の正弦も 1/2 であり、EF/sin D = 8 cm と一致します。

3

三平方の定理で直角の対辺を出し、その辺が直径であることを使います。

KL² = 9² + 12²
KL² = 225
KL = 15
sin K = JL/KL
sin K = 12/15
JL/sin K = 12/(12/15)
JL/sin K = 15

KL と直径はいずれも 15 cm です。9² + 12² = 15² と戻せるので直角の条件に合います。また 15・(12/15) = 12 cm となり、JL にも戻ります。3辺は正で、9 + 12 > 15 です。

4

垂線の足を H とすると、M と N が鋭角なので H は辺 MN の上にあります。直角三角形 PMH と PNH で次が成り立ちます。

sin M = h/q
sin N = h/p
h = q sin M
h = p sin N
q sin M = p sin N
p/sin M = q/sin N

最後の除算は M と N が三角形の内角で、正弦が正だから可能です。得られた等式に sin M sin N を掛け戻すと q sin M = p sin N となり、2通りの高さが一致します。p は角 M、q は角 N の対辺です。

5

R が鈍角なので H は R を越えた延長上にあります。角 TRH は 180度 − R で、S は鋭角です。直角三角形をそれぞれ使います。

TH = v sin(180度 - R)
TH = v sin R
TH = u sin S
v sin R = u sin S
u/sin R = v/sin S

分母は内角の正弦なので正です。最後の等式から両辺に sin R sin S を掛けると、2つの高さが等しい式に戻ります。垂足が延長上にあることと、補角の正弦が等しいことの両方が必要です。

覚えておくこと

• 辺と向かい合う角を組にして比を書く。
• 共通の高さを2通りに表すと、対辺と正弦の比が結び付く。
• 直径に対する円周角は直角で、共通の比は 2R です。
• 鈍角では補角の正弦を使い、直角では垂足が頂点に重なることがあります。

図に戻して確かめる

式の分母が違うときは、角の文字から反対側の辺へ線を引いて対応を確かめます。2 の有無で迷うときは、外接円の中心を記し、斜辺が半径か直径かを図で測る前に判断します。鈍角で止まったときは垂線の足を延長上に取り、できた鋭角が元の角の補角であることを書き添えます。

個別指導で答案を確かめるときも、高さを2通りに書いた行と、直径に対する直角を記した箇所を見ると、どこで対応がずれたかを具体的にたどれます。正弦定理の 2R は、図の直径から生まれます。