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高校数学I 三角比から角を求める問題—半円上の位置を比べて角の候補と個数を決める｜武蔵野個別指導塾
正弦が同じ角の対称性と端点を図でたどり、指定範囲に残る角の候補を選びます。
よくあるのは、高1の高校生が sin の値から角を求めるとき、鋭角を1つ書いて答えを終えるという場面です。同じ高さの点が半円の左右にあれば、もう1つの角も同じ値を持ちます。反対に、常に2つあると覚えると端の角で困ります。角の範囲を図に示し、候補を出してから残す順番を身につけましょう。
学習する範囲には、鋭角から鈍角へ広げた三角比が含まれます。ここでは 0度から180度までの特殊な値を使い、角を度で求めます。
どんな問いで候補を調べるか
角 θ の範囲と sin θ の値が与えられ、該当する角をすべて答える問いがあります。例えば範囲が半円全体なのか、一部分なのかで答えの個数が変わります。角度の両端を含むかどうかも条件に書かれています。
cos θ や tan θ が指定される場合は、sin と同じ考えで個数を決められません。どの座標を見ているかを確かめてから、特殊角の値に対応する位置を探します。また、2つの条件を同時に満たす角を選ぶ問いでは、各条件の候補を比較します。片方の条件を満たすことと、両方を満たすことは別です。
半円の点と角の対応
原点 O を中心とする半径1の上半円を考えます。正の横軸から反時計回りに θ だけ進んだ半円上の点を P とすると、P の横の座標が cos θ、縦の座標が sin θ です。0度と180度の端点も含みます。0度から180度まででは、角を決めると点が1つ決まり、半円上の点から角も1つに決まります。
図1のように、横に引いた線が半円と左右2点で交わるとき、2点の縦の座標は等しくなります。左右の点を結ぶと縦軸に垂直で、その中点は縦軸上です。したがって2つの角は合わせて180度です。これは sin θ が同じ角を探すときの根拠です。
図1では左と右の点の高さが等しく、角は θ と 180度 − θ です。ただし頂点の真上では左右の点が重なり、90度という1つの角になります。高さ0では端の2点が異なるため、0度と180度の2つです。半円より上や横軸より下の高さでは点がなく、候補は0個です。
一方、cos θ は横の座標です。半円に縦線を引くと、横の座標が -1 以上1以下なら交点は1つです。cos の値が等しい角を sin と同じように補角で増やしてはいけません。sin は左右対称で等しくなりますが、cos は左右で符号が反対になります。
90度を除けば tan θ = sin θ / cos θ です。点 P と O を結ぶ直線の傾きが tan θ にあたります。正の傾きなら右上、負の傾きなら左上の点が該当し、0なら端点のどちらも該当します。90度では cos θ が0なので tan θ は定義されません。値の符号と、この例外を角の範囲と合わせて確認します。
特殊な角は、30度、45度、60度とその補角、そして0度、90度、180度です。例えば sin 30度 = 1/2 で、左右対称な点から sin 150度 も 1/2 です。候補を出した後、指定された不等号に代入して残すことが、解き漏れと余分な答えの両方を防ぎます。
候補の個数を先に見積もる
正弦の値を h と置いて、0度から180度までの半円に高さ h の線を引くとします。0 < h < 1 なら左右に2点、h = 1 なら頂点の1点、h = 0 なら両端の2点です。h < 0 または h > 1 なら交点はありません。これは特殊角を知っているかどうかとは別に、答えの個数を点検する方法です。ただし範囲が半円の一部分なら、ここで出した個数から範囲外の点を除きます。
余弦の場合は -1 以上1以下の横座標に対して半円上の点が1つあり、それ以外にはありません。端の値でも半円上の端点がそれぞれ対応します。正接の場合は90度を除いて傾きで判断します。傾きが0なら0度と180度、0でなければ半円上に対応する点は1つです。値が0のときに2点になるのは、両端が原点を通る同じ直線上にあるからです。
これらは範囲全体についての個数です。問題の範囲が狭いとき、候補を図で探した後に不等号へ戻す操作が必要です。たとえば左端が「以上」なら端を含み、「より大きい」なら含みません。候補の角が端に一致したときほど、この違いを丁寧に読みます。
式から点へ、点から式へ
解答では「値を見て角を書いた」だけで終わらず、その値が座標のどちらに対応するかを明らかにします。sin の場合は横線、cos の場合は縦線、tan の場合は原点を通る直線を考えます。各線と半円の交点が候補であり、点から正の横軸までの角を読みます。
その後、出した角を元の三角比に代入します。図の読み取りで左右を取り違えていた場合、cos や tan の符号が合わないことで気づけます。範囲を満たさない角や、90度の正接のように式自体が定義されない角は残せません。図で候補の漏れを防ぎ、代入で余計な候補を除くという役割分担です。
基本例題：高さから2点を探す
0度 ≦ θ ≦ 180度 で sin θ = √3/2 を満たす θ を、度を単位としてすべて求めてください。
図2のように、半径1の半円に高さ √3/2 の横線を引きます。右側では特別角の値から60度に対応します。図2の左側にも同じ高さの点があります。
sin 60度 = √3/2
180度 - 60度 = 120度
sin 120度 = sin 60度 = √3/2したがって答えは 60度、120度です。半円とその高さの横線の交点は図2の2点なので、他に候補はありません。どちらも指定された範囲の中にあり、元の sin の値に戻しても条件を満たします。
ここで60度を求めた時点で止まると、左側の点を落とします。逆に60度に180度を足すと範囲から出てしまい、上半円の点でもありません。左側の角を求める計算は、180度から引く操作です。
範囲が例えば 90度 ≦ θ ≦ 180度 に変われば、同じ候補のうち60度は外れ、120度が残ります。元の等式が同じでも、角の範囲は答えの一部を決める条件です。候補を書いた行と範囲を照合する行を分けると、変更にも対応できます。
標準例題：余弦と範囲を照合する
0度 ≦ θ ≦ 180度 で cos θ = -√2/2 を満たす θ を、度を単位としてすべて求めてください。
まず負の横座標を持つ点は縦軸の左側です。45度の余弦の絶対値が √2/2 なので、左側に対称移動した点を考えます。
cos 45度 = √2/2
180度 - 45度 = 135度
cos 135度 = -cos 45度
cos 135度 = -√2/2135度は範囲内で、元の条件に戻しても値が一致します。半円上で横座標が -√2/2 の点は1点ですから、答えは135度です。45度も書くと横座標が正になるため不適です。
絶対値が同じという情報だけでは、左右どちらかを選べません。マイナス符号を先に横軸上に記し、その位置を通る縦線と半円の交点を見ると選択の理由が明確になります。
発展例題：2つの条件と端点
0度 ≦ θ ≦ 180度 で、sin θ = 0 または tan θ = 1 を満たす θ を、度を単位としてすべて求めてください。なお、tan θ が定義されない角は採用しません。
「または」なので、各条件に合う角を集めます。まず半円と横軸が交わる2点を調べます。
sin 0度 = 0
sin 180度 = 0この条件の候補は0度と180度です。次に tan θ = 1 では、正の傾きの半直線が半円と交わる点を考えます。右上にある点の角は45度です。
tan 45度 = 1左上の点では sin が正、cos が負なので tan は負です。90度では分母の cos が0であり、tan は定義されません。したがって tan θ = 1 の候補は45度です。答えは0度、45度、180度です。
それぞれ元の条件に戻すと、両端は sin が0、45度は tan が1です。90度は sin も0ではなく、tan も使えません。ここでは「または」の条件のため両方に一致する必要はありません。「かつ」に変えると、2つの候補集合に共通する角はなく、答えは0個です。接続語を読み替えると結論まで変わります。
誤答を図に戻す
0度 ≦ θ ≦ 180度 で sin θ = 1 を満たす角を、90度と90度の2個と数える誤りを考えます。180度 − 90度 = 90度 と計算するところまでは正しいのですが、左右の点が同じ頂点に重なっています。
図3のように高さ1の横線は半円の頂点に接します。図3の点は1点なので、異なる角も90度の1個です。
sin 90度 = 1
180度 - 90度 = 90度候補を書き出したら、同じ角を重複して数えていないか確かめます。さらに、sin θ = 2 とされた場合は、半径1の半円の高さが1を超えないので候補はありません。無理に特殊角を当てはめず、値が取りうる範囲にあるかを先に調べます。
もう1つの失敗は、範囲の端にある角を不等号を見ずに残すことです。例えば端を含まない範囲なら、等号のついた範囲で残せた角も除く必要があります。候補を出す作業と範囲で選ぶ作業を分け、それぞれの段階で何を調べたかを言葉にします。
練習：候補を出してから選ぶ
次の各問で θ は度を単位とし、指定範囲内の角をすべて求めてください。答えがない場合は「なし」と書いてください。
- 0度 ≦ θ ≦ 180度 で sin θ = √2/2。
- 0度 ≦ θ ≦ 180度 で cos θ = 1/2。
- 0度 ≦ θ ≦ 180度 で tan θ = -√3。
- 30度 < θ < 150度 で sin θ = 1/2。
- 0度 ≦ θ ≦ 180度 で sin θ = 1/2 かつ cos θ < 0。
解答と考え方
- 45度の正弦を基準にします。左側の点も同じ高さです。
sin 45度 = √2/2
180度 - 45度 = 135度
sin 135度 = √2/2答えは45度、135度です。どちらも指定範囲内で、元の値に戻ります。対応する横線と半円の交点は2点なので、他の角はありません。
- 正の横座標に着目します。
cos 60度 = 1/2横座標が 1/2 の半円上の点は1点です。答えは60度です。範囲内であり、代入すると元の値 1/2 に戻ります。補角の120度は余弦が -1/2 なので除きます。
- 正接が負になる点は縦軸の左側です。基準となる60度の補角を調べます。
tan 60度 = √3
180度 - 60度 = 120度
tan 120度 = -√3答えは120度です。120度では余弦が0でないので正接が定義され、元の値にも戻ります。60度では正の √3 となるため条件に合いません。
- まず範囲を広く見て正弦の候補を出します。
sin 30度 = 1/2
180度 - 30度 = 150度
sin 150度 = 1/2候補は30度と150度です。しかし指定された範囲はどちらの端も含みません。したがって答えはなしです。両候補を不等式に戻すと、30度 < 30度、150度 < 150度 はいずれも成り立ちません。
- 正弦の条件から候補を出し、余弦の符号で選びます。
sin 30度 = 1/2
180度 - 30度 = 150度
sin 150度 = 1/2
cos 30度 = √3/2 > 0
cos 150度 = -√3/2 < 0答えは150度です。元の2条件へ戻すと、正弦は 1/2、余弦は負なので両方を満たします。30度は正弦の条件を満たしても、余弦の条件で除かれます。
手元に残す見方
- sin は高さ、cos は横の座標で点を探します。
- sin の左右の候補は角の和が180度です。
- 頂点では候補が重なり、半円の外の高さには候補がありません。
- tan は90度で定義されず、0では両端が候補です。
- 最後に範囲と元の条件へ各候補を戻します。
つまずきを見分けるには
答えが足りないときは、計算の正誤だけでなく半円に引いた線と交点の数を見ます。答えが多いときは、重なった点を別々に数えていないか、端点を含むか、元の値の符号が合うかを順に確かめます。式が合っていても、範囲の確認を飛ばせば問題の答えには届きません。
個別指導で確かめるなら、まず本人に半円と指定範囲を描いてもらい、候補の点に対応する角を書き込んでもらいます。次にそれぞれの点の高さや横座標と、元の式を指しながら照合します。角の候補は、図の交点と条件への代入の両方で確かめられます。
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