高校数学II 二次式で割る余り—一次の余りを仮定し二つの条件を連立する｜武蔵野個別指導塾

異なる2つの零点での値を連立し、定数や条件不足の場合も比べることで、一次以下の余りが一意に定まる仕組みを押さえられます。

よくあるのは、高2の高校生が二次式で割っても余りを定数と置き、2つの代入値が合わずに手を止めるという場面です。一次式で割るときは定数の余りでしたが、割る式の次数が上がれば、余りに残せる次数も変わります。一次の項を含めて置けば、2つの値を受け止められます。ここでは異なる2つの一次因子をもつ二次式に絞り、代入から連立、元の割り算への確認までたどります。

問いの形を見分ける

最初の型は、整式と割る二次式が与えられ、余りそのものを求める問いです。割る式を因数分解し、それぞれを零にする値で元の整式を計算します。2つの値を通る一次以下の式を決めれば、長い筆算を最後まで進めなくても余りが得られます。

次の型は、元の整式の全体ではなく、一次式で割ったときの余りが2つ与えられる問いです。その余りは対応する代入値なので、同じ連立方程式を作れます。一方、1つの値しか知らなければ、通常は一次以下の式を特定できません。必要な条件がそろっているかを先に見ます。

もう1つは、余りに関する条件から元の式に含まれる文字を決める問いです。例えば余りが定数だと指定されたなら、一次の係数が零です。2つの代入値が等しいという条件へ言い換えられます。最初からどんな問題でも定数と決めるのではなく、問題の条件からそうなることを示します。

余りの次数と2つの代入

整式 P(x) を二次式 D(x) で割ると、商を Q(x)、余りを R(x) として次の関係が成り立ちます。

P(x) = D(x)Q(x) + R(x)
R(x) = ax + b

余りは零、または割る式より次数が低い整式です。二次式より低い次数は一次と定数なので、両方を含む ax + b と置きます。a = 0 なら定数、さらに b = 0 なら零も表せます。ax + b が一次式となるのは a ≠ 0 のときです。余りを置くときは「一次以下」と考え、a = 0 の定数や零も含めます。

D(x) = c(x − r)(x − s) とし、c は零でない定数、r と s は異なる数とします。x = r と x = s を関係式へ代入すると、いずれも D(x)Q(x) の部分は零です。

P(r) = ar + b
P(s) = as + b

図1のように、割る式が零になる2か所から余りへの条件を取ります。元の式が高い次数でも、代入後に残るのは一次以下の式です。

2式の差を取れば a(r − s) = P(r) − P(s) です。r と s が異なるので r − s は零でなく、a が決まり、続いて b も決まります。異なるという条件は、単なる因数分解の見た目ではなく、2つの係数を決める根拠です。重複する因子をもつ場合には同じ値を2回代入しても独立した2条件にならず、ここでの方法をそのまま使えません。

逆に、連立から得た R(x) が本当に余りである理由も確認できます。P(x) − R(x) は r と s の両方で零です。したがって異なる一次因子 x − r、x − s の積で割り切れます。割る式 D(x) はその積の零でない定数倍なので、P(x) − R(x) は D(x) でも割り切れます。R(x) の次数も二次未満ですから、これは求める余りです。

学習指導要領の数学IIには整式の除法が含まれます。以下はその関係を利用した自作の例です。

基本例題：代入値から係数を決める

P(x) = x³ + 2x² − x + 4 を x² − x − 2 で割った余りを、x の整式で求めてください。

割る式は (x − 2)(x + 1) です。2と -1 は異なるので、余りを ax + b と置き、それぞれを代入できます。

P(2) = 8 + 8 - 2 + 4
     = 18
P(-1) = -1 + 2 + 1 + 4
      = 6

図2のように、18と6をそれぞれ余りの式に渡します。代入する数の符号は、因子の定数項をそのまま読むのではなく、因子を零にして決めます。

2a + b = 18
-a + b = 6
3a = 12
a = 4
b = 10

したがって余りは 4x + 10 です。2つの条件を使った後に、元の割り算の形へ戻して確認します。

x³ + 2x² - x + 4
= (x² - x - 2)(x + 3) + 4x + 10

右辺を展開すると x³ + 2x² − 5x − 6 + 4x + 10 です。元の P(x) に戻り、余りの次数も二次より低いので、答えは適切です。例えば 2a + b = 18 だけで終えると、a と b の組は多数残ります。2つ目の条件まで使って初めて係数が決まります。

筆算を選ぶ場合も、最高次を消す商は x、続いて 3 です。引き算で残った 4x + 10 は一次なのでそこで止めます。代入法と筆算は別の答えを作る方法ではなく、同じ「割る式・商 + 余り」を別の方向から読む方法です。

標準例題：与えられた余りをつなぐ

整式 F(x) を x − 3 で割ると余りは 7、x + 2 で割ると余りは -8 です。F(x) を (x − 3)(x + 2) で割った余りを、x の整式で求めてください。

一次式で割った余りは定数です。割り算の関係式に零点を入れると、それぞれ F(3) = 7、F(-2) = -8 と読み替えられます。F(x) の具体的な係数は与えられていませんが、二次式で割った余りを決めるための2条件はそろっています。

F(x) = (x - 3)(x + 2)Q(x) + ax + b
3a + b = 7
-2a + b = -8
5a = 15
a = 3
b = -2

答えは 3x − 2 です。x = 3 では 9 − 2 = 7、x = -2 では -6 − 2 = -8 となり、元の2つの余りに戻ります。また F(x) − (3x − 2) は異なる2つの零点 3、-2 をもつので、積 (x − 3)(x + 2) で割り切れます。余りが一次以下であることと合わせて十分な確認です。

例えば F(x) 自体に (x − 3)(x + 2) の何倍を加えても、2つの零点での値は変わりません。元の整式が一意に決まらなくても、二次式で割った余りは一意に決まるのです。割る式が 2(x − 3)(x + 2) だった場合も、零点と余りは同じです。零でない定数倍は商の係数を変えますが、余りの条件は変えません。

ただし、x − 3 による余り 7 しか知らない場合は別です。例えば 7 と x + 4 はどちらも x = 3 で 7 になり、しかも二次未満です。異なる余りが条件を満たすため、一方を選ぶ根拠はありません。情報が足りないことを、具体的な2つの候補で確かめられます。

発展例題：余りが定数になる条件

実数 k について、P(x) = x³ + kx² + 2x + 1 を (x − 1)(x + 2) で割った余りが定数となるような k と、その余りを求めてください。

余りを ax + b と置くと、定数になる条件は a = 0 です。零点は 1 と -2 で異なるので、2か所の余りの値が等しいことは a = 0 と同値です。実際に2条件を引けば、値の差が 3a になるからです。

P(1) = 1 + k + 2 + 1
     = k + 4
P(-2) = -8 + 4k - 4 + 1
      = 4k - 11
k + 4 = 4k - 11
15 = 3k
k = 5

このとき P(1) = 9、P(-2) = 9 です。余り ax + b は a + b = 9、-2a + b = 9 を満たすため、a = 0、b = 9 です。求める値は k = 5、余りは 9 です。

必要条件だけで終わらないように、k = 5 を元の式に戻します。

x³ + 5x² + 2x + 1
= (x² + x - 2)(x + 4) + 9

右辺を展開すると元の式になり、9 は二次式より次数が低い余りです。よって求めた k は実際に条件を満たします。別の考え方では、最初に a + b = k + 4、-2a + b = 4k − 11 と書き、a = 0 を代入しても同じ式になります。定数と置く操作は、この問題の指定があるから正当化されます。

余りが零という指定なら、さらに b = 0 です。その場合は2つの代入値が両方とも零であることを確かめます。値が互いに等しいだけでは、定数の余りが零とは限りません。条件の強さを取り違えないよう、何を零にするのかを余りの式に書き込んでください。

誤答を直す：定数と決めてしまったら

基本例題で余りを最初から C と置くと、x = 2 から C = 18、x = -1 から C = 6 となります。矛盾が出た原因は計算が必ず間違っているからではなく、余りを定数に限定した仮定です。二次式で割る余りには一次の項が残る可能性があります。

図3のように、置き方を ax + b に戻し、2つの値を別々の式にします。2a + b = 18 と -a + b = 6 は両立し、4x + 10 を与えます。

別の失敗は、x² − x − 2 の零点を 2 と 1 と読むことです。(x − 2)(x + 1) の各因子を零にして、後者は -1 だと確かめます。また、2つの代入値が等しい例を見て常に余りは定数と判断するのも危険です。等しい場合に限り、異なる零点の差を使って a = 0 と結論できます。

商を求めず余りだけを出した後は、代入した2値が正しいかと、余りが二次未満かを点検します。筆算で確認するなら、引き算の符号を含めて積を展開し、元の式に戻します。代入値の計算を間違えたまま連立を正しく解いても、元の問題の答えにはなりません。

練習：条件から余りを作る

次の5問は、余りを x の整式で答えてください。文字の値を求める問いでは、その値も併記します。

1. x³ − 2x + 5 を (x − 1)(x − 3) で割った余りを求めてください。
2. x³ + x² + 3 を (x + 1)(x + 2) で割った余りを求めてください。
3. 整式 G(x) を x − 4 で割る余りが 2、x + 1 で割る余りが 12 です。G(x) を (x − 4)(x + 1) で割った余りを求めてください。
4. x³ + tx² + x − 2 を (x − 2)(x + 1) で割った余りが定数です。実数 t とその余りを求めてください。
5. 整式 H(x) を (x − 2)(x − 5) で割った余りが 2x + 1 です。H(x) を x − 2 および x − 5 で割ったそれぞれの余りを求めてください。

練習の答えと道筋

1. 余りを ax + b とします。元の式の値は x = 1 で 4、x = 3 で 26 です。

a + b = 4
3a + b = 26
2a = 22
a = 11
b = -7

答えは 11x − 7 です。1を代入すると4、3を代入すると26で、与えた整式の値に戻ります。さらに x³ − 2x + 5 = (x² − 4x + 3)(x + 4) + 11x − 7 です。

2. x = -1 と -2 における元の値は、それぞれ 3 と -1 です。余りを ax + b として解きます。

-a + b = 3
-2a + b = -1
a = 4
b = 7

答えは 4x + 7 です。-1 と -2 の代入で3と -1 が戻ります。実際に x³ + x² + 3 = (x² + 3x + 2)(x − 2) + 4x + 7 です。

3. G(4) = 2、G(-1) = 12 と読み、余りを ax + b とします。

4a + b = 2
-a + b = 12
5a = -10
a = -2
b = 10

答えは -2x + 10 です。4で2、-1で12となり、もとの一次式による余りと一致します。G(x) 全体は決まらなくても、異なる零点での2値が余りを決めます。

4. 零点 2 と -1 における値が等しいことを使います。

P(2) = 8 + 4t + 2 - 2
     = 4t + 8
P(-1) = -1 + t - 1 - 2
      = t - 4
4t + 8 = t - 4
3t = -12
t = -4

このとき両方の値は -8 です。答えは t = -4、余りは -8 です。元の式へ戻すと x³ − 4x² + x − 2 = (x² − x − 2)(x − 3) − 8 となり、指定された定数の余りを得ます。

5. H(x) = (x − 2)(x − 5)Q(x) + 2x + 1 と書けます。x = 2 と x = 5 では積を含む部分が零になるので、H(2) = 5、H(5) = 11 です。したがってそれぞれの余りは 5、11 です。元の二次式の余りにも2と5を戻すと同じ値になり、対応を確認できます。

手元に残す要点

• 二次式で割る余りは ax + b と置き、定数や零も含めます。
• 異なる2つの零点で代入し、余りの係数への2条件を作ります。
• 2つの代入値が等しいことと、余りが定数であることは同値です。
• 元の式 = 割る式・商 + 余りに戻し、次数も確認します。

どこで止まったかを式で見つける

余りを定数と置いて矛盾したら、まず割る式と余りの次数を並べてください。零点の符号に迷うなら、候補を各因子へ代入し、実際に零になるか調べます。連立で詰まったときは、2式を引く前に代入値と右辺の対応を声に出して読むと、取り違えた箇所を探せます。

個別指導で説明するときも、「なぜ2つの値で十分か」「値が等しいとき一次の係数はどうなるか」を自分の式で示すと、置き方と条件のつながりが見えます。異なる零点が2つあるからこそ、二次式の余りは2つの値から定まります。