高校数学A 余事象の確率—少なくともという条件を否定して全体から差し引く｜武蔵野個別指導塾

同じ図柄の組が少なくとも一組できる確率を、選んだ図柄がすべて異なる場合から求められます。

高1が複数の図柄を選び、同じ図柄が少なくとも一組できる確率を考える場面です。一組できる場合を数えたつもりでも、同じ図柄が3枚ある選び方や、別々の図柄で二組できる選び方をどう扱うかで手が止まります。そこで、組ができる場合を直接追う前に、組が一組もできない選び方を調べます。求める条件を満たすかどうかで全体を二つに分けると、数える範囲が明確になります。

どんな条件を裏返すか

余事象を使う問題には、たとえば次のような型があります。色の違う品物から複数を選び、指定した色が少なくとも1個ある確率を求める型です。指定した色が0個の場合を除けば、1個でも2個でも入った選び方をまとめて扱えます。

別の型は、選んだものがすべて指定の条件を満たす確率から、少なくとも1個は満たさない確率を求めるものです。「すべて」の否定は「どれも満たさない」ではありません。満たすものと満たさないものが混じる場合も否定の側に入ります。

さらに、複数の図柄の中から選んで同じ図柄の組ができる型では、組の数や3枚以上の重なりに注意が必要です。図柄がすべて異なる選び方なら、図柄ごとに1枚ずつ選ぶと数えられます。ただし、条件を裏返した後の方が必ず簡単になるとは限りません。直接数える場合と比べ、少ない分類で済む方を選びます。

全体と余事象を言葉で決める

試行の結果全体からなる集合を標本空間とし、その部分集合を事象といいます。事象Aが起こらないという事象をAの余事象といい、ここでは Ā と表します。AとĀは同時には起こらず、どちらか一方は必ず起こります。したがって確率の和は1で、次の関係が成り立ちます。

P(A) + P(Ā) = 1
P(A) = 1 - P(Ā)

この式には結果が同様に確からしいという条件は不要です。ただし、個数を割り算して確率を出すときには、分母に並べる各結果が同様に確からしいことを確認します。全体を選び方で表すなら、分子も同じ単位の選び方で数えます。順番のある取り出し方の個数と、順番のない組の個数をそのまま割ってはいけません。

図1のように、全体のどの結果もAかĀの一方に入ります。領域の大きさは個数を表す模式図であり、特定の数値の割合を表してはいません。「少なくとも1個ある」の反対は「0個」です。1個、2個などを一つずつ数えずとも、0個を除けばすべて残ります。

図1の二つの領域の境界に注目してください。「少なくとも2個」の反対は0個または1個です。2個以上の反対を0個とすると、1個の場合がどちらにも入らず、全体を二つに分けたことになりません。同様に「すべてある」の反対は「少なくとも1個ない」です。条件を否定するときは、境界の直前に当たる個数を試すと抜けに気づけます。

また、何を全体に含めるかは問題の条件で決まります。最初から選べない品物を全体に加えることはできません。選び直さずに複数を取る場合と、戻してから取る場合では結果の集合も変わります。まず試行を固定し、その中でAに入らない結果を余事象にします。

基本例題：同じ図柄の組を作る

問題。星、月、葉の3種類の図柄について、各図柄のカードが2枚ずつあります。同じ図柄のカードにも別々の番号が付いています。6枚から3枚を同時に無作為に選ぶとき、同じ図柄のカードが少なくとも一組ある確率を既約分数で求めてください。選んだ順序は区別しません。

番号付きの3枚の組を一つの結果とすると、どの組も同様に確からしいとします。求める事象をAとすると、Aの余事象は「同じ図柄の組が一組もない」です。3枚を選ぶので、これは星、月、葉をそれぞれ1枚ずつ選ぶことと同じです。図2のように、各図柄からの選び方を掛けます。

図2の各枠には番号の異なる2枚があります。全体と余事象の個数を順に求めます。

全体 = 6C3 = 20
余事象 = 2・2・2 = 8
P(Ā) = 8/20 = 2/5
P(A) = 1 - 2/5 = 3/5

元の条件に戻すと、組がある選び方は20 − 8 = 12通りです。直接確認するなら、2枚そろう図柄を3通りから選び、残り1枚を他の図柄の4枚から選ぶので3・4 = 12通りです。3枚しか選ばないため、そろう図柄は二つにはならず、重複もありません。12/20を約分しても3/5となります。

例えば星の2枚と月の1枚は求める側、星と月と葉を1枚ずつ選ぶ組は余事象の側です。カードの番号が異なるので、同じ図柄を選んでも番号の違うカードなら別の結果に数えます。図柄の種類だけを結果にすると各結果が同様に確からしいとは限らず、単純に種類数で割れません。

標準例題：余事象に複数の内訳があるとき

問題。赤い印の付いた異なる部品が4個、青い印の付いた異なる部品が5個あります。9個から4個を同時に無作為に選びます。赤い印の部品が少なくとも2個含まれる確率を既約分数で求めてください。選ぶ順序は区別しません。

4個の組は同様に確からしいとします。「少なくとも2個」を満たさないのは、赤が0個または1個の場合です。赤が1個の組を忘れると余事象を取り違えます。二つの内訳は重ならないので、それぞれの組合せを足します。

全体 = 9C4 = 126
赤0個 = 4C0・5C4 = 5
赤1個 = 4C1・5C3 = 40
余事象 = 5 + 40 = 45
求める確率 = 1 - 45/126
            = 81/126
            = 9/14

赤0個では青4個、赤1個では青3個を選び、どちらも合計4個です。0個の選び方は1通りなので4C0 = 1です。青が5個あるため、どちらの内訳も実際に選べます。赤2個以上を直接数えると、赤2個、3個、4個の3分類です。

赤2個 = 4C2・5C2 = 60
赤3個 = 4C3・5C1 = 20
赤4個 = 4C4・5C0 = 1
合計 = 60 + 20 + 1 = 81

直接数えた81通りと、126通りから45通りを除いた結果が一致します。赤の個数による分類は0個から4個まで重ならず、選んだ組は必ずどれかに入ります。今回余事象を選んだ理由は、0個と1個の2分類で済むためです。選ぶ個数や品物の内訳が変われば、直接数える方が短いこともあります。

発展例題：組が二つできる重複を避ける

問題。波、山、雲、森の4種類の図柄のカードが、それぞれ3枚ずつあります。同じ図柄のカードも番号で区別できます。12枚から4枚を同時に無作為に選ぶとき、同じ図柄のカードが少なくとも一組ある確率を既約分数で求めてください。選ぶ順序は区別しません。

番号付きの4枚の組は同様に確からしいとします。求める事象の余事象は、4枚の図柄がすべて異なることです。図柄は4種類なので、余事象では各種類からちょうど1枚を選びます。

全体 = 12C4 = 495
余事象 = 3・3・3・3 = 81
求める確率 = 1 - 81/495
            = 414/495
            = 46/55

余事象の81通りでは、各種類から1枚ずつ選ぶので合計4枚で、同じ図柄の組はありません。逆に4枚の図柄がすべて異なれば、4種類のそれぞれから1枚ずつ選んでいるので、この数え方に必ず含まれます。この往復によって、漏れも重複もないと確認できます。

直接数える際は「波の組がある」「山の組がある」と図柄ごとに足すだけでは足りません。波2枚と山2枚を選んだ結果は、波の組と山の組の両方に入り、二重に数えられるためです。さらに、同じ図柄を3枚選んだ結果にも複数の2枚組があります。余事象なら、組を作る位置や個数を分類せずに済みます。

条件が変わり、4種類から5枚を選ぶなら、すべて異なる5枚は選べません。このとき余事象は空で確率0、求める確率は1です。反対に、1枚だけ選ぶなら組は作れず、求める確率は0です。確率が0や1になる境界でも、選ぶ枚数と図柄の種類を元に確認できます。図柄の枚数が種類ごとに違う場合も、すべて異なる選び方を数える際には各種類の枚数を使います。

誤答を条件に戻して直す

図3のように、少なくとも2個を「2個ちょうど」と読んだり、余事象を「0個だけ」と読んだりすると、境界の隣で結果を落とします。標準例題で赤が1個のとき、求める条件は成り立ちません。それなのに0個だけを引くと、1個の場合が残ってしまいます。

図3では0個と1個が余事象、2個以上が求める側です。誤答は1 − 5/126 = 121/126です。この式は赤0個を除いた確率であり、「赤が少なくとも1個」の確率を表します。原因は否定した後の範囲を言葉で書かずに計算したことです。修正するときは、赤が1個の40通りも引き、1 − (5 + 40)/126 = 9/14とします。

もう一つの失敗は、余事象の確率をそのまま答えにすることです。基本例題の2/5は、同じ図柄の組がない確率です。求められたのは組がある確率なので、1から引いて3/5とします。答えの横に「組あり」などの言葉を書けば、何の確率なのかを確認できます。

最後に分母の点検も必要です。全体を6C3としたのに、余事象を取り出す順序まで区別して数えると、分子と分母の単位が合いません。両方を順序なしの組で数えるか、両方を順序ありの列で数えます。どちらでも一つの組に対応する順序の数は同じなので、正しく数えれば確率は一致します。

練習問題

いずれも選択は無作為で、同じ個数の品物の組は同様に確からしいものとします。品物はすべて区別でき、同時に選ぶので順序は区別しません。確率は既約分数で答えてください。

1. 白い石が3個、黒い石が4個あります。2個選ぶとき、白い石が少なくとも1個ある確率を求めてください。
2. 丸い札が5枚、角のある札が3枚あります。3枚選ぶとき、すべて丸い札ではない確率を求めてください。
3. 異なる7個の部品のうち印付きが3個あります。3個選ぶとき、印付きが少なくとも2個ある確率を求めてください。
4. 6種類の模様の札が各2枚あります。同じ模様の札も区別できます。3枚選ぶとき、同じ模様の組が少なくとも一組ある確率を求めてください。
5. 赤、青、黄の玉がそれぞれ2個、3個、4個あります。3個選ぶとき、3色すべてがそろわない確率を求めてください。

練習問題の答えと解き方

1. 余事象は白が0個、つまり黒2個です。全体は7C2 = 21通り、余事象は4C2 = 6通りです。

1 - 6/21 = 5/7

白1個と黒1個は求める側、黒2個は余事象側です。白2個も求める側に含まれます。

2. 求める条件の余事象は、3枚すべてが丸い札であることです。全体は8C3 = 56通り、余事象は5C3 = 10通りです。

1 - 10/56 = 23/28

角のある札を1枚以上含む選び方が答えです。丸い札と角のある札が混じる場合も、すべて丸いわけではないので含みます。

3. 余事象は印付きが0個または1個です。印なしは4個なので、各内訳で合計3個になるよう選びます。

全体 = 7C3 = 35
余事象 = 4C3 + 3C1・4C2
       = 4 + 18 = 22
求める確率 = 1 - 22/35 = 13/35

直接数えても、印付き2個と3個は3C2・4C1 + 3C3 = 13通りです。13通りはそれぞれ3個の部品からなり、指定条件を満たします。

4. 余事象は3枚の模様がすべて異なることです。6種類から3種類を選び、それぞれ2枚から1枚を選びます。

全体 = 12C3 = 220
余事象 = 6C3・2・2・2 = 160
求める確率 = 1 - 160/220 = 3/11

選んだ3種類と各札は結果から一意に決まります。直接なら、そろう模様を6通りから選び、残りを他の10枚から選んで60通りとなり、60/220 = 3/11です。

5. 余事象は3色すべてがそろうことです。3個を選ぶので、その内訳は各色1個ずつに限られます。

全体 = 9C3 = 84
余事象 = 2・3・4 = 24
求める確率 = 1 - 24/84 = 5/7

例えば赤2個と青1個は色がそろわず、求める側です。赤青黄を各1個選ぶ結果は余事象に入り、二つの側が全体を分けています。

覚えておくこと

• 余事象は、固定した全体の中で元の事象が起こらない結果です。
• 「少なくとも1個」の否定は「0個」です。
• 「少なくとも2個」の否定は「0個または1個」です。
• 分子と分母の結果の単位をそろえ、確率を1から引きます。
• 答えを元の条件に戻し、境界の結果を確かめます。

つまずきの見分け方

式が合わないときは、まず「何を1から引いたのか」を言葉で尋ねます。数字だけが書かれているなら、その分子に入る具体的な選び方を一つ挙げてもらいます。標準例題で赤1個の組を指し、求める側と余事象のどちらに入るかを判定すると、否定の境界を確認できます。

個別指導で式を確かめる際は、分母の1通りと分子の1通りがそれぞれ何を表すかも聞きます。片方だけ順序を区別していれば、同じ3枚を別の順に並べた結果を見せると違いが明らかです。自分で例を両側に置き直せれば、引き算がどの結果を残すか説明できます。条件の否定が定まれば、余事象の確率は全体から求められます。