高校数学A 反復試行と初めての成功—最後の一回が固定された並びを読み取る｜武蔵野個別指導塾

読み取りを有限回試す場面で、初成功の直前までの失敗と打切りを区別し、期限内の初成功を追います。

よくあるのは、一定の確率で信号を読み取る操作について、高1が「初めて読み取れたのは3回目」という条件を、3回のうちどこかで読み取れた条件と混同する場面です。1回目にも成功した列は、3回目に成功していても初成功が3回目ではありません。成功と失敗の順序を書き、初めて成功した時点で区切って考えます。

何を求める問題か

出方には大きく3つの型があります。第1に、指定された回に初めて成功する確率です。それより前は失敗、指定回は成功と決まります。第2に、期限内に初めて成功する確率です。初成功の回ごとに分けて足すか、期限まで一度も成功しない確率を全体から引きます。第3に、成功したら終了し、成功しなければ一定回数で打ち切る操作の結果を分類する型です。最後まで失敗する結果も忘れずに置きます。

どの型でも、結果の言葉を先に並びへ直します。「初めて」はそれ以前に成功がないことまで含みます。「第k回に成功する」だけなら、それ以前の結果は指定されません。同じ成功でも条件が違えば、求める事象は違います。ここで扱うのは回数の上限がある操作です。終わりのない試行の和は使いません。

初成功までの記録を作る

1回の操作で成功する確率をp、失敗する確率をq = 1 − pとします。各回の結果が互いに独立で、成功確率が毎回pであるとき、この繰り返しは反復試行です。独立とは、ある回までの結果が別の回の結果の確率を変えないことです。単に同じ操作を繰り返すという説明だけでは、独立かどうかは決まりません。

成功を○、失敗を×で表します。図1のように、第4回が初成功なら記録は「× × × ○」です。第4回の○を固定し、その前にある3つの×を順に掛けます。成功位置を選ぶ余地はないため、組合せの数を掛けません。

一般に第k回に初めて成功する事象は、先にk − 1回失敗し、その次に成功する事象です。kは1以上で、設けた回数の上限以下の整数とします。独立性と毎回同じ確率という条件を確認した後、積の法則で次のように表します。

P(第k回に初成功) = qの(k - 1)乗・p

k = 1では前の失敗がありません。その部分の確率は1と考えるので、答えはpです。第1回の初成功を表すために、存在しない失敗を1回付け足してはいけません。p = 0なら成功する結果は起こらず、期限まで失敗します。p = 1なら第1回に成功し、その後の回が初成功になる確率は0です。これらの端の値も、記録の意味から確かめられます。

初成功の回が異なる事象は同時には起こらないため、互いに排反です。たとえば初成功が第2回の結果と第3回の結果を、一つの操作の記録が同時に満たすことはありません。したがって期限内の初成功は、各回の確率を足して求められます。一方、期限まで成功しないという事象は、その余事象です。第1回から期限の回までの全てが失敗という1本の経路になります。

例えば第2回までの結果が「× ○」なら、その後に成功する可能性を考える前に初成功の回は2回と決まります。第3回が成功であることを別に求める場合は、後の結果にも条件が付くため、その確率を掛ける必要があります。初成功の回を問うだけの場合と、初成功後の結果まで問う場合を区別します。

操作を成功時に止める場合、成功後の結果は記録しません。止めずに続ける場合でも、初成功が決まった後の結果に制限がなければ、それらをまとめた確率は1です。どちらの設定でも初成功までの部分の確率は同じですが、実際に記録される列の長さは違います。問題文の終了条件を確認しましょう。

基本例題：3回目で初めて読み取る

ある装置が信号を読み取る操作を、成功するまで最大4回行います。各回は互いに独立で、各回の成功確率は2/5です。第3回に初めて成功する確率を既約分数で求めてください。

第3回の成功より前は2回とも失敗です。図2のように、その後の第4回は実行されません。成功確率と失敗確率は次のとおりです。

失敗の確率 = 1 - 2/5
             = 3/5
求める確率 = 3/5・3/5・2/5
           = 18/125

条件に戻すと、記録は「× × ○」です。第1回または第2回に○がある記録は入りません。また、第3回も×である記録は求める事象に入りません。前の2回の失敗と最後の成功を同時に満たす記録が、この1本に対応しています。

もし第4回まで止めずに操作しても、初成功が第3回という条件は第4回の結果を指定しません。第4回が成功する場合と失敗する場合を足すと、共通部分18/125に、2/5 + 3/5 = 1を掛けることになります。後ろに条件がないことと、第4回が失敗すると決めることは違います。

標準例題：期限内に成功する

別の装置では、各回の成功確率が1/4で、各回の結果は互いに独立です。成功したら止め、成功しなければ最大3回まで操作します。3回以内に初めて成功する確率と、3回とも失敗して打ち切られる確率を、それぞれ既約分数で求めてください。

初成功の回は1回、2回、3回のいずれかです。これらの事象は排反であり、期限内に成功した結果を尽くします。失敗確率は3/4ですから、回ごとに求めて足します。

第1回に初成功 = 1/4
第2回に初成功 = 3/4・1/4 = 3/16
第3回に初成功 = 3/4・3/4・1/4 = 9/64
3回以内に初成功 = 16/64 + 12/64 + 9/64
                  = 37/64
3回とも失敗 = 3/4・3/4・3/4
             = 27/64

成功する結果と打切りは重ならず、どちらか一方が起こります。答えを戻すと37/64 + 27/64 = 1です。もう一つの方法は、期限内に成功しない場合を先に数える方法です。3回とも失敗する確率を1から引くと、1 − 27/64 = 37/64となり、回ごとに足した結果と一致します。

この2つの式は別々の結果を数えているわけではありません。初成功の回に着目すれば3つの枝に分かれ、成功しない側に着目すれば1本の枝を除きます。期限が長い場合は、除く枝が1本の方法が短くなることがあります。ただし「何回目か」をそれぞれ求める問いなら、差し引いた合計だけでは内訳はわかりません。

発展例題：打切り時の結果まで分ける

読み取り操作を最大4回行います。各回は独立で、各回の成功確率は1/3です。成功したらその時点で終了し、4回とも失敗したら打ち切ります。第2回または第3回に初めて成功する確率と、実際に4回目の操作を行う確率を既約分数で求めてください。

2回目と3回目の初成功は排反です。第2回なら「× ○」、第3回なら「× × ○」なので、それぞれの確率を足します。失敗確率は2/3です。

第2回に初成功 = 2/3・1/3 = 2/9
第3回に初成功 = 2/3・2/3・1/3 = 4/27
第2回または第3回に初成功 = 6/27 + 4/27
                              = 10/27

4回目を実行するには、最初の3回が全て失敗していなければなりません。4回目が成功か失敗かは、操作を実行するという条件には含まれません。

4回目を行う確率 = 2/3・2/3・2/3
                = 8/27

4回目を行う結果は、第4回の初成功と4回とも失敗の2つに分かれます。それぞれ8/81、16/81なので、合計は24/81 = 8/27です。これによって、4回目を行う確率には打切りになる結果も含まれると確かめられます。

反対に「第4回に初成功」と問われたなら、最初の3回の失敗に加えて4回目の成功が必要です。4回目を行っただけでは成功が確定しないので、8/27をそのまま答えにできません。終了する回を尋ねるときも、最後の回には成功終了と打切りの両方があることに注意します。

誤答を記録に戻して直す

基本例題で、第3回に初成功する確率を 3C1・2/5・(3/5)² = 54/125 とする誤りを考えます。3回のうち成功する位置を1つ選ぶ数を掛けたことが原因です。この式は、ちょうど1回成功する記録「○ × ×」「× ○ ×」「× × ○」を合計しています。

図3のように、初成功が第3回という条件を満たすのは最後の行です。前の2行はそれぞれ第1回、第2回に初めて成功しています。よって3を掛けず、(3/5)²・2/5 = 18/125に直します。成功後も操作すると考えた場合には「× × ○ ○」も初成功が第3回ですが、4回目の結果は自由なので、その確率を別途失敗に固定する必要はありません。

もう一つの誤りは、3回以内の成功を求める際に「第3回に失敗」を余事象とすることです。第3回に失敗しても、前に成功していれば期限内に成功しています。否定するのは「期限内のどこかで成功する」という事象全体です。その否定は「期限内のどの回でも成功しない」、つまり全回失敗です。

また、失敗確率を計算する前に成功確率を繰り返し掛ける間違いもあります。記号を置いたら、各因子の下に対応する回の成功か失敗かを言葉で書くと、式の役割を点検できます。独立性が示されない問題では、同じ確率を毎回掛けてよいかも立ち止まって確認します。

練習問題

次の各問で、各回の結果は互いに独立とし、各回の成功確率はその問の中で一定です。成功したら停止し、成功しなければ指定された回数で打ち切ります。確率は既約分数で答えてください。

1. 点灯確認は各回の成功確率が3/4で、最大3回行います。第2回に初めて成功する確率を求めてください。
2. 印刷確認は各回の成功確率が1/2で、最大5回行います。第1回に初めて成功する確率を求めてください。
3. 接続確認は各回の成功確率が1/5で、最大2回行います。期限内に成功する確率と、打ち切られる確率を求めてください。
4. 音声確認は各回の成功確率が2/3で、最大3回行います。第2回または第3回に初めて成功する確率を求めてください。
5. 検出操作は各回の成功確率が3/5で、最大3回行います。第3回の操作を行う確率と、第3回に失敗して打ち切られる確率を求めてください。

練習問題の答えと解き方

1. 第1回は失敗、第2回は成功です。失敗確率は1/4なので、1/4・3/4 = 3/16です。第1回に成功した記録は、そこで終了するので含みません。

2. 前の失敗はなく、第1回の成功だけを求めます。答えは1/2です。残りの回を実行するかどうかは、第1回に成功したという事象の確率を変えません。

3. 失敗確率は4/5です。2回とも失敗する確率は4/5・4/5 = 16/25です。これが打切りの確率で、期限内に成功する確率は1 − 16/25 = 9/25です。第1回の成功1/5と、第2回の初成功4/25の和も9/25となり、成功側と失敗側の和は1です。

4. 失敗確率は1/3です。第2回の初成功は1/3・2/3 = 2/9、第3回の初成功は1/3・1/3・2/3 = 2/27です。両者は排反なので、2/9 + 2/27 = 8/27です。第1回の成功は指定された2つの回に入りません。

5. 最初の2回が失敗すれば、第3回を行います。その確率は2/5・2/5 = 4/25です。打切りにはさらに第3回の失敗が必要なので、4/25・2/5 = 8/125です。第3回を行って成功する確率は4/25・3/5 = 12/125で、打切りと合わせると4/25に戻ります。

覚えておくこと

初成功の前は全て失敗、指定回は成功です。
異なる回の初成功は排反なので確率を足せます。
期限内に成功しない場合は、期限まで全て失敗です。
最終回を実行することと、そこで成功することを分けます。

つまずきを見分けるには

式に組合せが現れたら、「成功の位置を動かしても初成功の回は変わらないか」と尋ねます。生徒が位置を動かした記録を実際に書けば、初成功の回が変わることを確かめられます。逆に期限内のどの回でもよい問いでは、回ごとの事象を足す必要があることも確認できます。

個別に式を見るときは、各因子がどの回の何を表すか、成功後に操作を続ける設定かを本人の言葉で説明してもらいます。余事象を使う場合は、除く記録を1つ書いてから、成功が一度でもある記録が除かれていないかを調べます。最終回の実行と最終回の成功を分けて読めれば、打切りの枝も確率の全体に戻せます。