高校数学A 独立な試行の確率—試行ごとの結果を掛けて複数の成功条件を求める｜武蔵野個別指導塾

成功率が異なるセンサーについて、成功と失敗を指定した並びの積や、少なくとも一つが成功する確率を求める手順を整理します。

よくあるのは、高1が別々のセンサーの読み取りを考え、成功率が違うのに同じ確率の累乗で計算する場面です。各センサーの成功にはそれぞれの確率があり、失敗を指定されたときにはそのセンサーの失敗確率を使います。さらに「どれかが成功」といわれたら、一つの並びだけでは足りません。まず試行ごとの結果を固定し、次に条件を満たす並びを集める順序で考えます。

結果の指定はどこまであるか

独立な試行の問題では、試行ごとの条件と、最後に求める事象の条件を分けて読みます。前者は各試行の成功確率や、試行が互いに独立であるという前提です。後者は「Aは成功しBは失敗」「ちょうど2つが成功」「少なくとも一つが成功」のような指定です。同じ装置を扱っていても、求める条件が変われば集める結果も変わります。

出方の一つは、各試行の成功と失敗がそれぞれ指定される型です。この場合、指定された一つの並びについて、各試行で必要な確率を掛けます。もう一つは、成功する位置を指定せずに個数だけを問う型です。条件に合う複数の並びは互いに重ならないので、それぞれの確率を足します。成功確率が異なれば、成功する位置を入れ替えた並びの確率も一般には変わるため、一つの確率を並びの数だけ倍する前に確かめます。

「少なくとも一つ」は、成功が1つの場合だけでなく、2つ以上の場合も含みます。失敗ばかりの並びを先に求め、全体の確率1から引くと短くなることがあります。どの方法でも、各試行を掛ける根拠と、並びを足す根拠は別です。掛け算は独立性、足し算は並びが重ならないことに対応します。

独立と成功・失敗の見取り図

試行とは、一定の条件のもとで結果を観察することです。例えば読み取りを試み、その結果を成功か失敗に分類します。ある試行の結果が他の試行の結果に影響せず、それぞれの結果の起こり方が変わらないとき、これらを独立な試行といいます。問題に独立と書かれているか、復元して同じ条件に戻すなどの根拠があるかを、式の前に確認します。装置が別々という名前だけから独立と決めるのではなく、共通の故障などの影響がないという条件も必要です。

事象A、Bが独立であるとは、同時に起こる確率が P(A∩B) = P(A)・P(B) を満たすことです。独立な試行のそれぞれについて結果を一つずつ指定すると、その並びの確率は各結果の確率の積です。成功の確率が p なら、成功しない確率は 1 − p です。成功と失敗は重ならず、どちらか一方が起こるように分けているので、この和は1になります。

図1のように、第1試行の成功・失敗と第2試行の成功・失敗を組にします。たとえば第1が成功、第2が失敗の欄には p・(1 − q) が入ります。p と q はそれぞれの試行の成功確率であり、同じ値とは限りません。

図1の4欄は結果を漏れなく、重複なく分けています。4つの確率を足すと p・q + p・(1 − q) + (1 − p)・q + (1 − p)・(1 − q) = 1 です。実際の計算でも、全結果を分けたときの合計が1になるかを点検できます。独立と排反は異なり、図の「第1が成功」と「第2が成功」は同時に起こり得ます。一方、4つの欄どうしは同時に選ばれない排反な結果です。

独立を使えない例として、赤と青の札を箱から戻さずに2回引く場合を考えます。1回目に赤を引けば、2回目の赤の割合は元の割合から変わります。そこで最初の赤の確率を2回掛けることはできません。各段階の残りを見て数える必要があります。反対に、毎回札を戻して十分に混ぜるという条件なら、次の抽出の割合は元に戻り、独立として扱えます。

基本例題：成功と失敗をそれぞれ指定する

別々のセンサーA、Bがそれぞれ1回読み取ります。Aの成功確率は 2/3、Bの成功確率は 3/5 です。2つの試行は独立で、結果はそれぞれ成功か失敗です。Aが成功し、Bが失敗する確率を既約分数で求めてください。

まず求める並びは「A成功、B失敗」の1通りです。Bの成功確率をそのまま掛けると、Bも成功する別の並びになります。図2の枝のうち、A成功からB失敗へ進む経路をたどります。

図2では、Aの結果がどちらでも、独立性によってBの成功と失敗の確率はそれぞれ 3/5 と 2/5 です。Bの失敗確率を求めてから、経路に沿って掛けます。

P(Bの失敗) = 1 - 3/5
             = 2/5
P(A成功かつB失敗) = 2/3・2/5
                  = 4/15

答えは 4/15 です。元の条件に戻すと、A側の因子 2/3 は成功、B側の因子 2/5 は失敗を表しています。成功確率を2つとも掛けた 2/5 はAもBも成功する確率で、求める枝ではありません。答えが1以下でも、枝の向きが合っているかという確認は必要です。

別の確かめ方では、Aの成功・失敗とBの成功・失敗の4つの経路の確率を順に 2/5、4/15、1/5、2/15 とします。和は1であり、条件に合うのは2番目の経路です。確率の合計と各因子の意味の両方を見れば、足し忘れだけでなく成功と失敗の取り違えも見つけやすくなります。

標準例題：成功の位置を分ける

独立に働く3つの装置D、E、Fがそれぞれ1回作動します。成功確率は順に 1/2、2/3、3/4 です。各結果は成功か失敗です。ちょうど2つが成功する確率を既約分数で求めてください。

「ちょうど2つ」が成功するなら、失敗する装置は1つです。失敗する装置がF、E、Dのいずれであるかで分けると、3つの並びは互いに重ならず、条件に合う結果を漏れなく表します。成功確率が違うので、並びごとに掛け算を作ります。

D成功、E成功、F失敗 = 1/2・2/3・1/4 = 1/12
D成功、E失敗、F成功 = 1/2・1/3・3/4 = 1/8
D失敗、E成功、F成功 = 1/2・2/3・3/4 = 1/4
求める確率 = 1/12 + 1/8 + 1/4
           = 2/24 + 3/24 + 6/24
           = 11/24

答えは 11/24 です。各行には成功が2つ、失敗が1つあり、失敗した装置が異なるので同じ結果を二重に数えていません。例えば最初の並びの確率 1/12 を3倍すると 1/4 ですが、他の2行は 1/12 ではないため、その方法では正しく集計できません。

別の見方では、全8通りの成功・失敗の並びを、成功の個数0、1、2、3で分類します。0個は失敗が3つ、3個は成功が3つ、1個と2個はそれぞれ成功位置を選んだ3通りです。この分類からも、2個の欄が上の3行に対応するとわかります。並びの数が同じでも、各行の確率が同じとは限らない点が、等しい成功確率の場合との分かれ目です。

発展例題：まとまりを作ってから掛ける

独立に働く3つの読取器G、H、Jがそれぞれ1回読み取ります。成功確率は順に 1/3、1/2、3/5 です。結果は成功か失敗です。Jが成功し、さらにGとHの少なくとも一方が成功する確率を既約分数で求めてください。

この条件には2つの部分があります。Jの成功は必須で、GとHについては「両方失敗」以外の3つの並びが許されます。G、H、Jの試行は互いに独立なので、GとHの結果だけで決まる事象とJの成功も独立です。先にGとHのまとまりを求め、それにJの成功確率を掛けられます。

P(G失敗) = 1 - 1/3 = 2/3
P(H失敗) = 1 - 1/2 = 1/2
P(GもHも失敗) = 2/3・1/2 = 1/3
P(GとHの少なくとも一方が成功) = 1 - 1/3 = 2/3
求める確率 = 2/3・3/5
           = 2/5

答えは 2/5 です。「少なくとも一方」の否定が「両方失敗」であることを確認してから1から引きました。「Jも含めた3つのうち少なくとも一つ」と読むと、Jが失敗する結果まで入るので条件が変わります。

直接、J成功を固定して残りの並びを分けても確かめられます。G成功・H失敗、G失敗・H成功、G成功・H成功の3通りです。それぞれを掛けてから足します。

G成功、H失敗、J成功 = 1/3・1/2・3/5 = 1/10
G失敗、H成功、J成功 = 2/3・1/2・3/5 = 1/5
G成功、H成功、J成功 = 1/3・1/2・3/5 = 1/10
合計 = 1/10 + 1/5 + 1/10
     = 2/5

両方成功する最後の行も「少なくとも一方」に含まれます。2つの方法が一致するのは、3つの排反な経路を一つのまとまりとして足しても、個々にJの成功確率を掛けてから足しても、同じ経路を数えるからです。独立という条件がなければ、このまとまりとJの成功を掛けることは保証されません。

誤答から掛ける根拠を点検する

基本例題で「A成功、B失敗」の確率を (2/3)² とした答案を考えます。これはAの成功確率を2回使っており、Bの成功率の違いも失敗の指定も消えています。図3のように、まず因子の下に試行と結果を書き込むと、2つ目に必要なのはBの失敗確率だと見つけられます。

図3の修正後は、A成功の 2/3 とB失敗の 2/5 を掛けています。同じ確率の累乗が使えるのは、指定された各結果の確率が同じで、しかも試行が独立なときです。試行回数が2回だからという理由だけでは、同じ因子を2つ並べられません。

別の誤りは「少なくとも一方が成功」を「一方だけが成功」と読むことです。発展例題のGとHでいえば、両方成功の行が落ちます。結果を成功・失敗の組で書き出し、言葉の条件に合うか一行ずつ判定してから足すと修正できます。また、1から引く場合は、引いた結果と残った結果が重ならず、合わせて全体になるかを言葉で確かめます。

戻さずに札を引く場合のように、前の結果で次の割合が変わるときにも、独立な試行の積をそのまま使う誤りがあります。各段階で残った札の枚数を数え直し、次の確率を書き直してください。正しい数値の積に見えても、どの状態での割合かを確かめることが必要です。

練習問題

各問の答えは既約分数で求めてください。独立と明記された試行は互いに独立で、各試行の結果は成功か失敗のいずれかです。

1. 2つの独立な信号機構が1回ずつ作動します。第1機構の成功確率は 3/4、第2機構の成功確率は 2/5 です。両方が成功する確率を求めてください。
2. 独立な2つの照明装置が1回ずつ点灯を試みます。第1装置の成功確率は 2/5、第2装置の成功確率は 1/3 です。第1装置が失敗し、第2装置が成功する確率を求めてください。
3. 独立な3つの発信器が1回ずつ送信します。成功確率は順に 1/4、2/3、4/5 です。少なくとも一つが成功する確率を求めてください。
4. 独立な3つの仕分け装置が1回ずつ動作します。成功確率は順に 1/2、1/4、2/3 です。ちょうど2つが成功する確率を求めてください。
5. 赤札3枚、青札2枚が入った箱から、よく混ぜて1枚ずつ2回引きます。札は区別でき、各回で残っている札は同様に確からしく選ばれます。1回目の札を戻さないとき、2回とも赤札である確率を求め、1回目と2回目の赤札の事象が独立か判定してください。

練習問題の答えと解き方

1. 両方の成功という1つの並びです。独立なので各成功確率を掛けます。

3/4・2/5 = 6/20
          = 3/10

答えは 3/10 です。2つの因子を元の機構に戻すと、それぞれ第1、第2の成功を表します。失敗の枝は求める条件に入りません。

2. 第1装置の失敗確率は 1 − 2/5 = 3/5 です。第2装置は成功を指定されているので、その成功確率を掛けます。

3/5・1/3 = 3/15
          = 1/5

答えは 1/5 です。最初の因子は失敗、後の因子は成功に対応します。両方成功の枝を計算していないかを確認できます。

3. 求める事象の反対は、3つとも失敗することです。独立なので失敗の確率を掛けてから1から引きます。

P(3つとも失敗) = 3/4・1/3・1/5
               = 1/20
P(少なくとも一つ成功) = 1 - 1/20
                      = 19/20

答えは 19/20 です。成功が1つ、2つ、3つのどの場合も残っており、全失敗だけを除いています。成功確率を足す方法では、複数成功する結果を重ねて数えるため注意します。

4. 失敗する装置の位置で3つに分けます。各行の最後の因子は第3装置の結果です。

成功、成功、失敗 = 1/2・1/4・1/3 = 1/24
成功、失敗、成功 = 1/2・3/4・2/3 = 1/4
失敗、成功、成功 = 1/2・1/4・2/3 = 1/12
合計 = 1/24 + 1/4 + 1/12
     = 1/24 + 6/24 + 2/24
     = 3/8

答えは 3/8 です。各行に成功が2つあり、失敗の位置が違うので重複はありません。3行の確率が異なるため、1行目を3倍することもできません。

5. 1回目に赤札を引く確率は 3/5 です。その後は赤札2枚、青札2枚が残るため、その場合の2回目の赤札の確率は 2/4 です。

P(2回とも赤札) = 3/5・2/4
               = 3/10

答えは 3/10 で、2つの事象は独立ではありません。2回目の赤札の確率は、1回目が赤の場合と青の場合を分けると、3/5・2/4 + 2/5・3/4 = 3/5 です。各回の赤札の確率の積は 3/5・3/5 = 9/25 で、同時に起こる確率 3/10 と一致しません。実際に赤札を1枚除くと次の赤札の割合が変わることも、元の条件に戻した確認になります。

覚えておくこと

各試行の成功確率と失敗確率を分けて書きます。
独立な試行の指定された並びは、各結果の確率を掛けます。
条件に合う排反な並びは、それぞれの確率を足します。
少なくとも一つの否定は、どれも起こらないことです。
戻さない抽出では、残りを数えて次の確率を決めます。

つまずきを見分けるには

式を見直すときは、各因子を指して「どの試行の、どの結果ですか」と尋ねてみてください。答えられない因子があれば、結果の並びを先に日本語で書き、その下に確率を置きます。例えば成功と失敗を取り違えた場合は、各試行で成功と失敗の確率の和が1になることも確認します。

個別指導で確かめるなら、正答だけでなく、条件に合う並びを選ぶ過程を見ます。「ちょうど」と「少なくとも」の両方で両成功の行が入るかを尋ねると、言葉の読み違いを見分けられます。次に、成功率が異なる場合に位置の違う並びの確率を別々に出してもらいます。同じ数を何度も掛ける前に、独立性と各因子の意味を言葉にできれば、条件が変わっても式を立て直せます。

成功と失敗の並びを一つずつ確かめると、掛け算と足し算の役割が見えてきます。