高校数学I 散布図と対応—同じ観測の二つの値を組にして点の分布を読む｜武蔵野個別指導塾

二列の独立した並べ替えが点をどう変えるか、重なりや曲線の例で考えます。手がかりは散布図の対応です。

よくあるのは、高1が自作の測定表を復習し、2列を別々に小さい順に並べ替えてから散布図を描く場面です。それぞれの列に並ぶ数は変わらないので、正しい整理に見えるかもしれません。しかし、元は別々の対象の値だったものが同じ点に結び付くと、点の配置も読み取れる傾向も変わります。

散布図は、2種類の値の一覧を同時に眺める図です。1つの点にする前に、どの値とどの値が同じ対象から得られたのかを確かめます。ここでは自作の表を使い、対応を守る描き方と、図から言えることの境界をたどります。

表から図へ、図から表へ

出方には大きく3つの型があります。第1は、対象ごとの2つの測定値を表から拾い、横軸と縦軸を指定して点を置く型です。横と縦を逆にすると別の座標になるので、単位も含めて軸を先に決めます。第2は、散布図から指定された点や人数を読み取る型です。1か所に2人分が重なっている可能性を、元の表や注記で確かめる必要があります。

第3は、対応を変えた2枚の図を比べ、右上がり・右下がりなどの傾向を述べる型です。各列の値が同じであっても、組み合わせが違えば答えは変わります。さらに、直線に沿う傾向が目立たなくても、曲線に沿った規則が見える場合があります。図の向きだけを見て、原因や将来の値まで決めることはできません。

表から描く問題では、座標を並べた一覧を一度作り、元の行と照合すると間違いを見つけやすくなります。図から読む問題では、目盛りが等間隔か、記号の重なりに説明があるかを確認します。情報が欠けているときは、想像で人数や座標を補わず、決まる範囲を答えます。

1点が表す組と軸の約束

同じ対象について測った2つの値を、順序を決めて (x, y) と書きます。xを横軸、yを縦軸に取るなら、(2, 5) は横に2、縦に5の位置です。(5, 2) は横に5、縦に2なので、一般に別の位置になります。値を足したり、2種類の平均を組にしたりして点を作るのではありません。

図1は、3つの容器について水の量x Lと水面の高さy cmを測った自作の表です。横軸は水の量、縦軸は高さで、表の各行と図の点が対応します。例えば容器Bは (2, 4) です。横軸の2と縦軸の4をたどった交点に置きます。

図1の点は (1, 2)、(2, 4)、(3, 3) です。横軸が同じでも縦軸が違えば別の点に置きます。逆に両方の値が一致した複数の対象は同じ位置に重なります。そのとき見える記号の数と対象の数は一致しないことがあるため、重なりの数を注記するか表を併せて残します。

点を描く前には、横軸と縦軸に何を取るか、単位、目盛りの幅、対象の数を記します。軸の目盛りが異なる図では見かけの傾きも変わります。紙の上で急に見えるからといって、直線的な関係がより強いとは判断できません。軸を入れ替えた場合は各点の座標も入れ替え、元の表に戻って確かめます。

右へ進むにつれて点がおおむね上へ向かうとき、正の相関があると表現します。右へ進むにつれておおむね下へ向かうときは負の相関です。ただし、1点ずつの増減が必ずそろうという意味ではありません。曲線状の並びや複数の集まりがあるときには、その形も言葉にします。相関係数の計算や回帰直線はここでは扱いません。

基本例題：同じ座標に2枚が重なる

4枚の紙片について、横の長さx cmと縦の長さy cmを測った結果を次のように定めます。xを横軸、yを縦軸に取り、1目盛りをそれぞれ1 cmとして散布図を描いてください。また、点の位置の数と紙片の枚数を整数で答え、全体のおおまかな傾向を述べてください。

まず1行ずつ組を書きます。BとCは異なる紙片ですが、2つの長さがともに一致しています。

A: (1, 2)
B: (2, 3)
C: (2, 3)
D: (4, 5)

図2のように、(2, 3) に2枚分が重なることを注記します。点の位置は3か所、紙片は4枚です。右へ進むにつれて点は上へ並び、正の相関が見られます。図には個々の紙片の線を描かず、それぞれの長さの組を点で表しています。

表へ戻して検算します。横の値は1、2、2、4、縦の値は2、3、3、5で、図の注記を含めて4行をすべて拾えます。3か所という答えは異なる座標の数であり、4枚という対象の数ではありません。逆に、注記のない点だけの図を渡された場合には、重なりの数を図から確定することはできません。

標準例題：並べ替えが作る別の対応

4つの鉢について、土の量xと受け皿に残った水の量yを同じ単位で記録したとします。自作の値はPが (1, 6)、Qが (2, 4)、Rが (3, 5)、Sが (4, 2) です。元の対応を使ったときと、x列・y列をそれぞれ小さい順に並べて同じ行を組にしたときの座標をすべて書き、それぞれの傾向を述べてください。

元の表では、横の値が1、2、3、4と増える順に、縦の値は6、4、5、2です。途中で4から5への上昇はありますが、全体として左上から右下へ向かいます。したがって元の対応には負の相関が見られます。

別々に並べ替える操作を実行すると、2列は次のようになります。

xの列: 1, 2, 3, 4
yの列: 2, 4, 5, 6
新たな組: (1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 6)

新たな組は右上がりで、正の相関が見られます。しかし元のPの縦の値は6であり、並べ替え後にxが1の行へ置かれた2はSの値です。各列の値は保存されても、同じ鉢の観測という対応は保存されていません。元の記録を表す図としては使えません。

行ごと並べ替える場合は異なります。例えばyの小さい順に行全体を移すと、S、Q、R、Pの順に (4, 2)、(2, 4)、(3, 5)、(1, 6) です。各組は変わらないので、描かれる点の集合も元のままです。どの鉢かを示す記号を添えて照合すると、行の移動と列内の値の移動を区別できます。

発展例題：曲線と、対が決まらない場合

5回の操作で、設定値xと反応の大きさyを記録します。設定値は順に -2、-1、0、1、2、対応するyは順に4、1、0、1、4です。各回の座標をすべて書き、点の形を述べてください。さらに、6回目はxが3と記録された一方、yは測定しなかったとします。この回を (3, 0) として加えてよいか、理由を答えてください。

順に組を作ると、次の5点です。

(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)

xが -2から0へ増える間はyが4、1、0と減り、0から2へ増える間はyが0、1、4と増えます。点は谷の形に並び、y = x² という曲線上にあります。全体を一方向の右上がりや右下がりとして読むのは適切ではありません。曲線の規則があることと、直線的な傾向が目立たないことは両立します。

6回目のyは測っていないので、0とは限りません。(3, 0) を加えるのは不適切です。先の5回が曲線に乗っていても、6回目の観測値をその規則で埋めて測定結果にすることはできません。6回目は対が未完成として記録を残し、2つの値がそろった5回の図と区別します。

5点を元に戻して照合すると、設定値 -2と2はいずれも4、-1と1はいずれも1に対応し、0は0に対応します。左右でyが同じでもxは異なるので、同じ点には重なりません。欠測と実際に測った0は表の中でも区別する必要があります。

誤答を見つける：座標は合っているか

図3は、基本例題のBとCに戻って考えます。誤って縦の値を横、横の値を縦に置くと、(2, 3) を (3, 2) にしてしまいます。図3の横軸は横の長さ、縦軸は縦の長さのままですから、赤い位置は表の組と一致しません。

誤答の原因は、2つの数だけを見て軸の意味を見落とすことです。修正するときは、まず横軸の2から縦に進み、次に縦軸の3から横に進んだ交点を取ります。正しい位置にはBとCの2枚が重なります。図3の誤った位置には、元の表に対応する紙片はありません。

別の誤りは、重なりを1枚として数えることです。図の記号が1か所にあるという事実と、そこに対応する対象の数を分けます。表のBとCの両行を見れば2枚だと確かめられますが、注記のない図だけでは1枚か複数枚か決まりません。

傾向の読み取りにも失敗の分かれ目があります。点が右上がりでも、一方を変えることが他方の原因だとは図だけから決められません。また、曲線の点を見て「関係がない」と断定すると、発展例題の谷の形を見落とします。どんな配置が見えたのかと、そこから確定できないことを分けて書きます。

手を動かす5問

次の値は練習用に作ったものです。座標は指定の横軸、縦軸の順で書き、個数は整数で答えてください。傾向を問う場合は点の配置に基づいて説明します。

1. 3冊のノートについて、ページ数をx、厚さをyとします。対応は (30, 4)、(50, 7)、(40, 6) です。xを横軸に取ったときの3点をxの小さい順に書き、おおまかな傾向を答えてください。
2. 5個の箱の幅x cmと高さy cmの組は (3, 1)、(4, 2)、(3, 1)、(5, 2)、(3, 1) です。異なる点の位置の数と、(3, 1) に重なる箱の個数を答えてください。
3. 4つの板の長さxと重さyの組は (1, 8)、(2, 6)、(3, 4)、(4, 2) です。y列だけを小さい順に並べ替え、元のx列と同じ行で結んだ組をすべて書いてください。元の対応と新しい組の傾向も述べてください。
4. 5回の記録は (-2, 5)、(-1, 2)、(0, 1)、(1, 2)、(2, 5) です。横軸をx、縦軸をyとして、xが -2から2へ増えるときの点の形を述べてください。右上がりの直線的な傾向と決めてよいかも答えてください。
5. 3つの試料の記録が (6, 9)、(7, 未測定)、(8, 0) です。2つの値がそろっている試料の座標をすべて書き、未測定の試料を (7, 0) にできるか説明してください。また、注記のない図に1か所しか点が見えない場合、元の試料数が必ず1個か答えてください。

答えと、表へ戻す確認

1

xの順に行全体を移します。

(30, 4), (40, 6), (50, 7)

右へ進むにつれて縦の値も増えるため、正の相関が見られます。40に対応する厚さは元の記録でも6で、50には7が対応します。30、40、50の3冊をそれぞれ1回ずつ拾っていることも確認できます。

2

座標を重複を保ったまま書き出すと、次の5個です。

(3, 1), (4, 2), (3, 1), (5, 2), (3, 1)
異なる位置: (3, 1), (4, 2), (5, 2)

位置は3か所、(3, 1) には3個です。位置ごとの個数を3、1、1と数え直すと合計5個となり、問題の箱の個数に戻ります。横の値が同じという条件だけでなく、縦の値も同じことを確かめて重なりと判断します。

3

元のy列は8、6、4、2です。これだけを小さい順にすると2、4、6、8となります。x列は1、2、3、4のままです。

新しい組: (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)

元の対応は右下がりで負の相関、新しい組は右上がりで正の相関です。例えばxが1の板に対応する元の重さは8なので、新しい (1, 2) は元の板の記録ではありません。列の数値を残していても、各板の組を取り違えています。

4

xの順に縦の値を並べると、5、2、1、2、5です。

-2から0: 5 → 2 → 1
0から2: 1 → 2 → 5

左から下がって中央から上がる谷の形です。全体を右上がりの直線的な傾向と決めることはできません。元の5回に戻すと、両端は5、中央は1、その間の2点は2で、記述した形と一致します。

5

そろっているのは (6, 9) と (8, 0) です。前者と後者は異なる試料の2組で、後者の0は実際に記録された値です。真ん中の試料はyが未測定なので、(7, 0) と決めることはできません。

また、注記のない図の1か所に複数の試料が重なることもあります。見える位置が1か所であることから、元の試料数が必ず1個とは言えません。例えば (6, 9) が2試料に共通する表でも、同じ位置に点が重なります。

覚えておきたいこと

同じ対象の2値を、横軸・縦軸の順に組にします。
行ごとの移動では組を保ち、列ごとの並べ替えでは対応が変わり得ます。
重なりと欠測を区別し、記号の数だけで対象数を決めません。
正負の傾向に加え、曲線や軸の尺度にも目を向けます。

つまずいた位置を探す

点が合わないときは、いきなり図全体を直す前に、表の1行を選んで横軸の値、縦軸の値、交点の順に指でたどります。その点が合えば別の行でも同じ手順を試し、表の全行を拾えているか確認します。重なる座標がある場合は、描いた記号に対応する行を数えると、描き漏れと重なりを区別できます。

個別指導で確かめるなら、列だけを並べ替えた表を見せ、元の対象に戻せるか言葉で説明してもらいます。傾向については、点の向きと原因の推測を別々に述べてもらい、谷の形や未測定値をどう扱うかも確かめます。散布図の読みは、座標の正しさと元の観測への対応から始まります。