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高校数学I 集団の分散の合併—班内と班間の差を分けて全体の二乗和を求める｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学I データの分析を掘り下げる

人数の異なる班を合わせたとき、班内の二乗和と平均の差から広がりを表すのが合併分散です。

よくあるのは、高1が自作の測定表を復習し、2つの班の分散だけを平均して全体の分散にする場面です。各班の中で値がそろっていても、一方の班の値がもう一方より高ければ、全員を同じ集団として見たときには広がりが生じます。班の中の広がりと、班の中心どうしの隔たりは、同じものではありません。

ここでは、人数、平均、分散から全員の分散を求めます。個々の測定値が記録されていなくても、合計と二乗和は復元できます。答えを出した後は、人数と合計に戻して、どの集団の平均からのずれを二乗したかまで確かめます。

要点（結論から）

平均に人数を掛けて合計に戻し、全員の人数で割ります。
分散に人数を掛けると、その班の平均からの偏差の二乗和です。
全体の分散には、班内の分と班間の平均の差による分があります。

問いの形を見分ける

第一の型は、各班の人数、平均、分散から全体の平均と分散を求める問題です。人数が異なる場合、班の平均も分散も、単純に足して2で割ることはできません。まず各班の合計を復元し、全体の平均を求めます。その後、各班の二乗和を復元すると、全体の分散を計算できます。

第二の型は、班内の広がりと班間の平均の差を分けて説明する問題です。たとえば両班の分散が同じでも、平均が違えば全体の分散はその値より大きくなります。班の平均が一致する場合は、平均の差による追加分が0になります。この境界を押さえると、式の意味を見失いにくくなります。

第三の型は、全体の平均から未知の人数を逆算し、分散を求める問題です。方程式に代入して終わりにせず、求めた人数が正の整数か、合計に戻るかを確認します。全体の平均が両班の平均の外にあるなら、両班に正の人数がいるという条件と両立しません。条件に合う人数がない場合も、根拠を示して答えます。

二種類のずれを分ける

A班の人数を正の整数 n、平均を a、分散を v、B班の人数を正の整数 m、平均を b、分散を w とします。全体の人数は n + m で、全体の平均を c とおくと、次の式です。

c = (na + mb)/(n + m)

平均に人数を掛けた na と mb は、各班の測定値の合計です。全体の平均は、その合計を全員の人数で割った値です。平均や分散の単位は元のデータに合わせます。たとえば元の値が cm なら、平均は cm、分散は cm² です。

図1のように、全体の平均 c を基準にしたずれは、班の平均からのずれと、班の平均から全体の平均までのずれに分けられます。表では班内の量と、班間の位置の差を別の行で示しています。

A班の1人の値を x とすると、x − c = (x − a) + (a − c) です。これを二乗し、A班全員について足します。x − a の合計は、平均の定義から0なので、交差する項の合計も0です。したがって、A班の全体平均 c からの偏差の二乗和は nv + n(a − c)² です。B班も同様に mw + m(b − c)² となります。

全体の分散 = (nv + mw)/(n + m)
             + {n(a - c)² + m(b - c)²}/(n + m)

前の項は班内の分散を人数で重み付けしたもの、後の項は班の平均が全体の平均から離れていることによるものです。後の項は二乗の和なので負にはなりません。両班の平均が等しい場合に限り、後の項は0です。平均が異なり、両班の人数が正なら、後の項は正になります。したがって、班内の分散を人数で重み付けするだけでは全体の分散に届きません。

別の計算法もあります。分散は「値の二乗の平均 − 平均の二乗」です。A班の二乗の平均は v + a² なので、A班の値の二乗和は n(v + a²) です。B班も同じように求めます。二乗和を合わせて全体の人数で割り、最後に c² を引けば全体の分散が出ます。二乗和は、偏差の二乗和とは基準が違います。どちらを数えているかを式の横に書き添えると、混同を防げます。

基本例題：実際の値を合わせる

A班3人の測定値は 2 cm、4 cm、6 cm、B班2人の測定値は 7 cm、9 cm です。2班を合わせた5人の平均と分散を、それぞれ分数で求めてください。分散は cm² を単位とします。

A班の合計は12 cm、平均は 12/3 = 4 cm です。偏差は -2 cm、0 cm、2 cm なので、偏差の二乗和は 4 + 0 + 4 = 8 cm²、分散は 8/3 cm² です。B班の合計は16 cm、平均は 16/2 = 8 cm です。偏差は -1 cm、1 cm なので、二乗和は 1 + 1 = 2 cm²、分散は 1 cm² です。

図2の表で人数と合計を合わせると、全体は5人、合計は28 cm です。班の平均を単純に平均すると6 cm ですが、これは人数の違いを反映していません。

全体の平均 c は次のとおりです。

c = (3・4 + 2・8)/(3 + 2)
  = (12 + 16)/5
  = 28/5 cm

まず班内の偏差の二乗和を合わせます。A班は 3・(8/3) = 8 cm²、B班は 2・1 = 2 cm² です。これらを全員の数5で割ると 2 cm² ですが、まだ全体の平均から測った分散ではありません。班の平均から全体の平均へのずれを加えます。

4 - 28/5 = -8/5
8 - 28/5 = 12/5
班間の分 = {3・(-8/5)² + 2・(12/5)²}/5
           = (192/25 + 288/25)/5
           = 96/25
全体の分散 = 2 + 96/25
           = 146/25 cm²

二乗和からも確かめます。A班の値の二乗和は 2² + 4² + 6² = 56、B班は 7² + 9² = 130 です。合計186を5で割り、平均の二乗を引きます。

186/5 - (28/5)²
= 930/25 - 784/25
= 146/25 cm²

元の値に戻しても、合計は 2 + 4 + 6 + 7 + 9 = 28 cm です。全体平均からの偏差は順に -18/5、-8/5、2/5、7/5、17/5 cm で、和は0です。二乗和は (324 + 64 + 4 + 49 + 289)/25 = 146/5 cm²、5人で割ると同じ 146/25 cm² になります。班ごとの平均からの偏差と、全体の平均からの偏差を取り違えていないことまで確認できます。

標準例題：二乗和を復元する

ある長さの測定で、P班は4人、平均10 cm、分散5 cm²、Q班は6人、平均15 cm、分散4 cm² でした。10人全体の平均と分散を、それぞれ整数または分数で求めてください。

個々の値は示されていません。それでも各班の合計と値の二乗和は、人数、平均、分散から決まります。P班の合計は 4・10 = 40 cm、Q班の合計は 6・15 = 90 cm です。したがって全体の平均は次の値です。

(40 + 90)/(4 + 6)
= 130/10
= 13 cm

P班の値の二乗の平均は 5 + 10² = 105 cm²、Q班は 4 + 15² = 229 cm² です。人数を掛ければ二乗和に戻ります。

P班の二乗和 = 4・105 = 420 cm²
Q班の二乗和 = 6・229 = 1374 cm²
全体の二乗の平均 = (420 + 1374)/10
                  = 897/5 cm²
全体の分散 = 897/5 - 13²
           = 897/5 - 845/5
           = 52/5 cm²

班内と班間に分けても同じです。班内の分は (4・5 + 6・4)/10 = 22/5 cm² です。班平均の13 cm からの差はそれぞれ -3 cm、2 cm なので、班間の分は (4・9 + 6・4)/10 = 6 cm² です。合わせて 22/5 + 6 = 52/5 cm² です。

確かめとして、答えの平均13 cm に10人を掛けると130 cm で、班の合計40 cm と90 cm に戻ります。また、分散 52/5 cm² と平均の二乗169 cm² を足して10倍すると1794 cm² です。これは班の二乗和420 cm² と1374 cm² の和に一致します。平均の違いによる6 cm² があるため、班内の値 22/5 cm² をそのまま全体の分散としてはいけません。

発展例題：人数を逆に求める

記録した時間について、R班は3人、平均4分、分散2分²、S班は正の整数の人数で、平均10分、分散2分² です。合わせた平均は8分でした。S班の人数を整数で、全体の分散を整数または分数で求めてください。また、他の条件を変えずに全体の平均が11分だったとしたら、その条件に合うS班の人数があるか答えてください。

S班の人数を m 人とおきます。合計を人数で割ると8分なので、次のように解きます。

(3・4 + 10m)/(3 + m) = 8
12 + 10m = 24 + 8m
2m = 12
m = 6

6は正の整数で、条件に合います。R班の合計は12分、S班の合計は60分なので、9人の合計72分を9で割ると確かに8分です。平均の差による分を加えて分散を求めます。

班内の分 = (3・2 + 6・2)/9
           = 2 分²
班間の分 = {3・(4 - 8)² + 6・(10 - 8)²}/9
           = (48 + 24)/9
           = 8 分²
全体の分散 = 2 + 8
           = 10 分²

二乗和に戻すと、R班は 3・(2 + 4²) = 54 分²、S班は 6・(2 + 10²) = 612 分² です。合わせた666を9で割って平均の二乗64を引くと、74 − 64 = 10 分² です。人数と二乗和の両方で元の条件に戻りました。

全体の平均が11分という条件には、正の人数の解がありません。全体平均は4分と10分を正の人数で重み付けした値なので、必ず4分より大きく10分より小さくなります。式を解いても、12 + 10m = 11(3 + m) から m = -21 です。負の人数は条件に合いません。全体平均がちょうど10分であっても、4分のR班に3人いる限り一致しません。境界を含めて確認します。

誤答を直す：何を二乗したか

基本例題で、A班とB班の分散の平均を (8/3 + 1)/2 = 11/6 cm² とし、これを全体の分散と答える誤りを考えます。図3のように、各班の分散の分母はそれぞれ3人と2人です。班の数で2等分すると、人数の違いを落とします。

原因は2段階あります。まず、分散に各班の人数を掛けて班内の偏差の二乗和に戻す必要があります。さらに、その二乗和の基準は各班の平均であり、全体平均 28/5 cm ではありません。人数を考慮した (3・(8/3) + 2・1)/5 = 2 cm² も、班間の差を含まないため答えにはなりません。

修正するときは、班内の分2 cm² に、平均の隔たりから生じる 96/25 cm² を加えます。答えは 146/25 cm² です。両班の人数がたまたま等しいと、最初の単純平均は班内の分とは一致します。しかし、平均が異なれば班間の分は残ります。人数が等しいことと、班の平均が等しいことは別の条件です。

反対に、班の平均が等しい場合は班間の分が0です。この場合でも人数が異なれば、班の分散を人数で重み付けします。二つの注意点を分けて点検すれば、偶然合った式を一般の手順と誤認せずに済みます。全体の分散が負になった場合は、二乗和や平均の二乗の転記を見直します。

練習：条件を先に整理する

次の5問はそれぞれ独立した自作の記録です。分散は偏差の二乗和を対象の人数で割ったものとします。各問で全体の平均と分散は整数または分数で答え、単位も付けてください。人数を求めるときは整数で答えます。

作ったひもの長さについて、A班2人の平均は3 cm、分散は1 cm²、B班4人の平均は6 cm、分散は2 cm² です。6人全体の平均と分散を求めてください。
水の量について、C班5人の平均は8 mL、分散は4 mL²、D班3人の平均は8 mL、分散は6 mL² です。全体の平均と分散を求め、班間の分がいくつかも答えてください。
紙片の長さについて、E班2人の平均は5 cm、分散は1 cm²、F班3人の平均は9 cm、分散は3 cm² です。全体の平均と分散を、値の二乗和を使って求めてください。
移動にかかった時間について、G班は4人で平均2分、分散1分²、H班は正の整数の人数で平均8分、分散1分² です。全体の平均が6分のとき、H班の人数と全体の分散を求めてください。
箱の重さについて、I班2人の値はどちらも4 g、J班2人の値はどちらも10 g です。全体の平均と分散を求めてください。また、同じ2班を合わせた平均が11 g であるという主張が条件に合うか答えてください。

練習の答えと確かめ方

合計はA班が 2・3 = 6 cm、B班が 4・6 = 24 cm です。平均は (6 + 24)/6 = 5 cm です。班内の分と班間の分を足します。

班内の分 = (2・1 + 4・2)/6
           = 10/6 = 5/3 cm²
班間の分 = {2・(3 - 5)² + 4・(6 - 5)²}/6
           = 12/6 = 2 cm²
全体の分散 = 5/3 + 2
           = 11/3 cm²

平均5 cm に6人を掛けると30 cm で班の合計に戻ります。二乗和でも 2・(1 + 3²) + 4・(2 + 6²) = 172 cm² です。172/6 − 5² = 11/3 cm² となり、一致します。

合計は 5・8 + 3・8 = 64 mL、人数は8人です。平均は 64/8 = 8 mL です。班平均がともに全体平均と等しいので、班間の分は0 mL² です。

全体の分散 = (5・4 + 3・6)/8 + 0
           = 38/8
           = 19/4 mL²

平均8 mL に8人を掛けると64 mL です。値の二乗和は 5・(4 + 8²) + 3・(6 + 8²) = 550 mL² で、550/8 − 8² = 19/4 mL² と戻せます。人数が違うので、4と6の単純平均5は使いません。

E班の合計は 2・5 = 10 cm、F班は 3・9 = 27 cm です。平均は (10 + 27)/5 = 37/5 cm です。班ごとに値の二乗和を復元します。

E班の二乗和 = 2・(1 + 5²) = 52 cm²
F班の二乗和 = 3・(3 + 9²) = 252 cm²
全体の分散 = (52 + 252)/5 - (37/5)²
           = 1520/25 - 1369/25
           = 151/25 cm²

平均 37/5 cm に5人を掛けると37 cm です。分散に平均の二乗を足し5倍すると304 cm² で、52 cm² と252 cm² の和に戻ります。班内の分 11/5 cm² に班間の分 96/25 cm² を加えても 151/25 cm² です。

H班の人数を h 人とします。合計と平均から、次の式になります。

(4・2 + 8h)/(4 + h) = 6
8 + 8h = 24 + 6h
2h = 16
h = 8

8人は正の整数です。G班の合計8分とH班の合計64分を合わせると72分で、12人の平均は6分に戻ります。分散は次のように求めます。

班内の分 = (4・1 + 8・1)/12 = 1 分²
班間の分 = {4・(2 - 6)² + 8・(8 - 6)²}/12
           = (64 + 32)/12 = 8 分²
全体の分散 = 1 + 8 = 9 分²

二乗和は 4・(1 + 2²) + 8・(1 + 8²) = 540 分² です。540/12 − 6² = 9 分² となります。

4人の合計は 4 + 4 + 10 + 10 = 28 g なので、平均は 28/4 = 7 g です。各班の分散は0 g² ですが、平均の差が残ります。

全体の分散 = {2・(4 - 7)² + 2・(10 - 7)²}/4
           = (18 + 18)/4
           = 9 g²

4人の二乗和は 16 + 16 + 100 + 100 = 232 g² です。232/4 − 7² = 9 g² と確かめられます。平均11 g なら4人の合計は44 g になるはずですが、実際の合計は28 g なので条件に合いません。各班の中の値が一致していても、全体で同じ値になるとは限りません。