高校数学A 条件付き確率の分母—二段階の分類表から条件に合う全体を選び直す｜武蔵野個別指導塾

検査済み部品を分類した表から、条件に当たる列を分母に選び、目的との共通部分を分子に置く理由を読み取ります。

よくあるのは、検査済み部品を印の有無と寸法の適合・不適合で整理した表を見て、高1が「印がある部品の中から」と言われても、印のない列まで分母に残す場面です。表の全体から1個を選ぶ操作は同じでも、選ばれた部品に関する情報が加わると、割合を考える対象は変わります。どの情報を先に受け取り、その中で何を知りたいのかを、表の縁に書き込んでから計算しましょう。

表から問われる3つの形

表の行と列がそれぞれ二つの状態を表すとき、まず行と列の交点に入る個数を読みます。例えば、印の有無を列、寸法の適合・不適合を行に置けば、各部品はちょうど1つのマスに入ります。行の合計は寸法の状態を固定した個数、列の合計は印の状態を固定した個数です。右下の総数は表全体の個数です。

問われ方には、列を条件として行の割合を求める形、行を条件として列の割合を求める形、空欄を合計から補って条件付き確率を求める形があります。いずれも「何の中で」という言葉が分母の候補を決めます。「何が起きたか」が条件で、「その中で何を求めるか」が目的です。目的と条件を逆にすると、共通するマスは同じでも分母が変わります。

個数をそのまま割る方法には、対象の各部品が同様に確からしく選ばれるという前提が必要です。選びやすさが部品によって違う場合は、個数の比だけで確率は決まりません。また、分類が重複したり、どちらにも入らない部品があったりすると、行や列の合計をそのまま使えません。表を作る前に、各軸が全体を重なりなく分けているか確かめます。

条件が決める分母

事象Bが起こったという条件のもとで事象Aが起こる確率を、条件付き確率といい、P(A｜B)と書きます。縦線の右側が条件、左側が目的です。P(B)>0のとき、定義は次のとおりです。

P(A｜B) = P(A∩B)/P(B)

A∩BはAとBがともに起こる事象です。P(B)が正であることを先に確かめるのは、0で割れないからです。Bが起こる可能性がない場合、この式による条件付き確率は定義されません。答えを0と決めるのではなく、条件そのものを確認します。

同様に確からしい有限個の結果があり、Bに当たる結果がb個、AとBの両方に当たる結果がc個なら、b>0を確認してc/bです。元の全体をN個とすると、P(B) = b/N、P(A∩B) = c/Nなので、割り算でNが消えます。全体を無視したのではなく、同じ全体を使って求めた二つの確率の比を取った結果です。

図1のように、Bの列全体を新しい分母として囲み、Aの行との交点を分子にします。図1では記号の位置を示しており、個数の大小は表していません。B以外の列にAがあっても、それは条件Bに合わないため分子にも分母にも入りません。

基本例題：印のある列を選ぶ

検査した部品は全部で40個あり、どの1個も同様に確からしく選ばれます。印のある部品は15個で、そのうち寸法が適合するものは12個です。印のない部品25個のうち、寸法が適合するものは20個です。1個を選び、印があるとわかったとき、寸法が適合する条件付き確率を既約分数で求めてください。

まず印のある列を基準にします。印のある15個のうち、目的の適合に当たるのは12個です。残りの3個は印があって不適合です。印のない列でも適合20個、不適合5個となり、行の合計を含めて図2の表ができます。

図2の印のある列は15個で正ですから、条件付き確率を定義できます。Aを適合、Bを印ありとすると、全体に対する確率を使っても同じ答えです。

P(B) = 15/40
P(A∩B) = 12/40
P(A｜B) = (12/40)/(15/40)
             = 12/15
             = 4/5

答えは4/5です。12/40は「印があり、かつ適合する」確率で、条件がわかった後の割合とは問いが違います。15個の内訳に戻すと、適合12個と不適合3個で15個です。条件内の二つの割合は12/15と3/15で、和は1になります。分子が分母を超えず、答えも0以上1以下です。

逆に「適合とわかったとき印がある確率」なら、適合の行の合計32個を分母にします。同じ12個を使っても12/32 = 3/8です。質問の後半にある言葉を機械的に分母にするのでなく、「わかった情報」と「求めたい状態」を区別してください。

標準例題：合計から交点を補う

同じ大きさのカード60枚を、穴の有無と青い線の有無で分類しました。穴があるカードは24枚、青い線があるカードは35枚、穴も青い線もないカードは15枚です。1枚を同様に確からしく選び、青い線があるとわかったとき、穴もある確率を既約分数で求めてください。

青い線の列を分母にすることは決まっていますが、交点の個数が直接は与えられていません。穴も線もない15枚を全体から除くと、穴か線の少なくとも一方がある枚数が得られます。穴の24枚と線の35枚を足すと、両方あるカードだけを2回数えるので、重複分を引きます。

穴か線の少なくとも一方 = 60 - 15 = 45
両方ある枚数 = 24 + 35 - 45
             = 14
P(穴あり｜線あり) = 14/35
                     = 2/5

線のある35枚が正なので、答えは2/5です。表に戻すと、穴あり・線なしは10枚、穴なし・線ありは21枚、両方なしは15枚です。4つのマスの和は14 + 10 + 21 + 15 = 60です。行の和は14 + 10 = 24、線ありの列の和は14 + 21 = 35となり、与えられた条件に戻ります。

別の数え方では、線のないカードは60 − 35 = 25枚です。そのうち穴もない15枚を除けば、穴あり・線なしは10枚です。穴のある24枚からこの10枚を除くと、両方あるのは14枚になります。どちらの方法も4つのマスを同じ組に分けており、同じカードを二重に数えたり、落としたりしていません。

発展例題：向きを変えて不足を求める

ある作品の札は全部で80枚です。丸印ありと丸印なし、赤線ありと赤線なしの2軸で分類します。丸印のある札は30枚、赤線のある札は40枚です。赤線がある札を同様に確からしく1枚選んだとき、丸印もある確率は3/5です。全80枚から同様に確からしく1枚選び、丸印があるとわかったとき、赤線がない確率を既約分数で求めてください。

はじめに与えられた3/5は、赤線ありの40枚を分母にした割合です。40は正なので、この割合を使えます。両方ある枚数を求めてから、丸印の列に移ります。求める確率は与えられた確率の逆数ではありません。分母も目的も異なるからです。

丸印と赤線がともにある枚数 = 40・(3/5) = 24
丸印あり・赤線なしの枚数 = 30 - 24 = 6
P(赤線なし｜丸印あり) = 6/30
                         = 1/5

丸印のある30枚も正なので、求める条件付き確率は定義され、答えは1/5です。残るマスは丸印なし・赤線ありが40 − 24 = 16枚、どちらもなしが80 − 24 − 6 − 16 = 34枚です。いずれも負でなく、4つの和は80枚です。赤線ありの40枚に戻せば24/40 = 3/5、丸印ありの30枚に戻せば6/30 = 1/5です。

ここで条件の数が0なら、同じ割り算は使えません。また、与えられた割合から交点の枚数を出したとき、小数になってしまう、あるいは行や列の合計を超えるなら、札の枚数として条件が両立しません。計算結果を無理に表へ押し込まず、問題文や転記を確認します。表が完成して初めて、求める向きで割合を読み直せます。

誤答を表に戻して直す

基本例題で「12/40」とした場合、12個の選び方は合っていますが、条件の印ありを分母に反映していません。全40個を対象にした確率を計算しているのが原因です。印ありの15個を囲み直し、その中の12個を見ると12/15になります。

図3の左は全体に対する割合、右は条件を受けた割合を示します。図3で分子が変わらないのは、適合かつ印ありという交点が共通だからです。分母が40から15に変わる理由を言葉で説明できるか確かめましょう。

もう一つの誤りは12/32です。これは適合の32個を条件に、印ありが何個かを見ています。問題の「印があるとわかったとき」を取り違えたことが原因です。縦線の右に印あり、左に適合と書き直せば、15を選べます。条件と目的を交換した確率がたまたま等しい表もあるので、答えの数値が合うかだけでは向きを判定できません。

表に0があるときも場所が重要です。交点が0で条件の合計が正なら、目的が起きる条件付き確率は0です。一方、条件の合計自体が0なら分母が0になり、定義できません。0を見つけたら、交点か条件の合計かを先に判別します。

練習問題

各問では指定された対象を同様に確からしく1個選びます。確率は既約分数で答え、定義できない場合はその理由も述べてください。

1. 色紙50枚のうち模様ありが18枚で、そのうち厚紙は9枚です。模様なし32枚のうち厚紙は8枚です。模様ありとわかったとき、厚紙である確率を求めてください。
2. 標本札70枚のうち角印ありが28枚、線ありが30枚、両方なしが25枚です。線ありとわかったとき、角印ありである確率を求めてください。
3. 部屋の模型用片90個のうち、穴ありが36個、溝ありが45個です。溝ありのうち穴ありが2/3です。穴ありとわかったとき、溝なしである確率を求めてください。
4. 布片24枚は、縞あり12枚と縞なし12枚に分かれます。縞ありの中に丸印はなく、縞なしの中に丸印が7枚あります。縞ありとわかったとき丸印がある確率を求めてください。
5. 木片20個はすべて印なしで、うち長いものが8個です。印ありとわかったとき長い確率を、この表から定義できるか考えてください。

練習問題の答えと解き方

1. 条件の模様ありは18枚で正です。その中の厚紙9枚を数えるので、9/18 = 1/2です。模様ありの残り9枚は厚紙でなく、9 + 9 = 18と条件の枚数に戻ります。模様なしの8枚は条件を満たさないため分子に加えません。

2. 少なくとも一方がある札は70 − 25 = 45枚です。両方ある札は28 + 30 − 45 = 13枚です。条件の線あり30枚は正なので、求める確率は13/30です。残りのマスは角印のみ15枚、線のみ17枚、両方なし25枚です。和が70枚となり、角印28枚と線30枚にも戻ります。

3. 溝あり45個は正で、その2/3に当たる30個が両方ありです。穴あり36個から30個を除くと、穴あり・溝なしは6個です。36は正なので、求める確率は6/36 = 1/6です。ほかのマスは溝のみ15個、両方なし39個で、合計は90個です。30/45が与えられた2/3に戻ることも確認できます。

4. 条件の縞あり12枚は正ですが、その中の丸印は0枚です。したがって0/12 = 0です。縞なしの7枚は丸印があっても条件の外です。残りの縞なし5枚と合わせ、12 + 7 + 5 = 24枚になります。

5. 印ありの個数は0個で、条件の確率は0です。長いものが8個あることを使っても、印ありの中での割合は0を分母とするため定義できません。印なしの中の長い割合8/20を、求められた確率の代わりにはできません。

覚えておくこと

条件付き確率は、条件の確率が正であることを先に確かめます。
条件に合う全体を分母、目的と条件の共通部分を分子にします。
条件と目的を交換すると、通常は分母が変わります。
交点が0の場合と条件の合計が0の場合を分けます。

つまずきの見分け方

分子と分母を口頭で尋ねると、計算の前の判断が見えます。「その分母の部品は、どんな情報がわかったものですか」と聞き、表の該当部分を指してもらいます。全体を指した場合は、条件に合わない列を除いてよい理由を一緒に確認します。交点を指せない場合は、行と列の両方の言葉を一つの文にして読みます。

個別指導で式を見るときは、分数の大小だけで正誤を決めず、縦線の右に置いた条件と、表で囲んだ行または列が一致するかを確かめます。空欄を補う問題なら、4つのマスを合計して元の数に戻るかも尋ねます。条件に当たる個数が0なら割り算へ進めないことまで確認できれば、別の分類表でも分母を選び直せます。