高校数学A 反復試行でちょうど何回—成功位置の組合せと一つの並びの確率を分ける｜武蔵野個別指導塾

発芽する位置の選び方と一つの結果列の確率を分け、0回や全回成功、特定の回を固定する条件まで扱います。

よくあるのは、高1が同じ条件の発芽実験で、成功が先頭に並ぶ一通りだけを数える場面です。4回のうち2回成功なら、最初の2回が成功する並びも条件に合いますが、1回目と3回目が成功する並びもあります。結果を時間順に書き、成功した回を選び直すと、求める範囲が見えてきます。

問われるのは回数か、位置か

反復試行は、同じ条件の試行を独立に繰り返すときに使います。各回を成功と失敗の二つに分け、成功の確率が毎回同じであることを確かめます。ここでいう成功は、問題で注目する結果の名前です。よい結果という意味に限らず、発芽しないことを成功と決めて数えることもできます。

出方には、成功回数だけを指定する型と、特定の回の結果も指定する型があります。前者では成功位置を選びます。後者では固定された位置を除いた残りを選ぶ必要があるため、全回から無条件に選ぶ式をそのまま使えません。また0回や全回成功も、位置の選択を端まで広げた場合です。

まず試行の回数、成功の確率、求める成功回数を問題文に戻して確認しましょう。独立と一定の確率が与えられないとき、後の公式を適用する根拠はありません。取り出したものを戻さない抽出では、通常は中身が変わり、成功確率も変わります。

位置を選ぶことと確率を掛けること

各回の結果を成功S、失敗Fと書きます。独立な試行では、指定した一連の結果が起こる確率は、それぞれの回の確率の積です。成功の確率をpとすれば、失敗の確率は1 − pです。n回中r回成功する一つの指定された並びの確率は、成功の因子がr個、失敗の因子がn − r個あるので、pのr乗と(1 − p)の(n − r)乗の積です。

図1のように、成功位置の選択と一つの並びの確率は別々の作業です。成功位置を決めれば残りは失敗位置に決まり、各並びは位置の選択と一対一に対応します。異なる並びは同時には起こらないため、それぞれの確率を足せます。

n個の位置からr個を選ぶ方法はnCr通りです。どの並びも成功と失敗の個数が同じなので確率が等しく、求める確率は次の式です。

nCr・pのr乗・(1 − p)の(n − r)乗

nは正の整数、rは0以上n以下の整数、pは0以上1以下です。r = 0では位置の選び方は1通りで、答えは(1 − p)のn乗です。r = nでも選び方は1通りで、答えはpのn乗です。pが0や1の場合は、確実に起こる回数と不可能な回数を直接判断すれば、0の0乗の扱いに迷いません。

成功位置は異なりますが、成功した種自体をさらに並べ替える必要はありません。一方、回ごとの成功確率が異なる場合、位置によって並びの確率が変わり得ます。その場合は同じ確率を組合せの数倍することはできず、各位置の確率を調べます。

たとえば成功の回数だけが指定される場合、成功の並ぶ順番を別に選ぶのではなく、回を表す位置の集合を選びます。各位置には成功か失敗のどちらかが入ります。選んだ位置を成功、選ばなかった位置を失敗にすれば、元の列を一つに復元できます。この対応は、公式の組合せがなぜ一度だけ現れるかを説明しています。

基本例題：4回の発芽

問題　ある種を1粒ずつ4回、互いに独立に同じ条件で調べます。各回の発芽確率は1/3です。ちょうど2回発芽する確率を既約分数で求めてください。

発芽をS、発芽しないことをFとします。1回ごとの結果は独立で、発芽確率も一定なので、成功位置を選べます。例えばSSFFは条件に合う一つの並びです。

図2のように、4つの位置から2つを選ぶと6通りあります。それぞれの並びにSが2個、Fが2個あり、各並びの確率は等しくなります。

一つの並びの確率 = (1/3)²・(2/3)²
                       = 4/81
成功位置の選び方 = 4C2
                       = 6
求める確率 = 6・4/81
                 = 8/27

図2の各行を元の条件へ戻すと、いずれも4回の結果でSが2個です。逆に条件を満たす列はSの位置を2つ選べば必ずその表の一行に対応するため、漏れも重複もありません。並びは互いに排反なので、6倍してよいことも確認できます。

例えばSF SFという順の列を考えると、先頭2回の成功ではありません。それでも成功回数は2回です。回数の条件と、順序まで指定された条件を区別することが最初の分かれ目です。

標準例題：位置を一つ固定する

問題　ある装置の読み取りを5回行います。各回は独立で、読み取れる確率は2/3です。1回目に読み取れ、5回全体ではちょうど3回読み取れる確率を既約分数で求めてください。

1回目は成功と決まっています。残り4回には成功が2回必要です。したがって、残りの位置から2つを選びます。1回目を固定した後も、各回は独立で成功確率は一定です。

残りの成功位置の選び方 = 4C2
                               = 6
一つの並びの確率 = (2/3)³・(1/3)²
                       = 8/243
求める確率 = 6・8/243
                 = 16/81

各並びの成功は固定した1回と残りの2回で合計3回です。失敗は残りの2回なので、元の5回に戻ります。成功位置を5C3で選ぶと、1回目が失敗の並びも含まれてしまいます。

別の数え方では、まず5回中3つの成功位置を選びます。そのうち1回目を含む選択を取り出せば、残り4位置から2つ選ぶことと同じです。両方の見方で対応する並びは同一で、さらに順序を掛ける必要はありません。

発展例題：両端の条件と残りの回数

問題　ある信号の受信を6回試みます。各回は独立で、受信できる確率は1/4です。最初と最後の結果が異なり、6回全体でちょうど2回受信できる確率を既約分数で求めてください。

最初と最後が異なるので、両端の成功はちょうど1回です。その位置は最初か最後の2通りです。残り4回では、全体の成功を2回にするために成功が1回必要です。両端の選択と内側の選択を組み合わせれば、条件を満たす列が一つ決まります。

両端の並び = 2通り
内側の成功位置 = 4C1
                        = 4通り
条件を満たす並び = 2・4
                         = 8通り
一つの並びの確率 = (1/4)²・(3/4)⁴
                       = 81/4096
求める確率 = 8・81/4096
                 = 81/512

各列は両端に成功1回、内側に成功1回を持ちます。したがって全体では成功2回、失敗4回であり、両端も異なります。両端のどちらが成功かで場合は重ならず、内側の成功位置も一つに決まるので8通りを重複なく数えています。

ここで、両端の結果が同じという条件なら内訳が変わります。両端がともに失敗なら内側で2回成功し、両端がともに成功なら内側は0回成功です。この二つは両立しないのでそれぞれを数えて足します。条件の言葉を変えたときに、残りの成功回数まで変わるかを確かめると、固定した位置を二重に数えずに済みます。

誤答を位置に戻して直す

基本例題で、(1/3)²・(2/3)² = 4/81をそのまま答えにする誤りがあります。これはSSFFという一つの並びの確率としては正しい値です。しかし問題は先頭からの成功を指定していません。SF FSなど、成功位置の異なる列も条件に合います。

図3のように、まず式が表す一行を指で追い、残りの条件に合う行を探します。成功位置の6通りが排反で、それぞれ同じ確率であることを確かめてから6倍すると、8/27に直せます。

反対に、組合せの数を2回掛ける誤りもあります。4C2は成功の位置を選び終えた数なので、その上で成功を2個並べ替えても新しい列は生まれません。また、失敗位置は成功位置の補いとして決まります。失敗の位置を独立に選び直すと、同じ列を何度も数えることになります。

式が使えない場合も見分ける

同じ操作を繰り返しているように見えても、各回の確率が一定とは限りません。例えば箱から色のついた玉を取り出して戻さないと、最初の結果によって次に残る玉の数が変わります。成功と失敗の個数が同じ列でも、各回に掛ける確率を確認せずに反復試行の式を置くことはできません。箱の中身を回ごとに書き、枝にその時点の確率を置く方法を考えます。

また、独立であっても各回の成功確率が違えば、成功位置によって列の確率が異なることがあります。位置の数は組合せで数えられても、その数を一つの列の確率に掛けるだけでは足りません。必要な位置ごとに積を求め、互いに排反な列の確率を足します。公式に数字を入れる前に、何が同じで何が変わるかを確かめる理由はここにあります。

確率が0または1の極端な場合も、成功と失敗の意味をたどれば判断できます。成功確率が0なら全回失敗が確実で、それ以外の成功回数は起こりません。成功確率が1なら全回成功が確実です。計算結果は必ず0以上1以下であり、あり得ない回数に正の確率を出していないかも点検します。

練習問題

各問題では、記載した各回の結果を独立とし、成功確率はその問題の中で一定とします。確率は既約分数で答えてください。

1. コインを3回投げ、各回に表が出る確率は1/2です。表がちょうど1回出る確率を求めてください。
2. 表示灯を5回点け、各回に青く光る確率は1/2です。青く光る回が0回である確率を求めてください。
3. 球を箱から1個取り出して色を記録し、毎回戻して混ぜます。各回に赤が出る確率は2/5です。3回とも赤が出る確率を求めてください。
4. 印刷を4回試し、各回に印が鮮明になる確率は3/4です。最後の回が鮮明で、全体ではちょうど2回鮮明になる確率を求めてください。
5. 合図を5回送り、各回に届く確率は1/3です。最初と最後の結果が異なり、全体ではちょうど3回届く確率を求めてください。

練習問題の答えと解き方

1. 表の位置を3つから1つ選びます。残り2回は裏です。

3C1・(1/2)・(1/2)² = 3/8

表が1回、裏が2回で計3回です。3つの位置のどれを選んでも異なる列になり、該当する列は漏れなく数えられます。

2. 青い回がない列は、5回とも青以外という1通りです。

5C0・(1/2)⁵ = 1/32

成功位置の空の選択は1通りです。5回のいずれも青でないことを元の条件に戻して確かめます。

3. 全回が赤なら、赤の位置は3か所に決まり、選び方は1通りです。

3C3・(2/5)³ = 8/125

戻して混ぜるので、各回の赤の確率は2/5のままです。3回とも赤という列にほかの色は含まれません。

4. 最後の成功が固定されるため、先の3回に成功が1回必要です。

3C1・(3/4)²・(1/4)² = 27/256

先の3回の選んだ位置と最後の位置で、鮮明な回は合計2回です。残る2回は鮮明でないため、4回の条件に一致します。

5. 両端に届く回が1回あるので、内側3回に届く回が2回必要です。

2・3C2・(1/3)³・(2/3)² = 8/81

両端の成功位置は2通り、内側は3通りです。各列は届く回3回と届かない回2回からなり、両端の結果も異なります。

覚えておくこと

独立と成功確率の一定を先に確かめます。
成功位置の選び方と一つの列の確率を掛けます。
固定された回があれば、残りの回数と成功数を調整します。
0回と全回成功では、位置の選び方はそれぞれ1通りです。

式のどこで迷ったかを見分ける

個別に式を確かめるときは、まず「この積はどの順の結果を表しますか」と尋ねます。一つの列を正しく表せても、求める事象の全部とは限りません。列を一つ書いてから、同じ回数の成功を持つ別の列を作れるかを見ると、組合せの因子が必要な理由を確認できます。

組合せを書けた人には、上の数が選択可能な位置の数、下の数がその中に必要な成功の数になっているかを尋ねます。固定された位置がある問題では、その成功を全体から引いた後の数を説明してもらいます。最後に、得られた列を元の回数と条件に戻すと、式と問題文のずれを見つけられます。成功の回数を数える式は、成功位置の選択から読めます。