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高校数学A 期待値による比較—同じ単位と条件で二つの方法の平均を比べる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学A 場合の数と確率を掘り下げる

回収個数の期待値が同じでも必要数に届く確率が異なる例から、方法を選ぶ基準を確かめます。

よくあるのは、高1が材料を回収する二つの方法を比べ、平均が大きい方法なら毎回多く回収できると思う場面です。たとえば、ある方法では回収できないこともあれば、一度に多く集まることもあります。別の方法では結果が毎回同じかもしれません。選択に使う数字を計算する前に、何を1回とし、何個を数え、どの結果がどれくらいの確率で起こるかをそろえましょう。

比較する問いを読み取る

期待値の問題には、結果と確率の表から平均を計算して大きい方法を選ぶ型があります。また、平均が同じ二つの方法について、指定された個数以上を得る確率を比べる型もあります。さらに、途中で得られた材料を含めた総数を比べる型では、どの時点までを数えるかが判断を左右します。

いずれも、まず問いが求める基準を確認します。「1回あたりの回収個数の期待値が大きい」という条件と、「1回で必要数以上を得る確率が高い」という条件は違います。前者で優れていても、後者では逆になることがあります。何を優先するかが与えられていない場合、計算した数字だけから唯一の選択を決めることはできません。

ここでは有限個の結果を持つ作業を扱います。数える単位は個や枚などの個数とし、賭けや料金は考えません。確率の理論を広げるより、表の各行が実際の結果に対応しているかを確認します。

期待値は何を比べる数か

確率変数とは、試行の結果に応じて値が定まる変数です。その取り得る値が x₁, x₂, …, xₙ で、それぞれの確率が p₁, p₂, …, pₙ のとき、期待値は x₁・p₁ + x₂・p₂ + … + xₙ・pₙ です。同じ値になる結果が複数あるなら、先にその確率を足して1行にまとめても同じです。各確率は0以上1以下で、その和は1です。

図1のように、結果の値と確率を対応させて掛け、積を足します。0個の行は積が0でも、起こらないという意味ではありません。確率の和を確かめるためにも残します。期待値の単位は結果の値と同じ個です。

比較の前には、両方が同じ作業回数についての個数か、同じ種類の材料を数えているかを確かめます。2回分の合計と1回分をそのまま比べることはできません。単位が異なる場合も、問題で換算できる条件が与えられて初めて共通の単位に直せます。

期待値は起こり得る値の最小以上、最大以下です。しかし候補の一つとは限りません。たとえば0個か3個のどちらかが同じ確率で起こるなら期待値は3/2個ですが、1回の回収で3/2個を得るわけではありません。長く同じ条件を繰り返すときの平均を考える目安として使えますが、今回の結果を保証する数ではありません。

結果の表を作るときは、同じ結果に至る道が複数ある場合にも注意します。道ごとの確率をそれぞれ書けば、同じ個数に同じ値を掛けた項が複数できます。その確率を足してから個数を掛けても、分配法則によって合計は変わりません。ただし、道が重なって同時に数えられる場合は、そのまま足すと確率を二重に数えます。互いに重ならない結果に分けてから表にします。

比較の条件が「平均を最大にする」と定まっているなら、期待値の大小が直接答えになります。条件が「必ず一定個数を確保する」なら、最小の結果も調べます。必要な数を下回る行が正の確率であれば、その方法は必ず確保する条件を満たしません。平均の大小だけでは、この判定はできません。

基本例題：1回の回収個数を比べる

方法Aは1回の作業で0個を確率1/4、4個を確率3/4で回収します。方法Bは1回の作業で必ず2個を回収します。どちらも同じ材料を数えます。1回あたりの回収個数の期待値をそれぞれ個を単位として求め、期待値が大きい方法を答えてください。

図2のように、Aでは回収できない結果も表に入れます。確率の和は1/4 + 3/4 = 1、Bの確率も1です。したがって両方とも1回の結果を漏れなく表しています。

Aの期待値を計算します。

0・(1/4) + 4・(3/4)
= 0 + 3
= 3 個

Bは2個が確率1で起こるので、期待値は次の通りです。

2・1
= 2 個

3個は2個より大きいので、期待値が大きいのはAです。元の場面に戻すと、Aの結果は0個か4個であり、3個は1回の結果には現れません。Bは必ず2個です。Aを選んでも0個の可能性が1/4あるため、毎回B以上を得るとは言えません。

同じ表から「1回で2個以上」という別の基準も見られます。Aは4個の行に限られ、その確率は3/4です。Bは必ず2個なので確率1です。期待値で選ぶ問いの答えはAですが、2個以上に届く確率で選ぶならBです。比較の基準を変えたことを答えに添えると、二つの結論は矛盾しません。

標準例題：平均が同じでも結果は違う

同じ材料を1回回収する方法CとDがあります。Cでは1個または5個がそれぞれ確率1/2で得られます。Dでは2個または4個がそれぞれ確率1/2で得られます。各方法の期待値を個を単位として求め、4個以上を得る確率を既約分数で答えてください。

それぞれの確率の和は1なので、与えられた行で全結果を表します。期待値を順に求めます。

C: 1・(1/2) + 5・(1/2)
= 1/2 + 5/2
= 3 個
D: 2・(1/2) + 4・(1/2)
= 1 + 2
= 3 個

期待値はどちらも3個です。4個以上という条件では、Cは5個の行、Dは4個の行が該当します。したがって確率はどちらも1/2です。ただし、1個しか得られない可能性はCにあり、Dにはありません。逆に5個を得る可能性はCにあり、Dにはありません。

別の見方では、Cは3個から2個少ない結果と2個多い結果が同じ確率で、Dは3個から1個少ない結果と1個多い結果が同じ確率です。どちらも中心は3個ですが、表の端にある値は異なります。平均が一致することから、各結果の確率まで一致するとは言えません。

たとえば最低2個が必要であれば、Cで条件を満たす確率は1/2、Dでは1です。この基準ならDが有利です。一方、5個を得る可能性が必要ならCにしかありません。何が必要かに応じて表の該当行を選び直します。

発展例題：途中の回収も含めて比べる

方法Eではまず必ず1個を回収し、その後、追加で0個を確率2/3、6個を確率1/3で回収します。方法Fでは1回の作業全体で2個を確率1/4、4個を確率3/4で回収します。どちらも同じ材料です。作業全体の回収個数の期待値を個を単位として求め、期待値の大きい方法を答えてください。また、全体で4個以上を得る確率をそれぞれ既約分数で求めてください。

Eの追加分だけをFの全体と比べると、数える範囲が異なります。Eの全体の結果は、必ず得る1個をそれぞれに足して1個か7個です。それぞれの確率は2/3、1/3のままで、和は1です。Fの確率の和も1です。

E: 1・(2/3) + 7・(1/3)
= 2/3 + 7/3
= 3 個
F: 2・(1/4) + 4・(3/4)
= 1/2 + 3
= 7/2 個

7/2 > 3 なので期待値が大きいのはFです。Eの計算は、追加分の期待値 0・(2/3) + 6・(1/3) = 2個に、必ず得る1個を足しても確かめられます。各結果に1個ずつ足す操作は、確率の和が1なので期待値を1個増やします。

4個以上に該当するのは、Eでは7個の行、Fでは4個の行です。したがってEは1/3、Fは3/4です。ここでは期待値も必要数に届く確率もFが大きいですが、いつもそうなるわけではありません。基本例題のAとBでは二つの基準の結論が分かれました。

条件を「追加分が4個以上」に変えると、Eについて見る対象は全体の1個か7個ではなく追加の0個か6個です。今回は該当確率が偶然同じ1/3ですが、基準を変えたことを明示する必要があります。実際に何を数えるかが違えば、同じ表の数字をそのまま使えるとは限りません。

誤答から表を直す

基本例題で「Aは0個と4個の平均だから2個、Bも2個なので同じ」とする誤答を考えます。原因は、二つの結果が同じ確率だと扱ったことです。Aは0個が1/4、4個が3/4で、4個の方が起こりやすい条件です。図3のように確率を各行に戻し、値に掛けてから足すと3個になります。

別の誤りは「Aの期待値が3個だから必ず3個以上」です。3個はAの結果の候補にありません。表に戻れば0個の行が確率1/4で残っています。期待値と、指定数以上になる確率を別々に求めましょう。

また、確率の合計が1にならない表で、そのまま期待値を計算してはいけません。結果の行が抜けたのか、確率を書き間違えたのか、条件を確認します。与えられた情報で欠けた行の値まで定まらなければ、勝手に補って比較することはできません。

練習問題

各問の確率は示された結果で全体を尽くします。期待値は個を単位として、確率は既約分数で答えてください。

方法Pは0個を確率1/3、6個を確率2/3で得ます。方法Qは必ず3個を得ます。期待値を比べ、3個以上を得る確率もそれぞれ求めてください。
方法Rは2個と8個をそれぞれ確率1/2で得ます。方法Sは必ず5個を得ます。期待値と、6個以上を得る確率をそれぞれ求めてください。
方法Tは1個、3個、5個をそれぞれ確率1/4、1/2、1/4で得ます。方法Uは2個を確率2/3、5個を確率1/3で得ます。期待値と、3個以上を得る確率をそれぞれ求めてください。
方法Vでは必ず2個を得た後、追加で0個を確率3/4、8個を確率1/4で得ます。方法Wでは全体で1個を確率1/2、7個を確率1/2で得ます。全体の期待値と、全体で7個以上を得る確率をそれぞれ求めてください。
方法Xは0個を確率1/2、8個を確率1/2で得ます。方法Yは3個を確率1/4、5個を確率3/4で得ます。期待値を比べ、少なくとも3個を得る確率をそれぞれ求めてください。

練習問題の答えと解き方

Pの期待値は 0・(1/3) + 6・(2/3) = 4個、Qは 3・1 = 3個です。期待値はPが大きいです。3個以上はPでは6個の行なので2/3、Qでは必ず満たすので1です。Pの0個の行は条件を満たしません。
Rの期待値は 2・(1/2) + 8・(1/2) = 5個、Sも5個です。6個以上はRでは8個の行の1/2、Sでは該当する行がなく0です。Sの5個は6個以上に入りません。同じ期待値でも必要数に届く確率は異なります。
Tの期待値は 1・(1/4) + 3・(1/2) + 5・(1/4) = 3個です。Uは 2・(2/3) + 5・(1/3) = 3個です。3個以上はTで1/2 + 1/4 = 3/4、Uで1/3です。Tの3個の行は境界を含むので足します。
Vの全体は2個または10個で、確率は順に3/4、1/4です。期待値は 2・(3/4) + 10・(1/4) = 4個です。Wは 1・(1/2) + 7・(1/2) = 4個です。7個以上はVでは10個の行で1/4、Wでは7個の行で1/2です。Vの追加0個の場合も、先の2個は残ります。
Xの期待値は 0・(1/2) + 8・(1/2) = 4個です。Yは 3・(1/4) + 5・(3/4) = 9/2個です。期待値はYが大きいです。少なくとも3個はXで1/2、Yで1です。Yは3個の行も条件に含まれます。