高校数学A 事象の独立と排反—同時に起こる確率から二つの性質を判定する｜武蔵野個別指導塾

点灯条件の表と確率0・1の境界から読み解くのが事象の独立と排反です。

よくあるのは、二つの点灯条件が同時に成立しないとわかった高1が、「片方が点灯してももう片方に影響しないから独立」と判断する場面です。同時に起こらないことと、一方が起こったと知っても他方の確率が変わらないことは、別の条件です。点灯の記録を表にして、二つの条件が重なる部分と、それぞれの合計を比べます。

どの数を比べる問題か

判定問題には、まず二つの事象が与えられ、その両方が起こる確率を調べる型があります。次に、表の空欄を文字で表し、独立になるような値を求める型があります。さらに、確率が0や1の場合に独立と排反が両立するかを考える型もあります。どの型でも、同じ手順で二つの性質を別々に調べられます。

最初に試行の結果を決め、事象Aと事象Bがそれぞれどの結果を含むかを確認します。表を使う場合は、行と列の合計を混同しないことが重要です。各結果が同様に確からしいと明示されているときは個数の比で確率を求められますが、そうでない表では各結果の確率を足します。見た目の条件が離れているかどうかだけでは判定できません。

重なりと積を区別する

事象AとBの両方が起こる事象をA∩Bと書きます。AとBが互いに排反であるとは、両方が同時に起こる結果が存在しないことです。したがって排反ならP(A∩B) = 0です。有限の標本空間で、各結果の確率が正なら逆も成り立ちます。確率0の結果を含む可能性を考える一般の場合は、重なりが確率0でも集合として空とは限らないので、排反は結果そのものを確認します。

事象AとBが独立であるとは、次の等式が成り立つことです。

P(A∩B) = P(A)・P(B)

左辺は同時に起こる確率、右辺はそれぞれの確率の積です。独立を示すには両辺を計算して一致させます。一致しなければ独立ではありません。条件付き確率を使うなら、P(A) > 0のときP(B｜A) = P(A∩B)/P(A)です。この値がP(B)に等しいことと独立は同じです。ただしP(A) = 0ならこの割り算はできないため、定義の積の等式で判定します。

図1のように、表の左上が両方の条件を満たす部分です。行の合計がP(A)、列の合計がP(B)です。排反は左上に結果がないかを調べ、独立は左上の確率と合計どうしの積を比べます。同じ表を使っても、調べる条件が異なります。

例えばP(A)とP(B)がともに正なら、その積も正です。排反なら同時に起こる確率は0ですから、積の等式は成り立たず独立ではありません。一方、Aが起こる確率が0なら、A∩Bの確率も0で、0 = 0・P(B)となります。よってAは任意のBと独立です。Aが空事象なら、同時に排反でもあります。確率0だからといって、結果の集合が必ず空だと決めないことにも注意します。

また、必ず起こる事象の確率は1です。Aが必ず起こるならA∩B = Bであり、P(A∩B) = P(B) = 1・P(B)です。したがって任意のBと独立です。この場合に排反となるのは、Bが空事象のときです。確率が1の事象でも、Bが起こる結果を含む以上、一般に排反ではありません。

基本例題：二つの点灯条件

同じ確率で選ばれる1から12までの番号を1つ選びます。番号が偶数ならランプAが点灯し、3の倍数ならランプBが点灯します。事象AをランプAの点灯、事象BをランプBの点灯とします。AとBが独立か、排反かをそれぞれ判定してください。

偶数は2、4、6、8、10、12の6個です。3の倍数は3、6、9、12の4個です。両方の条件に合う番号は6と12の2個です。図2の表は番号を各条件の成否で分けたものです。どの番号も1つの欄に入り、12個が重複なく並んでいます。

それぞれの確率と積を求めます。

P(A) = 6/12 = 1/2
P(B) = 4/12 = 1/3
P(A∩B) = 2/12 = 1/6
P(A)・P(B) = (1/2)・(1/3) = 1/6

同時に点灯する確率と積が等しいので、AとBは独立です。6と12では両方が点灯するため、排反ではありません。独立であることは、同時に起こらないことを意味しません。

条件を元に戻して、偶数6個のうち3の倍数が2個であることも確かめます。Aが起きたときのBの割合は2/6 = 1/3で、番号を選ぶ前のBの確率と同じです。ここではP(A)が正なので条件付き確率による確認もできます。点灯しない欄も含めて表の合計が12であることを確認すれば、番号の数え落としも見つけやすくなります。

標準例題：表の空欄を決める

同じ確率で選ばれる20枚の異なるカードを、青い印があるか、穴があるかで分類します。青い印があるカードは8枚、穴があるカードは10枚です。両方の特徴があるカードをx枚とします。事象Aを青い印があること、事象Bを穴があることとするとき、AとBが独立になるxを整数で求め、そのとき排反かも判定してください。

青い印があり穴がないカードは8 − x枚、青い印がなく穴があるカードは10 − x枚です。残る欄は20 − x − (8 − x) − (10 − x) = 2 + x枚です。各欄の個数が負でないことから、0 ≦ x ≦ 8です。この範囲を確かめてから独立の条件を使います。

P(A) = 8/20 = 2/5
P(B) = 10/20 = 1/2
P(A∩B) = x/20
x/20 = (2/5)・(1/2)
x/20 = 1/5
x = 4

4は可能な範囲の整数です。表の4欄は、両方が4枚、青い印だけが4枚、穴だけが6枚、どちらもないものが6枚です。合計は20枚で、青い印は4 + 4 = 8枚、穴は4 + 6 = 10枚となり、元の条件に戻ります。両方を持つカードが4枚あるので排反ではありません。

別の見方では、穴のある10枚のうち青い印がある割合が全体の青い印の割合2/5に等しければよいので、10・(2/5) = 4枚です。この方法は穴がある確率が正だから使えます。先の等式は穴がある確率が0の境界にもそのまま使えるため、判定の基本として便利です。

発展例題：独立と排反が両立する境界

1から8までの番号が付いた8枚のカードを1枚選びます。各カードは同じ確率で選ばれます。Aを「番号が1以下」、Bを「番号がk以上」とします。kは1以上9以下の整数です。AとBが独立になるkをすべて求め、それぞれ排反か判定してください。

Aに含まれるのは番号1だけなので、P(A) = 1/8です。kが1のとき、Bは全カードを含みます。kが2以上のとき、Bは番号1を含みません。この境界で場合を分けます。

k = 1なら、Bは全体です。

P(B) = 1
P(A∩B) = 1/8
P(A)・P(B) = (1/8)・1 = 1/8

積と同時に起こる確率が等しいため独立です。番号1が共通するので排反ではありません。

2 ≦ k ≦ 8ならAとBは排反です。一方、Bは少なくとも番号8を含むのでP(B) > 0です。P(A)も正ですから積は正であり、同時に起こる確率0とは一致しません。したがって独立ではありません。

k = 9なら、Bに入るカードはありません。

P(B) = 0
P(A∩B) = 0
P(A)・P(B) = (1/8)・0 = 0

このとき独立であり、共通するカードもないので排反です。求めるkは1と9です。端の2つと、その間の整数を分けて調べたため、他の候補の見落としはありません。なお、Bが空のときP(A｜B)を計算しようとすると分母が0になります。独立の定義なら割り算せずに判断できます。

誤答をほどく

基本例題の条件を使い、「偶数と3の倍数は異なる条件だから排反であり、独立でもある」と答えたとします。原因は、条件の言葉が違うことを、該当する番号が重ならないことと取り違えた点です。実際には6と12が両方に入るため、排反ではありません。

図3のように、まず重なる番号を探し、その後で確率の積と同時に起こる確率を比べます。2つの判定を一度に済ませようとせず、排反と独立それぞれに答えを書くと、理由を点検しやすくなります。

逆に、両方の確率が正の排反な事象に「共通部分が0だから積も0」と書く誤りもあります。共通部分の確率が0でも、各事象の確率は正かもしれません。たとえば同じ確率で選ぶ1から5までの番号で、Aを1、Bを2とすると、共通する番号はなくP(A∩B) = 0ですが、P(A)・P(B) = (1/5)・(1/5) = 1/25です。積が異なるので独立ではありません。

計算途中で表の合計が元の枚数に戻らないときは、結論を出す前に各欄の数を見直します。負の個数が出たときも、その値は条件を満たさない候補です。確率が0の場合は条件付き確率を無理に使わず、積の等式と実際の共通結果を別に確認します。

練習問題

どの問題も、指定された結果は同様に確からしいものとします。判定では独立と排反の両方について理由を示し、確率は既約分数で答えてください。

1. 1から10までの番号を1つ選びます。Aを「番号が5以下」、Bを「番号が奇数」とします。独立か、排反か判定してください。
2. 1から9までの番号を1つ選びます。Cを「番号が3以下」、Dを「番号が7以上」とします。独立か、排反か判定してください。
3. 異なる15枚の札から1枚を選びます。印Eがある札は6枚、印Fがある札は5枚、両方ある札は2枚です。EとFの事象が独立か、排反か判定してください。
4. 異なる24枚の札から1枚を選びます。印Gがある札は8枚、印Hがある札は18枚です。両方ある札が何枚のときGとHは独立になりますか。その枚数を整数で求め、排反か判定してください。
5. 1から7までの番号を1つ選びます。Jを「番号が0以下」、Kを「番号が4以上」とします。独立か、排反か判定してください。

練習問題の答えと解き方

1. Aの番号は1、2、3、4、5で5個、Bの番号は1、3、5、7、9で5個です。両方は1、3、5の3個です。

P(A) = 5/10 = 1/2
P(B) = 5/10 = 1/2
P(A∩B) = 3/10
P(A)・P(B) = 1/4

3/10と1/4は異なるので独立ではありません。共通する番号があるため排反でもありません。表の残りはAだけが2個、Bだけが2個、どちらでもないものが3個で、合計は10個です。

2. Cは1、2、3、Dは7、8、9です。共通する番号がないので排反です。

P(C) = 3/9 = 1/3
P(D) = 3/9 = 1/3
P(C∩D) = 0
P(C)・P(D) = 1/9

0と1/9が異なるので独立ではありません。どちらにも含まれない4、5、6を加えると全9個に戻ります。

3. 両方の印がある札は2枚なので、同時に起こる確率は2/15です。

P(E) = 6/15 = 2/5
P(F) = 5/15 = 1/3
P(E∩F) = 2/15
P(E)・P(F) = (2/5)・(1/3) = 2/15

等式が成り立つので独立です。両方の印がある札が2枚あるので排反ではありません。Eだけは4枚、Fだけは3枚、どちらもない札は6枚で、合計は15枚です。

4. 両方の印がある札をy枚とします。独立の条件から次のように求めます。

P(G) = 8/24 = 1/3
P(H) = 18/24 = 3/4
P(G∩H) = y/24
P(G)・P(H) = (1/3)・(3/4) = 1/4
y/24 = 1/4
y = 6

6枚が答えです。Gだけは2枚、Hだけは12枚、どちらもない札は4枚となり、合計24枚、各印の合計も8枚と18枚に戻ります。共通する札があるので排反ではありません。

5. Jに含まれる番号はありません。Kは4、5、6、7の4個です。

P(J) = 0
P(K) = 4/7
P(J∩K) = 0
P(J)・P(K) = 0・(4/7) = 0

積の等式が成り立つので独立です。共通する番号もないので排反です。Jについての条件付き確率は分母が0になるため使いません。Kの4個とKでない3個を合わせると、元の7個に戻ります。

覚えておくこと

排反は共通する結果がないことです。 独立はP(A∩B) = P(A)・P(B)で判定します。 両方の確率が正なら、排反な事象は独立ではありません。 空事象は任意の事象と独立かつ排反です。 条件の確率が0なら、その条件付き確率は使えません。

つまずきの見分け方

本人が「独立だから重なりはない」と書いたら、まず基本例題の6と12がどちらのランプを点灯させるかを尋ねます。番号を実際に表に入れることで、独立と排反の判定が別の問いだと確認できます。反対に積の式だけを書いて答えを出した場合は、同時に起こる番号を挙げ、左辺をどの欄から読んだか説明してもらいます。

個別指導では、表の4欄の合計と各行・各列の合計を本人の式に対応させます。表の値が負にならないか、問題文の枚数に戻るかも一緒に確かめます。確率0の境界では、何で割ろうとしているかを尋ねてから積の等式へ戻します。二つの性質を分けて検査すれば、同時に起こる結果の意味が見えてきます。