共通テスト数学の確率で分母を取り違える—結果を知った後の全体を数え直す｜武蔵野個別指導塾

色と番号の札を選ぶ例で、条件を知る前後の対象を比べ、分母を更新する条件付き確率をたどります。

条件を知った後の確率では、まずその情報に合う結果を新しい全体として数えます。その中で、さらに求められた条件に合う結果を数え、同じ単位で割ります。結果が同じように起こりやすいときに限って、個数の比をそのまま確率にできます。

高2の春休み、2度目の抽選の前に知らされた条件を分母へ反映できなかった日を想像してください。最初に数えた候補は正しいのに、追加された情報を読んだ後もその数を分母に残してしまう場面です。式の計算は合っていても、何を全体とするかが変われば、答えている問いも変わります。

知らされた情報が全体を変える

たとえば、同じ形の札が6枚あり、赤が4枚、青が2枚です。赤の札には1、2、3、4、青の札には1、2が書かれています。十分に混ぜて1枚を無作為に選び、各札が同じ確率で選ばれるとします。選ばれた札を見せずに、色が赤だと知らされました。その札の番号が偶数である確率を考えます。

最初の候補は6枚ですが、赤と知らされた後は赤の4枚が対象です。そのうち偶数は赤の2と4の2枚なので、求める確率は2/4、つまり1/2です。図1のように、赤という情報を受け取ったところで青を対象から外します。分子を数えるのは、その後です。

6枚のうち偶数の札は赤の2、赤の4、青の2の3枚です。3/6も1/2ですが、これは色を知らない段階で偶数を選ぶ確率です。この例では数値が偶然一致します。したがって、答えが合ったことだけで分母の選び方が合っているとは判断できません。式の横に「赤と知った後の4枚」と対象を書き添えると、数値が一致しても問いの違いを確認できます。

別の誤りとして、赤の偶数2枚を分子にしながら、最初の6枚を分母にすることがあります。2/6は「赤で、かつ偶数」である確率です。赤だという情報を受け取る前の全体に対する割合であり、赤だと知った後の割合とは意味が違います。分子と分母に何を数えたかを言葉にすると、計算の前にずれが見えます。

答案の分母に何が入っているか

問題文の「赤であるとき」と「赤で、かつ偶数」は似た位置に現れますが、役割が異なります。前者は対象を赤に限定してから番号を調べる指示です。後者は最初の候補の中で両方に合う札を探す指示です。どちらの問いかを、式に数字を入れる前に短い日本語へ直します。

答案に6を見つけたら、最初の6枚をそのまま採用していないか確かめます。4なら、赤の4枚を数えたのか、別の数を偶然使ったのかを確かめます。分母の数字だけを見るのではなく、その数字が表す札を指で示せる状態にします。条件の対象から外した青を分子に残していないかも見ます。

逆に、偶数だと知らされた後で赤である確率を問うなら、対象は偶数の3枚です。その中の赤は2枚なので2/3です。赤だと知る問いの1/2と比べると、分子に共通する札があっても、分母が変わるため答えが変わります。「どちらを先に知ったか」が、分母を決める手掛かりです。

条件が複数ある場合も、情報として与えられた条件を先に全部満たす候補を探します。それから、求める性質に合う候補をその中で数えます。知っていることと、知りたいことを同じ印にしてしまうと、どこで候補を絞ったか追いにくくなります。別の印を使うか、言葉を2行に分けてください。

札の一覧から分母を作り直す

図2の手順では、最初に札を色と番号の組で並べます。同じ番号でも色が違えば別の札です。番号だけを書き並べると、赤の2と青の2を1つにまとめてしまうため、札を数えるという単位が崩れます。各組を1枚として扱い、重複や漏れがないか最初の枚数と照らします。

次に「赤と知らされた」という情報を使い、赤の1、2、3、4を残します。この4枚が条件を満たす全体です。消した青の札に求める偶数があっても、赤と知った後には数えません。そのうえで残った札のうち番号が偶数のものに印をつけます。2枚を4枚で割り、約分して1/2とします。

確認するときは、分母の4枚を指して「何を知った後の候補か」、分子の2枚を指して「その候補のうち何を求めるか」をそれぞれ言います。分子が分母に含まれることも見ます。分子が分母より大きければ、異なる対象を混ぜたか数え方を間違えた可能性があります。ただし分子が小さいだけでは正しさの証明にはなりません。

個数で割る手順には前提があります。札が同じ確率で選ばれることです。たとえば選び方に偏りがあり、札ごとに選ばれる確率が異なるなら、候補を同じ重さで数えてはいけません。条件に合う各札の確率を足して条件全体の確率を求め、その中で両方の条件に合う札の確率を足したものを割ります。個数の比は、その重みが等しい場合の数え方です。

また、条件に合う札が1枚もないときは、分母を0にして計算を続けることはできません。その条件が本当に与えられているか、一覧の作り方に漏れがないかを確認します。漏れがなく、条件の確率が0なら、この通常の条件付き確率は定義できません。無理に0や1を書かず、条件へ戻ります。

条件を変えた場合を試す

たとえば、同じ形のカードが5枚あり、丸印が3枚、三角印が2枚です。丸印にはア、イ、ウ、三角印にはア、イが書かれ、どのカードも同じ確率で選ばれます。1枚選んだ結果が三角印だと知らされたとき、文字がアである確率を求めてください。先に一覧を作り、知ったことと知りたいことを分けて考えます。

答えを見る前に、残るカードと、その中で求める文字に合うカードをそれぞれ数えてみてください。

答えは1/2です。三角印のカードはアとイの2枚で、そのうちアは1枚です。5を分母にした場合は、条件を知る前の全体へ戻っています。丸印のアも分子に数えた場合は、対象から外したカードを再び含めています。いずれも一覧に戻り、三角印を残してからアを数え直します。図3のように、印を条件として対象を限定します。

もし三角印のカードにアがなかったなら、三角印という条件に合うカードは残っているので、確率は0です。これと、三角印のカードそのものがない場合は違います。後者では条件の確率が0になり、通常の条件付き確率を計算できません。分子が0なのか、分母が0なのかを分けて判断します。

条件を知る前の一覧が作れない場合も、先に式を当てはめず、何が1つの結果かを決め直します。カードの名前を数えるのか、選ぶ順序まで含むのかで候補は変わります。選ぶ操作が複数ある問題なら、順序の違う結果が区別されるかを問題文で確認し、同じ確率といえる結果を並べます。情報を知った時点に戻って候補を選び直すことが、分母を更新する作業です。

情報が加わる前後を表にする

一覧を作ったら、最初の段階と赤と知らされた段階を別々に眺めます。最初の段階では赤の4枚と青の2枚の合計が6枚です。赤と知らされた段階では、赤の4枚が残り、青の2枚は候補から外れます。候補が減ったという変化をはっきりさせると、どの数を分母に使うべきかを考えやすくなります。

赤と知った後に偶数を探すと、残った4枚のうち2枚です。最初の一覧から偶数を先に探しても構いませんが、赤という条件を満たさない青の偶数を最後に除く必要があります。操作の順番より、最終的に何を対象として比較しているかが重要です。赤の候補と偶数の候補の重なりを分子にし、赤の候補全体を分母にします。

この見方では、最初の一覧に戻る場面も決められます。赤の札を何枚残したか自信がなければ、偶数を数え直す前に色の分類へ戻ります。赤の枚数に自信があり、偶数の枚数に迷ったなら、残った赤の番号だけを見直します。すべての計算を最初からやり直す前に、どの操作で不確かになったかを探すことができます。

式を使うときも同じです。最初の全体に対して「赤かつ偶数」は2/6、「赤」は4/6です。前者を後者で割ると、(2/6) ÷ (4/6) = 1/2となります。両方を同じ最初の全体で測っているので、その比によって赤の中の割合を取り出せます。2/6だけで止まると赤の中の割合まで求めたことにはなりません。

数え上げが止まったときの戻り先

候補を列挙したのに数が合わないときは、まず各札を区別する情報が揃っているかを見ます。赤の1と青の1は番号が同じでも別の札です。一方、同じ札を色と番号の順序を変えて二度書けば、同じ結果を重複して数えたことになります。番号の小さい順に赤を並べ、次に青を並べるなど、一定の順番を決めると点検できます。

条件を読み落としたときは、一覧を消さずに条件の言葉と対応する欄を確かめます。赤という情報なら色の欄を見て、偶数を求めるなら番号の欄を見ます。2つの欄を同時に見ようとして混乱する場合は、条件で候補を残す操作と、求める性質に印をつける操作を分けます。分けた後で、残った候補に印がついている数を読むと、対象外を混ぜにくくなります。

計算結果が1/2だった場合も、式の前に書いた言葉が問いに合っているかを確かめます。この札の例では、情報を使わない偶数の確率も1/2です。答えだけを照合すると、誤った分母を選んだことが隠れてしまいます。数字が同じになった理由を一覧で説明できるかどうかが、見直しの手掛かりになります。

逆に、答えが1より大きくなったときは、確率の範囲から数え違いに気づけます。分子に対象外の札を入れたのか、分母の候補を落としたのかを確かめます。答えが0から1の間にあっても、別の問いの確率を計算している可能性は残ります。範囲の確認と、何を数えたかの確認は両方必要です。

情報を受け取る前に何が行われたかも重要です。札を選ぶ方法が無作為で、各札の選ばれる確率が等しいという設定なら、残った札は条件の下でも同じ重さで扱えます。そうした設定がない場合、見た目が同じ枚数だからといって等確率と決めることはできません。問題文に選び方の情報が不足しているときは、その不足を認識して、勝手な個数比を答えにしないようにします。

説明を再現できるか

解答を読み終えた後は、一覧を隠して式の数字を言葉に戻してみます。4は赤と知らされた後に残る札の枚数、2はその中で偶数の札の枚数です。この説明ができなければ、式だけを覚えた可能性があります。もう一度一覧を出し、それぞれの数字に対応する札を指して確かめます。

反対に、一覧から式へ進む練習もできます。まず残った札の枚数を読み、それを分母に置きます。次に求める札の枚数を読み、分子に置きます。最後にその分数がどんな問いの答えかを一文で書きます。分数を約分しても対象の意味は消えないので、元の枚数と約分後の値を並べておくと確認しやすくなります。

条件が逆になった場合を考えると、単なる数字の置き換えではないことが見えます。偶数だと知られた後は赤の4枚ではなく、色を問わず偶数の3枚が対象です。赤かつ偶数の札は同じ2枚でも、比較する相手が変わります。どちらを知っているかに線を引き、分母の候補を読み上げる手順を繰り返してください。

数え方を人に見せて確かめる

教科書の条件付き確率の定義を開き、自分が書いた分母がどの条件の確率に対応するかを照らします。数えた一覧と問題文を並べ、「この情報で残した候補が全体になりますか」と聞くと、単に答えだけを見せるよりも食い違いを特定しやすくなります。条件を知る前の確率と知った後の確率のどちらを求めたのかも説明します。

個別指導では、最初の一覧と条件を受けた後の一覧を並べ、分子に印をつけた結果が分母に含まれているか確認できます。お子さまが6を分母にした理由を言葉にできれば、計算の誤りと対象の選び違いを分けて考えられます。

答えを見直す際は、数字の一致に加えて、条件と分母の対応を説明できるかを確認します。別の問題でも、知った情報が何かを先に言葉で表すと、対象を選び直せます。

確率の式は、分母に置いた全体の意味を表します。情報が加わったら、残る結果を数え直してから割合を作ります。