共通テスト数学の三角関数で解が増える—置き換えた角の範囲を戻す手順｜武蔵野個別指導塾

2倍した角の範囲と端点を行き来し、余分な候補を見分ける道筋をたどる定義域。

角を別の文字に置き換えたら、式だけでなく、その文字が動ける範囲も同じ操作で書き換えます。新しい角の範囲で候補を拾い、元の角に戻してから、もとの条件と方程式の両方に照らします。途中の候補が増えても、それが直ちに元の問題の解になるわけではありません。

よくあるのは、高3の秋、演習で二つの解を得たものの、一つが解答欄に収まらず式を見返す場面です。三角関数の値を調べたところまでは合っていても、どの角の範囲で調べたかが答案に残っていないと、余分な候補を落とす場所が見えません。解答欄の形から答えを削るのではなく、問題文の条件から候補を判定し直します。

同じ範囲を書き写すと何が起こるか

たとえば、0 ≦ θ < π のとき、sin 2θ = 1/2 を解くとします。角度はラジアンで表します。まず t = 2θ と置くと、左辺は sin t と短く書けます。しかし、θ の範囲をそのまま t の範囲として使うことはできません。両端を正の数 2 倍するので、0 ≦ t < 2π です。0 は含み、2π は含みません。

図1のように、元の角と置き換えた角には対応があります。θ が半周分動く間に、t は一周分動きます。範囲を 0 ≦ t < π のままにすると、後半の角を調べないことになります。逆に、もとの θ より広い範囲を根拠なく t に与えれば、対応しない角まで候補に入ります。

ここで、sin t = 1/2 を 0 ≦ t < 2π で満たすのは t = π/6, 5π/6 です。どちらも指定された範囲に入ります。それぞれを 2 で割ると θ = π/12, 5π/12 となり、両方とも元の範囲に入ります。元の式へ戻しても sin 2θ はそれぞれ 1/2 です。

「範囲を更新しないと必ず解が増える」とは限りません。この例で t に元の範囲を誤って使うと、たまたま二つの候補はその範囲内にあるため、答えの数だけでは誤りが見えません。別の値や別の範囲では候補が欠けることもあります。答えが合ったかどうかに加えて、範囲を変換した行があるかを見ます。

また、三角関数の値が同じ角は、周期をずらして繰り返し現れます。一周分で見つけた角を、そのまま全候補と決めることも危険です。新しい角の範囲が一周を超えるなら、必要な周期分まで調べます。一方で、一周分の候補を無条件に元の答えとするのも誤りです。どの範囲にある角を調べているかが、候補の個数を決めます。

自分の答案で範囲が消えた行を探す

答案を見直すときは、最初から計算し直す前に、文字ごとの意味を余白に並べます。θ は元の角、t はその 2 倍の角です。両方に同じ不等号を書いていないか、等号が付く端と付かない端を保ったかを見ます。式が正しく移されていても、範囲だけが置き去りになっている場合があります。

次に、候補の行に書かれた文字を確かめます。t = 5π/6 は θ の値ではありません。t の候補を求めた段階で解答欄に移すと、文字の名前が消えたまま別の量を答えることになります。t = 2θ へ戻り、θ = t/2 としてから、元の条件に照らします。

端点の違いも答案の分岐です。0 ≦ θ < π なら、θ = 0 は条件上許されますが θ = π は許されません。許されることと方程式を満たすことは別です。0 が範囲内でも、上の方程式に代入すると sin 0 = 0 なので解ではありません。範囲内という検査を通った候補にも、元の式での検査が必要です。

反対に、元の式を満たす値でも範囲外なら答えに入れません。たとえば θ = 13π/12 は sin 2θ = 1/2 を満たしますが、θ < π に反します。周期から得た値を消す理由は、見た目や解答欄ではなく、元の条件を満たさないことです。候補の横に「式は満たすが範囲外」と書けば、計算ミスとして消したのか条件で除いたのかが区別できます。

似た誤りとして、三角関数の値から角を求める際に対称な角を見落とすこともあります。これは候補の生成の段階の問題です。範囲の変換ミスは、その前にどこを探すかを決める段階の問題です。候補が足りないときには、まず範囲を確かめ、その範囲の中で値が合う角を探し直します。最後に元の文字へ戻す順にすると、二種類の誤りを混ぜずに点検できます。

置換から元の条件へ戻る道筋

上の例をもう一度、行ごとの役割を付けて整理します。図2のように、左から右へ進むごとに「角の意味」「範囲」「候補」「元の角」を対応させます。途中で立ち止まった場合も、何を調べる行だったかをたどれます。

最初に、元の条件 0 ≦ θ < π と、置換 t = 2θ を隣に書きます。次に不等式の各辺を 2 倍して 0 ≦ 2θ < 2π とし、中央を t に替えて 0 ≦ t < 2π とします。正の数を掛けているので不等号の向きは変わらず、端を含むかどうかも変わりません。この行が、後で周期を何回分調べるかの基準です。

続いて sin t = 1/2 をその範囲で解きます。単位円を使うなら、高さが 1/2 となる位置を調べます。一周の中で該当するのは π/6 と 5π/6 です。ここでは t の値を求めていますから、答えの横に t を残します。数だけを並べてしまうと、次の段階でどちらの文字の値だったか見失いやすくなります。

その後、それぞれ t = 2θ に戻して θ = π/12, 5π/12 を得ます。戻す操作を候補の一方だけに行うと、別の角の値が混ざった一覧になります。候補ごとに対応する元の角を一行ずつ書き、変換し忘れを防ぎます。元の角の範囲に照らし、両方とも 0 以上 π 未満であることを確かめます。

最後に元の方程式に代入します。θ = π/12 なら 2θ = π/6、θ = 5π/12 なら 2θ = 5π/6 です。どちらの正弦も 1/2 です。この確認は、範囲変換が正しかったことと、値を写す途中で分母や係数を取り違えていないことの両方を点検します。範囲と式のどちらかを満たさない候補があれば、その候補は解に含めません。

代入しても合わない場合は、いきなり候補を削る前に、t の値から θ への戻し方を確認します。そこで合っていれば、sin t の候補を求めた行へ戻ります。逆に元の式には合うが範囲外なら、周期をずらした候補を新しい角の範囲で絞る行へ戻ります。失敗の種類に応じて戻る場所を変えると、正しかった計算まで消さずに済みます。

範囲の端をまたぐ場合は、端の値を含むかを図や数直線で別に印を付けます。等号の有無を見落とすと、周期で同じ位置に見える両端を重複して数えたり、含まれる端を除いたりします。位置が同じでも角の数値は異なるため、指定された区間の中で数えるという約束に立ち戻ります。

別の範囲で端点を判定する

図3は、一周より短い範囲で端を含むかを判定する場合の概念図です。左端は含み、右端は含まないという区別を、塗りつぶした点と白い点で示しています。端の値が方程式を満たしていても、白い点の側ならその範囲の候補にはしません。

置換の係数が正なら、元の範囲の左端は新しい範囲の左端に対応します。端の値を含むかどうかも引き継ぎます。範囲を先に変換しておけば、一周分の表から見つけた角が必要な区間にあるか、端に当たるかを区別できます。範囲の外にある候補を消すときも、図だけでなく不等式で理由を示します。

確かめ問題

-π/4 < x ≦ π/4 のとき、cos 4x = -1 を満たす x を求めてください。u = 4x と置き、u の範囲を先に書いてから考えます。

答えは x = π/4 です。置換後の範囲は -π < u ≦ π です。cos u = -1 となる両端のうち、u = -π は範囲に含まれず、u = π は含まれます。後者を 4 で割れば x = π/4 となり、元の範囲と式の両方を満たします。

もし x = -π/4 も答えに入れた場合、式には合いますが元の不等号に反します。u の範囲を作った行に戻り、左端に等号がないことを確かめます。反対に答えがないとした場合は、右端の等号を落としていないか調べます。両端が円の同じ位置に見えることと、数値としての範囲に両方が入ることは別の判断です。

候補を増やし過ぎたときのたどり直し

周期を使う途中で、範囲外の角を書き出すこと自体は間違いではありません。問題になるのは、書き出した候補と最終的に残す解を区別しないことです。たとえば最初の例で、t = π/6 に一周を足した 13π/6 も正弦の値は同じです。しかし、指定した t の範囲では 2π 未満という条件に反します。対応する θ = 13π/12 も元の条件から外れます。どちらの範囲で除いても同じ結果になることを確認できます。

候補がどこから来たかを追えるよう、周期を足した式と範囲判定を隣に置きます。見つけた角に周期を足したり引いたりするときは、範囲の左端から右端まで届く分を調べます。負の方向にも範囲が広がっていれば、正の方向だけを見る方法では不足します。必要な回数は定義域で決まり、決まった個数を機械的に書けばよいわけではありません。

一方で候補が一つも残らないときも、すぐに計算の失敗と決めつけないようにします。与えられた範囲と方程式によっては解が存在しない場合もあります。範囲の変換、候補の列挙、元の条件の照合を順に確かめ、それでも該当する値がなければ、解がないと結論できます。解答の数が想像と違うことは、再確認のきっかけであって、条件を書き換える理由にはなりません。

答案を短くまとめるときも、範囲を変えた一行は残します。読み手が、どの区間で候補を探したかを追えるからです。途中に余分な候補を書いたなら、最後に残った値と除いた理由を区別します。消し跡だけでは、範囲外として除いたのか、計算が違ったのかを後から判断できません。

範囲の変換を言葉で確かめる

不等式を変える前に、元の角が左端から右端まで動くと、置換後の角がどこからどこまで動くかを言葉で説明します。今回の 2 倍の置換では、元の角が 0 にあると新しい角も 0、元の角が π に近づくと新しい角は 2π に近づきます。元の右端は含まれないため、新しい右端にも到達しません。式と動きの説明が食い違えば、端の値か不等号を点検します。

図を使うときは、円周上の位置と角の値を区別します。円を一周すると同じ位置に戻りますが、角の値は一周分異なります。範囲が一周を超える場合、同じ位置に対応する複数の角が範囲内にあるかもしれません。逆に範囲が狭い場合は、一周の図に描かれた位置の一部しか対象になりません。円だけを見て候補の数を決めず、数直線上の範囲と併せて考えます。

範囲の変換に自信がなければ、区間内の値を一つ選んで置換式に代入し、新しい範囲に入るか試します。ただし一つの値が入ることは範囲全体の証明にはなりません。両端と不等号を使った変換も必要です。

解き終わったら、元の角について答えるよう求められているかを確認します。置換後の角を求める問いなら、その文字の値を答えます。元の角を求める問いなら、戻す操作を終えた値が答えです。同じ数式を扱っていても、問いが求める量によって最後の行が変わります。

教科書と答案を並べて聞く

教科書の単位円や三角関数の値を扱うページを開き、求めた候補がどの位置に対応するかを確認します。そのうえで自分の答案にある元の範囲、置換式、変換後の範囲を並べると、値の読み違いと範囲の書き換え忘れを区別できます。途中式が短くて原因が見えないときは、どの行でどの文字を扱っているかを書き足します。

質問するときは「この角は合っていますか」だけで終えず、「ここで置いた文字の範囲をどう変えるか」「この端を含める理由は何か」と、迷った行を指して聞きます。候補が元の式に合うのか、元の範囲にも入るのかを分けて見せると、返ってきた説明を自分の答案へ戻せます。お子さまが説明する際にも、答えの個数を先に告げるより、置換前後の二つの範囲を指さしてもらうと、どこで変わったかを話しやすくなります。

個別指導では、問題文の条件と答案の置換行を同じ紙で見比べ、範囲を更新した箇所に印を付けます。候補が多い答案なら、元の式に合うか、範囲に入るかを候補ごとに分けて確認します。答えを消した理由まで残せば、次の問題でも同じ判断をたどれます。

角を置き換えるときは、式と一緒に範囲も移します。新しい角の候補を元の角に戻し、端点と元の式を照らしたところで、解の集合が定まります。