共通テスト数学の二次関数で端点を選べない—動く区間の中央と軸を比べる｜武蔵野個別指導塾

動く区間の中央と軸を比べると、両端が同じ高さになる境目で端点が交代します。

上に開く放物線の閉じた区間で最大値を求めるときは、軸から遠い端点を選びます。区間が動くなら、両端を代入した後、区間の中央が軸の左右どちらにあるかを比べると、端点の交代する境目をつかめます。中央と軸が一致するときは、両端で同じ最大値を取ります。

よくあるのは、高2の学年末、区間の両端を式に代入したものの、どの値から場合分けすればよいか見つからない夜です。端点の式は2つ出たのに、その大小を比べる条件を書かないまま、片方を最大値としてしまう。計算を始める前に、動くのが放物線ではなく区間であることを押さえ、端点の高さが同じになる位置を探しましょう。

両端を代入した後で止まる理由

たとえば、f(x) = (x − 2)² + 1 を、a ≦ x ≦ a + 4 で考えます。a は実数です。放物線の軸は x = 2、区間の左端は a、右端は a + 4 です。区間の幅は常に 4 で、a が変わると両端が一緒に移動します。この例で求めるのは、指定された区間における f(x) の最大値です。

図1のように、同じ放物線上でも、区間が左へ寄るか右へ寄るかで高い端点が変わります。端点の x 座標の大小だけを見ると、右端が大きいので右端の値も大きいと思いがちです。しかし軸より左側では、右へ進むと放物線は下がります。右端という名前だけでは高さを決められません。

端点を代入すると、左端の値は f(a) = (a − 2)² + 1、右端の値は f(a + 4) = (a + 2)² + 1 です。どちらも a を含むため、式の見かけだけでいつも一方が大きいとは言えません。たとえば a = -1 なら区間は -1 ≦ x ≦ 3 で、軸から左端までの距離は 3、右端までは 1 です。左端の値 10 が右端の値 2 より大きくなります。

一方、a = 1 なら区間は 1 ≦ x ≦ 5 です。軸から左端までの距離は 1、右端までは 3 なので、今度は右端の値 10 が左端の値 2 より大きくなります。いずれも軸は区間内にありますが、最大値を取る端点は違います。軸が区間内にあるという情報だけでは、両端のどちらが遠いかは決まりません。

距離を見る理由は、同じ 1 を足した平方の値が、軸からの距離の2乗で決まるからです。軸に近い点ほど値は小さく、遠い点ほど値は大きくなります。これは上に開くこの放物線で、閉じた区間の最大値を考える場面の話です。下に開く場合や最小値を求める場合に、そのまま「遠い端」と書くことはできません。

答案のどこに境目を置くか

自分の答案に端点の値が2つ並んでいたら、その下に大小の条件まで書いてあるかを見ます。左端と右端の値を同じと置く作業は、値を足すためではなく、担当する端点が交代する候補を見つけるためです。2つの式が等しい点を求めた後、その前後でどちらが大きいかまで確かめて初めて条件表になります。

図1の区間の中央は、両端の平均なので a + 2 です。軸は 2 ですから、中央が軸より左なら a + 2 < 2、つまり a < 0 です。このとき左端の方が軸から遠く、左端で最大になります。中央が軸より右なら a > 0 となり、右端で最大になります。中央と軸が一致する a = 0 では、区間は 0 ≦ x ≦ 4 で、両端が軸から同じ距離 2 にあります。値はどちらも 5 です。

この境目は、軸が区間に入る境目とは別です。軸が区間内にある条件は a ≦ 2 ≦ a + 4、すなわち -2 ≦ a ≦ 2 です。その範囲の中でも a が負か正かで遠い端点は変わります。軸の出入りを調べたこと自体は無駄ではありませんが、それだけでは最大値を取る端点の交代を言い表せません。

また、中央という言葉を「端点の値の平均」と取り違えないようにします。ここでの中央は、x 座標 a と a + 4 の平均です。f(a) と f(a + 4) の平均を取っても、軸と比べるべき位置にはなりません。答案に「中央の x 座標」と書き添えると、位置と関数の値を区別できます。

中央を比べ、式に戻す

図2のように、区間、中央、軸、条件、端点の値の順に進めます。初めに左右の端点と幅を確かめます。端点の順序が逆になる設定なら、先にその条件を整理する必要があります。今回の幅は 4 で正なので、どの実数 a でも左端は a、右端は a + 4 です。

次に中央 a + 2 と軸 2 を比べます。中央が左、同じ、右の3つに分け、それぞれ a < 0、a = 0、a > 0 と書きます。左右の判断は、軸からの距離を確認するためです。中央が左にある区間は、軸を中央より右側に見ることになるので、左端の方が遠くなります。中央が右の場合は対称に右端が遠くなります。

値を式で確かめると、f(a + 4) − f(a) = (a + 2)² − (a − 2)² = 8a です。この差が負なら右端の値が小さく、正なら右端の値が大きくなります。差が 0 となる a = 0 でも両端が同じです。図で決めた向きと式の符号が食い違ったら、引く順番と不等号を見直します。

最大値を M とすると、a < 0 では M = (a − 2)² + 1、a = 0 では M = 5、a > 0 では M = (a + 2)² + 1 です。等号をどちらかの枝に含め、a ≦ 0 と a > 0 の2つで表しても正しい答えになります。境界ではどちらの端点の式も 5 になるためです。ただし、最大値を取る x も問われたら、a = 0 のときは x = 0 と x = 4 の両方を記します。最大値が1つということと、その値を取る位置が1つということは別です。

条件表を書いたら、境目の両側にある値を1つずつ代入します。上の a = -1 と a = 1 は、その確認に使えます。さらに a = 0 を両方の端点の式へ入れ、値が一致することも調べます。3つの確認は一般の証明の代わりではありませんが、枝を逆に写したり等号を落としたりした箇所を見つける手がかりになります。

途中で差の式の符号が逆になった場合は、答えの枝だけを入れ替えて終わらせず、どちらの値からどちらを引いたかに戻ります。端点の代入で a + 4 を (x − 2) に入れたとき、a + 2 となることも確かめましょう。比較の計算が合っていても、最初の代入が違えば別の区間を比べたことになります。

条件表を読み直す練習

条件表は、a の値ごとにどの端点が最大かを重なりなく示す道具です。a < 0 と a > 0 の2行だけでは、a = 0 が抜けます。等号を一方の行に含めるか、境界を独立した行に置きます。反対に a ≦ 0 と a ≧ 0 とした表は、境界が両方の行に入ります。そこで2つの式が同じ値を与えるなら矛盾はありませんが、答えの書き方としては重なりのない区分の方が確認しやすいでしょう。

また、a の範囲と x の範囲を混ぜないことも大切です。a < 0 は区間を置く位置の条件であり、区間内の x が必ず負という意味ではありません。たとえば先に使った a = -1 の区間には正の x も含まれます。各行の左側には a の条件、右側にはその条件で選ぶ端点と最大値を書くと、それぞれの役割が分かれます。

式で差を取る方法は、図が描きにくいときの確認にもなります。ただし、差が正という結果は、右端から左端を引いた場合に右端の方が高いことを示します。左端から右端を引けば符号は反対です。計算の途中で並び順を変えると判断が逆転するので、差の左辺にも f(a + 4) − f(a) と書き残します。符号だけを暗記せず、引き算の意味に戻れば、別の式でも使えます。

区間が軸から完全に離れた場合も、同じ条件表に含まれます。たとえば a が -2 より小さければ右端も軸より左です。そこでは左端の方が遠いので a < 0 の行と一致します。a が 2 より大きければ左端も軸より右にあり、右端の方が遠く、a > 0 の行と一致します。軸の内外を先に分けても解けますが、端点が交代する条件を得るには、軸を含む範囲をさらに中央の位置で分ける必要があります。

閉じた区間である点も確認します。端点を含むからこそ、端点の値が実際に最大値として取られます。端点を含まない別の条件なら、近づける高さと実際に取る最大値を区別する必要があり、今回の表をそのまま移すことはできません。問題文の不等号を図の端にも対応させ、どこまでが対象かを先に定めます。

途中式を見直すとき、中央が軸と一致する境目だけを計算して終わると、左右の枝を逆に書いても気づきません。境目より左と右の代表値を元の区間に戻し、実際の両端の高さを比較します。さらに境目では両端を代入します。枝の向き、境界、値の3点を別々に調べることで、どこから修正すればよいかが明確になります。

もう一つの確認は、答えとして何を要求されているかです。最大値を求める問いには関数の値を書き、その値を取る x を求める問いには位置を書きます。2つを取り違えると、条件分けが正しくても答えの対象が変わります。境界では2つの位置に同じ値が対応するため、特に区別が必要です。計算を終えたら、問題文の「値」と「x」に印を付け、最後の行の量を照らし合わせましょう。図の高さは値、横の位置は x を表します。端点と中央の意味も言葉で確かめます。

別の開き方ではどこを見るか

図3のように、下に開く放物線では最大値と軸の位置との関係が変わります。たとえば g(x) = -(x − 3)² + 2 を、t ≦ x ≦ t + 2 で考えます。t は実数です。区間が軸を含む場合は、軸上の x = 3 で最大値 2 を取ります。中央と軸だけで端点を選ぶと、区間の内側にある最大値を見落とします。

軸を含む条件は t ≦ 3 ≦ t + 2、つまり 1 ≦ t ≦ 3 です。t < 1 では区間全体が軸の左側にあり、軸に近い右端 t + 2 で最大です。t > 3 では区間全体が軸の右側にあり、近い左端 t で最大です。t = 1 と t = 3 では軸が端点に重なり、最大値は 2 です。境界を含むかどうかは、閉じた区間の不等号から決めます。

ここでは最大値を g(t + 2)、2、g(t) の順に対応させます。上に開く最初の例では遠い端を選びましたが、下に開く場合は軸に近い位置が高くなります。軸が区間内にあるかを先に見ることで、端点の比較が必要な場面と不要な場面を切り分けられます。

確かめ問題

自分で次の条件を表にしてから、下の解答を見てください。h(x) = (x + 1)² − 4 を、b ≦ x ≦ b + 6 で考えます。b は実数です。最大値を取る x を b の範囲ごとに求め、端点が交代する境目では両方の位置を答えてください。

解答は、b < -4 なら x = b、b = -4 なら x = -4 と x = 2、b > -4 なら x = b + 6 です。区間の中央は b + 3、軸は x = -1 です。中央が軸に一致する b + 3 = -1 から境目は b = -4 です。中央が軸より左なら左端、右なら右端が軸から遠くなります。境目では両端が軸から 3 ずつ離れ、どちらの値も 5 です。

もし境目を b = -1 とした場合は、軸の座標をそのまま b にした可能性があります。b は左端の座標であり、中央は b + 3 です。中央と軸の等式へ戻ってください。境目の位置を1つしか書かなかった場合は、両端を元の h(x) に代入し、同じ高さになることを確かめます。値を1つ答える問いか、位置を答える問いかも読み直します。

教科書と答案を並べて聞く

教科書の二次関数のグラフを開き、軸から同じ距離にある2点の高さが等しいことを、自分の式と図で照合します。次に、答案の左右の端点、中央の座標、軸の座標に印を付けます。どの文字が動き、どの数が固定されているかを説明できるようにしておくと、比較の出発点がはっきりします。

質問するときは「答えが合わない」だけで終えず、「中央と軸を等しいと置いた後、どちら側で左端を選ぶか迷った」と、止まった行を示します。差を計算した場合は、引いた順番も残します。お子さまが途中式を消してしまった場合は、正解を先に写すより、端点を代入した式から再現すると判断の分かれ目を見つけやすくなります。

個別指導では、区間を書いた数直線と、両端を代入した答案を並べて確かめます。中央の移動に合わせて左右の距離を言葉にし、その判断が差の式の符号と一致するかを見ます。境界では最大値と、それを取る位置の個数を別々に答えてみます。

動く区間の最大値は、端点を代入して終わりではありません。中央と軸が重なる位置を境に置けば、端点が交代する理由を式と図の両方で追えます。