共通テスト数学の因数分解で解が消える—文字で割る前に場合を分ける練習｜武蔵野個別指導塾

xで割ると消える解を、積が0となる分岐と元の条件から拾い直す因数分解の練習です。

文字を含む式で両辺を割る前に、その式が0になる場合を調べます。0でない場合は割れますが、0の場合は別に元の式へ戻して確かめます。因数分解して積が0の形にすれば、割る操作で見落とした候補をたどれます。

よくあるのは、高2の冬、解説に自分の出せなかった解が一つ残っていた放課後という場面です。途中の計算は合っているように見えますが、自分の答案には文字で割った行があります。解説と答えの数が違うときは、最後の数字だけを比べず、その行で何を前提にしたかを調べてみます。

割った行で何が消えるか

たとえば、実数xについて x(x − 3) = 0 を解きます。左辺は2つの因数の積で、右辺は0です。積が0なら少なくとも一方の因数が0なので、x = 0 または x − 3 = 0 となります。したがって候補は x = 0 と x = 3 です。どちらも元の式に代入すると左辺は0になり、解集合は {0, 3} です。

ここで両辺をxで割って x − 3 = 0 とすると、x = 3 は得られます。しかし、x = 0 では割り算そのものができません。計算を進めた先が正しくても、その操作に入れなかった候補は答えの一覧に現れません。図1のように、分岐の片方を見ないまま進むことが、解が消える原因です。

「xで割ると0がなくなる」という語呂だけでは、別の文字式になったときに戻る場所がわかりません。例えば x − 3 で割るなら、その式が0となる x = 3 の方が操作から外れます。何で割ったかを丸で囲み、その式が0となる値を脇に書くと、見落とした可能性を具体的に調べられます。

両辺を割った後の式が間違いとは限りません。x ≠ 0 という条件の下では、上の変形は正当です。問題は、その条件が問題文にあるのか、自分が割るために付け加えたのかを区別しないことです。最初から x ≠ 0 が与えられていれば、x = 0 は元の条件を満たさず、解には入りません。

自分の答案の境界を探す

答案を見直すときは、答えから逆に、割り算が最初に現れる行までたどります。分数の分母に文字式が出た行、両辺の共通因数を消した行、式を簡単にするために文字式で割った行が対象です。見た目が異なっても、0かもしれないものを分母に置いたなら同じ確認が要ります。

まず割った式をAと見ます。A = 0 のとき、元の等式や問題文の条件が成り立つかを確かめます。次にA ≠ 0 のときは、割った後の式を解き、その答えがこの条件に合うかを調べます。最後に両方を合わせます。A = 0 の候補が元の式を満たさなければ、書き足さずに除きます。条件に反する値を戻すことも、解を落とすことと別の誤りです。

元の式に最初から分母がある場合は、分母を0にする値を定義域から除きます。途中で消えたからといって、その値を後から採用できません。たとえば x/(x − 3) = 0 は x ≠ 3 の下で考えます。分子が0の x = 0 は元の式を満たしますが、x = 3 は元の式が定義されないため解ではありません。元の問題の制限と、変形するための一時的な条件を答案に別々に残します。

積が0の形が見えない場合は、まず両辺を移項して右辺を0にし、共通因数があるかを見ます。無理に割って短くする必要はありません。因数分解できない場合でも、割る式が0の場合を先に調べる手順は使えます。ただし、それ以外の値でどう解くかは元の式に応じて考えます。

分けてから式を進める

たとえば実数xについて x(x + 2) = 4x を解きます。両辺をxで割る前に、x = 0 と x ≠ 0 に分けます。図2のように、分けた条件を先に書けば、どちらの道を調べたかが答案に残ります。

x = 0 なら、元の式の左辺も右辺も0です。したがって0は解です。一方、x ≠ 0 なら両辺をxで割れ、x + 2 = 4 となります。ここから x = 2 を得ます。この値は x ≠ 0 を満たし、元の式では左辺が8、右辺も8です。よって解集合は {0, 2} です。

割らずに確かめる方法もあります。右辺を左辺へ移すと x(x + 2) − 4x = 0、整理すると x(x − 2) = 0 です。x = 0 または x − 2 = 0 と分ければ、同じ候補に着きます。こちらは2つの因数のどちらが0かを並べるため、分岐を目で追いやすい形です。どちらの道でも、元の条件との照合を最後に置きます。

もし割った後に x = 0 が出たら、その答えは x ≠ 0 という枝の条件に反します。その枝から採用せず、x = 0 の枝で元の式に代入した結果を使います。同じ値を二重に数えず、枝の条件と元の条件の両方を確認してください。逆に、x = 0 の枝を調べて等式が成り立たなければ、その枝は解なしです。分けたこと自体は、どちらの枝にも必ず解があるという意味ではありません。

途中で時間が足りず最後まで解けないときも、割る式と0の場合だけは余白に残します。再開するときは残った計算から始めるのでなく、その値を元の式に代入して分岐の状況を確定します。式を写し間違えた疑いがあるなら、解答を補う前に問題文の符号と括弧を照らし直します。違う式を丁寧に解いても、元の問題の解にはなりません。

消えた候補を再点検する練習

解答を見たとき、余分に見える値があっても、最初から誤植と決めつけないでください。元の式にその値を入れ、左右が一致するかを計算します。一致したら、自分の答案のどの行まではその値が通るか、上から順に代入します。通らなくなった最初の行が、操作の条件を見直す場所です。反対に元の式で一致しなければ、解説に付いている条件や、自分が写した式を確認します。

たとえば x(x − 3) = 0 で x = 0 を検査すると、元の式では成立します。ところが xで割った後に用いた x ≠ 0 とは両立しません。この食い違いは計算の途中で候補を落とした目印です。元の等式での成立と、変形後の枝への所属は別の確認です。どちらか一方だけを調べると、候補を落とした場所が見えません。

一方、式を移項する操作は、両辺に同じ式を足す操作です。xが0かどうかによらず実行できます。展開や因数分解も、式の値が等しい形へ書き換える操作です。ただし符号を間違えれば別の式になるので、展開して元に戻るかを確かめます。操作の名前だけで安全と判断せず、実際に書いた等式を照合します。

式変形の矢印の横には、必要な条件を小さく書き添えます。x ≠ 0 の枝で割ったなら、その条件を答えまで運びます。途中の行から条件が消えても、自動的に解除されるわけではありません。両方の枝を調べ終えたところで初めて、各枝の解を合わせます。条件を忘れた答案と、計算を間違えた答案では、戻るべき場所が違います。

割る前に因数分解できないと感じたら、まず右辺を0にすることを試します。共通する文字式が見えれば括り出し、括り出した結果をもう一度展開します。元の差に一致すれば、積が0となる各因数を調べます。括り出せなければ、見えない因数を勝手に作らず、使える変形を教科書で確認します。割り算はその後でも遅くありません。

同じ候補が2つの因数から出ることもあります。例えば積の両方の因数が同じ値で0になる形では、その値を解集合に1回書きます。因数の数と異なる解の個数を混同しないために、候補を集合として整理してから元の式へ代入します。反対に、片方の因数が0にならないなら、その枝には候補がないこともあります。

条件を書き落とした答案の直し方

問題文に実数の範囲や不等式の条件があるときは、式とは別の欄に書き出します。計算で候補を得た後、その欄へ一つずつ戻します。候補が複数あるなら、どの値が条件を満たし、どの値が外れるかを記録します。最終行に残すのは、元の等式と条件を両方満たす値です。

途中で分母を払う場合にも注意が必要です。元の分母が0になる値は、払った後の式が意味を持っていても、元の問題では使えません。分母を払って得た候補を代入する前に、元の定義域を見直します。分母を払う際に別の式で割ったなら、その式が0の場合も別に調べます。2種類の制限を混ぜずに書くと、どこで除いたかを説明できます。

計算結果が合わない場合、最初から全行を書き直す前に、括弧を開いた行と移項した行を点検します。左右の符号が一致しないなら、その行の直前に戻って直します。符号が合っていて候補だけが足りないなら、割った式が0となる値を調べます。候補が多すぎる場合は、元の定義域と問題文の条件に照らして除外の根拠を探します。

練習するときは、まず割らずに積が0の形を作り、次に場合を分けて割る方法でも解きます。2つの解集合が違えば、どちらかの変形や条件に見落としがあります。答えを合わせるために値を追加するのではなく、各候補を元の式へ戻して根拠を確かめます。説明できない行が残ったら、その行を含む前後を持って質問してください。

別の条件があるときと確かめ問題

割る式が0になる値でも、元の問題がその値を認めないことがあります。図3のように、候補を見つけた後には元の条件を通るかを調べます。条件を通れない候補は、積が0になる値であっても解集合に入れません。

たとえば、実数tに t > 0 の条件があり、t(t − 5) = 0 となる場合を考えます。積からの候補は t = 0 と t = 5 ですが、前者は t > 0 を満たしません。後者は条件と等式の両方を満たすので、解集合は {5} です。条件を確認する前に候補を消すと、何を根拠に除いたのかが見えなくなります。

次の自作問題を、答えを見る前に解いてみてください。実数yについて y(y + 7) = 6y を解き、解集合を求めます。文字で割る方法を選ぶ場合は、割れない場合も書きます。

解答は {-1, 0} です。右辺を移項すると y(y + 1) = 0 なので、y = 0 または y + 1 = 0 です。元の式へ代入すると、0では両辺が0、-1では両辺が-6になり、両方とも成り立ちます。yで割って -1 しか得られなかった場合は、割る直前に戻り、y = 0 を別に調べます。逆に符号を取り違えて正の値を得た場合は、移項後の括弧の中を展開して、元の左辺と右辺の差に戻るかを確かめます。

見直しを次の答案につなげる

練習後は、間違えた答えだけでなく、どの条件を書き忘れたかを短く記録します。「文字で割った」ではなく「割る式が0の場合を調べなかった」と書けば、次の問題で何を確認するかが明確になります。計算が途中で止まった場合も、調べた枝と未着手の枝を分けて残します。

翌日に同じ答案を見直すときは、解説を隠し、元の式と条件から候補を再構成します。以前の答えを覚えていても、その値を得た理由と代入の結果が書けるかを確認します。答えが一致しても、0で割る行が残っていれば、その行を場合分けに直します。条件を添えた計算と、除いた候補の理由がつながって初めて、他の式でも使える見直しになります。

途中式が短すぎてどこで候補が消えたかわからない場合は、移項、括り出し、各因数が0となる条件を別々の行に書きます。長く書くことが目的ではなく、どの値について操作が成立するかをたどれるようにするためです。慣れて省略するときも、割る式が0かどうかの確認は残します。

詰まった行を持って相談する

教科書の等式の変形と因数分解の節を開き、積が0となる条件と、0で割れない理由を確認します。その上で問題文と自分の答案を並べ、割った式に印を付けます。「ここでこの式が0の場合を除いてよい理由が、元の条件にありますか」と聞くと、答えだけでなく判断の境界を確かめられます。

答えが解説と一致しないときは、正解を赤で写す前に、自分が残した候補と消した候補を列挙します。お子さまが説明を求められて言葉に詰まる場合も、候補を元の式へ代入した行を示すと、計算の問題と条件の読み落としを分けて話せます。解説の途中式をそのまま信じるのでなく、そこで割っているものが0でない根拠を探します。

個別指導では、問題文、途中で割った行、候補を代入した行を同じ紙の上で見比べます。どの操作がどの条件を必要とするかを確認し、必要なら割らない形でも解き直します。答えの個数だけで判断せず、各候補が元の式と条件を満たすところまで追います。

因数分解は形を整える作業であると同時に、積が0になる場合を分ける手がかりです。割る前の0を確かめれば、途中の正しい計算からこぼれた解にも戻れます。