高校数学A 非復元抽出の確率—順序ありと順序なしの数え方を対応させる｜武蔵野個別指導塾

検査片の取り出す順を残す数え方と、組合せで数える方法を対応させ、分母と分子をそろえる理由を追います。

よくあるのは、高1が箱から複数の検査片を同時に選ぶ場面です。印の付いた片が何枚含まれるかを調べるため、全体を取り出す順に数えたのに、条件に合う選び方は順序を無視して数えてしまいます。同じ選択を分母では何回も数え、分子では1回しか数えていないので、そのまま割ると割合が変わります。各片を区別して、どの結果を1通りとするかを先に決めましょう。

箱から選ぶ問題の読み方

非復元抽出とは、取り出したものを戻さずに次を取り出すことです。箱の中の個数は取り出すたびに減り、先に何を取ったかによって次の候補も変わります。同時に選ぶ場合にも、選ばれた片を重複して使わない点は同じです。

出方には、印の付いた片がちょうど指定数含まれる型と、特定の順に種類が現れる型があります。前者は順序を捨てた組合せが見やすく、後者は順次抽出の枝が自然です。また、選んだ集合に条件を付けつつ順に取り出す状況では、どちらの方法でも解けます。答えを出す前に、問題が順番自体を問うか、選ばれたものの内訳を問うかを区別します。

どの片も同じ確率で取り出されるという条件は重要です。形や取り出しやすさが偏る場合、個数の比をそのまま確率にはできません。以下では各段階で残った片のどれも同じ確率で選ばれるものとし、同じ種類の片も個別に区別します。求める確率は既約分数で表します。

一つの選択と取り出す順の関係

同様に確からしい有限個の結果を細かく決めたとき、事象の確率は、その事象に含まれる結果の個数を全結果の個数で割ったものです。事象とは結果の集まりです。分母と分子では同じ細かさの結果を数えます。

図1のように、異なる片A、B、Cから2枚を選ぶ場合を考えます。順序なしの選択はAB、AC、BCの3通りです。ABという選択には、Aの後にBを取る順とBの後にAを取る順の2通りが対応します。ACとBCも同じです。どの順序付きの結果も、順番を消すと選択のどれか1つに対応します。

図1では、各選択から矢印が2本ずつ出ています。順序付きは全部で6通りですが、どの選択にも2通りずつ対応するので、順序なしの3通りも同様に確からしくなります。この等しさは、各段階で残りの片が等しく選ばれるという前提から生まれます。

一般に異なるn個からr個を戻さずに選ぶとき、0≦r≦nとします。順を付けるとnPr通り、順を付けなければnCr通りです。選んだr個の各集合にはr!通りの順序が対応し、別の集合と重なりません。したがってnPr = nCr・r!です。順序を問わない条件なら、条件に合う各集合にも同じr!通りが対応しますから、分母と分子に付く係数が消えます。

一方、最初に印付き、次に印なしという条件は順番を含みます。同じ2枚でも逆順は条件を満たさないので、選択全体に一律に2通りを掛けてはいけません。どの順番が条件に入るかを、結果ごとに確かめる必要があります。

選ぶ個数が0個のときは、何も選ばない選択を1通りとします。また、必要な種類の数が箱の中の数を超える条件は実現できず、確率は0です。例えば必要な片が残っていない枝では、それ以上その種類を取る経路を作れません。まず選択が可能かを確かめてから組合せを使うと、存在しない選択を数えずに済みます。全体の選択が存在しない条件で割合を作ることもできません。

基本例題：2枚の内訳を数える

箱に赤い印の検査片が3枚、青い印の検査片が2枚あります。5枚はそれぞれ区別でき、同時に2枚を等しく選びます。赤い印がちょうど1枚含まれる確率を既約分数で求めてください。取り出した片は戻しません。

まず順序なしで考えます。全体は異なる5枚から2枚を選ぶので5C2通りです。条件に合う選択は赤3枚から1枚、青2枚から1枚を選ぶ組です。それぞれの選択を組にすると、条件を満たす2枚の集合が重複なく1つ決まります。

全体 = 5C2 = 5・4 / (2・1) = 10
条件に合う数 = 3C1・2C1 = 3・2 = 6
求める確率 = 6/10 = 3/5

図2のように、赤の各片と青の各片を結ぶと6組です。赤赤や青青の組は全体に含まれますが、条件に合う組には入りません。選択の順序を使わないので、赤青と青赤を別々に数える必要はありません。

同じ状況を、1枚ずつ順に取って最後に順序を忘れる方法でも確かめます。1枚目が赤で2枚目が青の場合と、1枚目が青で2枚目が赤の場合は重なりません。それぞれの段階で残りの枚数を使います。

赤の次に青 = (3/5)・(2/4) = 3/10
青の次に赤 = (2/5)・(3/4) = 3/10
求める確率 = 3/10 + 3/10 = 3/5

赤を先に取っても青は2枚残り、青を先に取っても赤は3枚残ります。各組には2種類の取り出し順があるので、順序付きの全体20通りに対し、条件に合うものは12通りです。6/10と12/20が等しいことを、個数の対応からも確認できます。結果を箱に戻して見ると、選ばれた2枚は赤1枚と青1枚で、指定の枚数にも合っています。

標準例題：同じ内訳を順番からも確かめる

異なる部品が箱に7個あり、そのうち4個に線印、3個に点印が付いています。戻さず3個を順に取り出し、選んだ3個のうち線印がちょうど2個となる確率を既約分数で求めてください。各段階で残った部品は等しく選ばれ、取り出す順は条件に含めません。

順序を問わないので、線印2個と点印1個を組合せで選びます。全体も順序なしの3個組にそろえます。

全体 = 7C3 = 7・6・5 / (3・2・1) = 35
条件に合う数 = 4C2・3C1 = 6・3 = 18
求める確率 = 18/35

18個の組にはそれぞれ異なる3個が含まれます。実際に線印2個と点印1個を合わせると3個になり、同じ組を線印側と点印側の選択に戻す方法も1通りです。したがって積による数え方に漏れや重複はありません。

順次抽出で見ると、種類の並びは線線点、線点線、点線線の3通りです。それぞれの枝では、先に取った種類の残数を減らします。

線線点 = (4/7)・(3/6)・(3/5) = 6/35
線点線 = (4/7)・(3/6)・(3/5) = 6/35
点線線 = (3/7)・(4/6)・(3/5) = 6/35
合計 = 6/35 + 6/35 + 6/35 = 18/35

線点線の2番目の分子3は点印の残数、3番目の分子3は線印の残数です。同じ数でも意味は違います。3つの並びは互いに重ならず、線印が2個という条件を尽くすため足せます。順序付きの各結果は7・6・5通りのどれも同様に確からしく、各3個組に3・2・1通りの順番が対応することからも2つの方法は一致します。

発展例題：特定の片を含む選択

異なる8個の部品のうち5個に刻印があり、残り3個にはありません。刻印のある部品の1つを部品Pと呼びます。箱から戻さず4個を等しく同時に選ぶとき、Pを含み、刻印のある部品がちょうど2個となる確率を既約分数で求めてください。

Pを含む条件を先に固定すると、残りの刻印付き4個から1個、刻印なし3個から2個を選びます。Pも刻印付きの個数に含める点が分かれ目です。刻印付き2個を別に選んでからPを加えると、刻印付きが3個になってしまいます。

全体 = 8C4 = 8・7・6・5 / (4・3・2・1) = 70
条件に合う数 = 4C1・3C2 = 4・3 = 12
求める確率 = 12/70 = 6/35

選んだ組はP、別の刻印付き1個、刻印なし2個から成り、合計4個です。逆に条件に合う組からPを除けば、残りは必ずこの内訳です。よって各組は1度ずつ数えられます。

順に4個を取り出すと考えても、各4個組には4・3・2・1 = 24通りの順番があります。全体は70・24 = 1680通り、条件に合うものは12・24 = 288通りです。288/1680 = 6/35となり、同時に選んだ答えと一致します。Pの位置はどこでもよいので24通りを全て含められますが、Pを最初に取るという条件ならこの掛け方は使えません。

誤答を直す：分母と分子の単位

基本例題で、全体を5・4 = 20通り、条件に合う数を3・2 = 6通りとして6/20とする誤答を考えます。20は1枚目と2枚目を区別した数です。6は赤と青の組を選んだ数であり、取り出す順を表していません。図3のように、各組を順序付きに直すと2通りずつに増えます。

図3の修正は2通りあります。分母を順序なしに直せば10通りと6通りの比です。分子を順序ありに直せば20通りと12通りの比です。どちらも同じ選択を同じ倍率で数えるので3/5になります。確率が1以下であっても、この誤答を排除できない点に注意してください。

もう一つの誤りは、赤の次に青を取る確率を(3/5)・(2/5)とすることです。1枚目を戻さないため、2枚目の分母は4です。赤の次に赤なら、2枚目の赤も2枚に減ります。分母だけでなく分子の残数も、直前の枝に合わせて書き換えます。

練習問題

いずれも対象は個別に区別でき、各段階で残ったものは等しく選ばれます。取り出したものは戻しません。確率は既約分数で答えてください。

1. 白い札4枚と黒い札3枚から2枚を同時に選びます。白1枚、黒1枚となる確率を求めてください。順序は問いません。
2. 丸印の部品3個と三角印の部品5個から3個を同時に選びます。丸印がちょうど1個となる確率を求めてください。順序は問いません。
3. 異なる9枚のカードのうち6枚に星印があります。3枚を順に取り出すとき、最初の2枚が星印、最後が星印なしとなる確率を求めてください。順序を条件に含めます。
4. 異なる6本の棒のうち2本に印があり、その1本をQとします。3本を同時に選ぶとき、Qを含み、印付きがちょうど1本となる確率を求めてください。順序は問いません。
5. 異なる10個の石のうち4個が赤、6個が白です。4個を同時に選ぶとき、赤がちょうど2個となる確率を求めてください。順序は問いません。

答えと解き方

1. 全体は7C2 = 21通り、白と黒の組は4C1・3C1 = 12通りです。したがって12/21 = 4/7です。選んだ2枚は白と黒が各1枚で、各組は色ごとの札を指定すると一意に決まります。
2. 全体は8C3 = 56通り、条件に合う組は3C1・5C2 = 30通りです。答えは30/56 = 15/28です。丸1個と三角2個を合わせて3個になることを確認します。
3. 指定の順に残数を追うと、(6/9)・(5/8)・(3/7) = 5/28です。最後の3個は星印なしの残数です。逆順を含めず、星、星、星なしという経路だけを数えています。
4. Q以外の印付き1本を避け、印なし4本から2本を選びます。全体は6C3 = 20通り、条件に合う数は4C2 = 6通りなので、答えは6/20 = 3/10です。Qと印なし2本を合わせると指定の3本です。
5. 全体は10C4 = 210通り、条件に合う数は4C2・6C2 = 90通りです。答えは90/210 = 3/7です。赤2個と白2個の組は各選択から一意に決まり、4個という条件に戻ります。

覚えておくこと

非復元では、取り出すたびに残数が変わります。
分母と分子は同じ単位で数えます。
順序を問わない条件では、各組に同じ数の順序が対応します。
順序を条件に含むときは、該当する枝を選びます。

式が止まった場所を見分ける

分母にnPrを書いたら、何を1通りとしているかを言葉で尋ねます。分子がnCrを使う式なら、選んだ組の順番をいくつ数えたかを具体的な1組で確かめます。同じ組を分母で複数回、分子で1回数えていれば、どちらかの数え方にそろえます。

個別指導で確かめるときは、最初の取り出しを指で隠し、箱に残る片の数を説明してもらいます。次の分母だけが減り、取った種類の分子が減っていない場合は、実際に1個を箱の外に置くと違いが見えます。最後に、選んだ個数と印の内訳を問題の条件に戻し、順番が必要な問いかどうかをもう一度読みます。非復元抽出の式は、箱に残るものと数える単位をそろえて初めて意味を持ちます。