高校数学III 法線の方程式—接線との垂直条件と傾きが零の場合を分ける｜武蔵野個別指導塾

水平接線に対する鉛直法線と負の逆数を使う法線を区別し、外部の点を通る候補も零の場合を含めて調べます。

よくあるのは、理系高3の演習で接線の傾きが0と出た後も、法線の傾きを求めようとして負の逆数を計算する場面です。0では割れませんが、そこで法線が消えるわけではありません。水平な接線に垂直な直線は鉛直なので、接点の横座標を使って式にします。

法線を求める計算は、微分して終わりではありません。接点を正しく取り、接線の傾きを出し、傾きが0かどうかで式の形を選びます。さらに外部の点を通る問題では、仮に除いた接点を別に調べることが、答えの本数を守ります。

問いの形を見分ける

接点が指定された問題では、まず接点が曲線上にあることと、そこで関数が微分可能であることを確かめます。求めた微分係数が0でなければ負の逆数を使い、0なら鉛直な直線に切り替えます。接点の座標と直線の傾きは別々の情報です。

曲線外の点を通る問題では、接点が初めから与えられていません。接点の横座標を文字で置き、法線が与えられた点を通る条件から候補を出します。その際、接点の定義域と、計算の途中で分母にしたものが0にならない条件を控えます。0の場合を先に捨てるのではなく、別の形の直線として調べます。

もう1つは、提示された直線が法線かを判定する問題です。接点を通ることに加え、接線と垂直であることを検査します。直線が接点を通るだけでは、向きが正しいとは限りません。水平な接線を持つ点では、傾きの積を計算する代わりに、相手の直線が鉛直かどうかを見ます。

接線と法線の向きを結ぶ

関数 y = f(x) が x = a の近くで定義され、x = a で微分可能とします。曲線上の点を P(a, f(a)) とすると、接線の傾きは f′(a) です。P を通り、この接線に垂直な直線を P における法線といいます。ここでは導関数が有限の接線を扱い、接線の傾きが定まらない点は対象にしません。

f′(a) = m とおき、m が0でない場合を考えます。傾きがともに有限な2直線が垂直になる条件は、傾きの積が -1 になることです。したがって法線の傾きは -1/m で、接点を通る条件を加えると次の式です。

y - f(a) = -(1/m)(x - a)

一方、m = 0 の接線は y = f(a) という水平線です。これに垂直で P を通る直線は x = a です。鉛直線は y = kx + b の形で傾きを表せないため、傾きの積を使いません。0で割る式を作る前に、分岐を置く必要があります。

図1のように、同じ接点でも接線の向きによって法線の式の形が変わります。左は傾きが0でない場合、右は水平な接線と鉛直な法線です。どちらも接点を通り、直角に交わります。傾きが負の場合も、負の逆数は正になり、同じ垂直の条件が使えます。

法線の式を確認するときは、まず接点の座標を代入します。続いて、傾きが有限な組なら積が -1 かを確かめ、水平と鉛直の組なら向きで確かめます。接線の式に接点を入れる確認も併せると、微分係数と関数値の取り違えを発見できます。

基本例題：指数関数に加えた直線

曲線 y = eˣ + x の x = 0 における法線を求めてください。答えは整数と分数を用いた直線の式で表します。

この関数は実数全体で微分可能です。接点の横座標を曲線へ代入し、縦座標と微分係数を別に出します。

f(0) = e⁰ + 0
     = 1
f′(x) = eˣ + 1
f′(0) = 1 + 1
      = 2

接点は P(0, 1)、接線の傾きは2です。2は0でないので法線の傾きは -1/2 です。P を通る式に代入します。

y - 1 = -(1/2)(x - 0)
y = -(1/2)x + 1

接線は y = 2x + 1 です。接線と法線はともに x = 0 で y = 1 を与え、傾きの積は 2・(-1/2) = -1 です。したがって接点と垂直条件の両方を満たします。

図2のように、曲線の接点で上向きに傾く接線に対し、法線は右下がりです。法線が曲線と別の場所で交わるかどうかは、この接点で垂直かという判定を変えません。求める直線は局所の接線の向きで決まります。

接線の傾き2をそのまま法線に使うと接線自身になり、垂直ではありません。また、-2 と符号だけ変えても積は -4 です。負の逆数の操作は、符号と逆数の両方が必要です。

標準例題：水平な接線に対する法線

曲線 y = log x − x の x = 1 における法線を求め、その法線が点 Q(1, 3) を通るか判定してください。log は自然対数とし、答えは直線の式と通るかどうかで表します。

定義域は x > 0 です。1は定義域の内点であり、この関数はそこで微分可能です。接点と傾きを順に計算します。

f(1) = log 1 - 1
     = -1
f′(x) = 1/x - 1
f′(1) = 1 - 1
      = 0

接点は P(1, -1) で、接線は水平な直線 y = -1 です。0の負の逆数は作れませんが、水平線に垂直で P を通る鉛直線は決まります。

法線: x = 1

P の横座標は1なので、この直線は接点を通ります。Q の横座標も1なので、Q も法線上にあります。Q の縦座標が -1 と異なっていても構いません。鉛直線上の点は横座標が共通で、縦座標は変わるからです。

例えば y = 1 と書くと水平線になり、接線と平行です。x = -1 と書くと鉛直ではありますが、P を通りません。向きと通過点は別々に検証する必要があります。Q を最初から接点にするのも誤りです。Q は x = 1 の曲線上の点 P とは異なります。

発展例題：曲線外の点を通る法線を残さず探す

曲線 y = x²/2 の法線のうち、点 A(0, 3) を通るものをすべて求めてください。答えは整数と分数を用いた直線の式で表します。

曲線は実数全体で微分可能です。A の横座標0を曲線に代入すると縦座標は0なので、A は曲線上にありません。接点の横座標を t と置くと、接点 P は (t, t²/2)、接線の傾きは t です。接点をAと決めるのではなく、t の候補を求めます。

まず t が0でない場合です。法線の傾きは -1/t なので、接点を通る式は次のようになります。

y - t²/2 = -(1/t)(x - t)
y = -(1/t)x + t²/2 + 1

この直線が A(0, 3) を通るには、x = 0、y = 3 を代入した等式が必要です。逆にこの等式が成り立てば、上の法線は A を通ります。

3 = t²/2 + 1
t²/2 = 2
t² = 4
t = 2 または t = -2

両方とも t が0でないという条件を満たします。それぞれの接点と法線を出します。

t = 2:  P(2, 2),   y = -(1/2)x + 3
t = -2: P(-2, 2),  y = (1/2)x + 3

ここで計算を終えると1本落ちます。分母に t を置くために別にした t = 0 を調べます。接点は (0, 0)、接線の傾きは0なので、法線は鉛直な直線 x = 0 です。A の横座標も0ですから、この法線も A を通ります。

答え: y = -(1/2)x + 3,  y = (1/2)x + 3,  x = 0

元の条件へ戻して点検します。最初の2本は x = 0 で y = 3 となり、3本目は A の横座標0を満たします。接点 (2, 2) での接線の傾き2と法線の傾き -1/2 の積は -1、接点 (-2, 2) での積も (-2)・(1/2) = -1 です。原点では水平と鉛直なので垂直です。2本の斜めの直線は傾きが異なり、鉛直線とも一致しません。

候補が尽くされている理由も明確です。接点の t は実数なので、t = 0 と t が0でない場合に分かれます。後者の通過条件は t² = 4 と同値であり、前者は直接調べました。図の見た目から3本と推測したのではなく、両方の場合を検討しています。

誤答を直す：割れない点を消さない

発展例題で、次の解答を考えます。「法線の傾きは -1/t だから、t² = 4 より法線は2本」。この計算自体は t が0でない範囲では正しいものの、結論は不足しています。-1/t を使う前に t = 0 を除いたため、そこでの鉛直線をまだ調べていません。

図3のように、原点で接線は水平、法線は x = 0 です。A(0, 3) はこの直線上にあるので、2本という結論に追加する必要があります。修正するときは、分母が0の値を元の曲線に戻し、接点と接線の向きから法線を出します。

分母が0となる値がいつも答えに加わるわけではありません。鉛直法線が与点を通らなければ採用しません。また、そもそも元の関数の定義域にない値なら接点にできません。除いた値を盲目的に加えるのではなく、元の条件で判定します。

接線の傾きと法線の傾きを混同した誤答も、積を調べれば修正できます。ただし傾きが0の場合には、存在しない法線の傾きを作って積を計算しないことが必要です。使える判定方法そのものが場合によって変わります。

練習問題

次の5問を解いてから、後の解答と照合してください。log は自然対数です。直線の式は整数・分数または π を用いて正確に表します。

1. 曲線 y = eˣ + 2x の x = 0 における法線を求めてください。
2. 曲線 y = log x + 2x の x = 1 における法線を求めてください。
3. 曲線 y = sin x の x = π/2 における法線を求めてください。
4. 曲線 y = x² の点 (1, 1) に対し、直線 y = 1 + (x − 1)/2 が法線か判定し、法線でなければ正しい式を求めてください。
5. 曲線 y = x²/2 の法線のうち、点 B(0, 1/2) を通るものをすべて求めてください。

練習問題の答えと解き方

1 の答え

関数は実数全体で微分可能です。x = 0 で関数値は1、導関数 eˣ + 2 の値は3です。傾きが0でないので、法線は次の式です。

y - 1 = -(1/3)(x - 0)
y = -(1/3)x + 1

x = 0 で y = 1 となり、接点を通ります。傾きの積は 3・(-1/3) = -1 です。-3 を傾きにするとこの積が -9 となり、垂直条件を満たしません。

2 の答え

定義域は x > 0 で、1はその内点です。関数値は log 1 + 2 = 2、導関数は 1/x + 2 なので x = 1 での傾きは3です。

y - 2 = -(1/3)(x - 1)

この式に x = 1 を入れると y = 2 になり、接点 (1, 2) を通ります。接線の傾き3と法線の傾き -1/3 の積は -1 です。接点の縦座標2を微分係数3と取り違えると、向きも通過点も検証できません。

3 の答え

sin x は実数全体で微分可能です。接点は (π/2, 1)、接線の傾きは cos(π/2) = 0 です。水平な接線 y = 1 に垂直で接点を通る法線は次の式です。

x = π/2

接点の横座標は π/2 で、確かに法線上にあります。y = π/2 とすると水平線になり、接線に垂直ではありません。

4 の答え

x² は実数全体で微分可能で、x = 1 の関数値は1です。接線の傾きは 2x に x = 1 を代入して2になります。提示された直線は (1, 1) を通りますが、その傾きは1/2なので積は1です。垂直ではなく、法線ではありません。

正しい法線の傾きは -1/2 です。したがって、接点を通る法線は次の式です。

y - 1 = -(1/2)(x - 1)

この式は接点を通り、傾きの積も -1 になります。通過条件が合っていても、符号の誤りは残り得ます。

5 の答え

接点を (t, t²/2) とします。曲線は実数全体で微分可能で、接線の傾きは t です。まず t が0でないとき、法線が B を通る条件を立てます。

y = -(1/t)x + t²/2 + 1
1/2 = t²/2 + 1
t² = -1

実数 t の二乗は負にならないので、この場合に接点はありません。計算結果を無理に平方根で表して実数の接点にしてはいけません。

次に t = 0 では、原点での接線が水平なので法線は x = 0 です。B の横座標も0であり、この直線は B を通ります。したがって答えは x = 0 です。t が0でない場合と0の場合を合わせたので、他に候補はありません。

手元に残す要点

• 接点の関数値と接線の微分係数を別に計算します。
• 接線の傾きが0でなければ、法線の傾きはその負の逆数です。
• 接線の傾きが0なら、法線は接点を通る鉛直線です。
• 外部の点を通すときは、割る前に除いた接点も元の条件へ戻します。
• 最後に接点、垂直性、指定された点の通過を照合します。

つまずきの位置を見つける

答えが合わないときは、まず「この座標は接点か、法線が通る別の点か」と問い直します。次に f(a) と f′(a) をそれぞれ何に使ったかをたどります。値の代入が合っていても、傾きの符号や逆数の取り方で直線は変わります。

個別に確かめるなら、割り算をした行に印を付け、その分母が0になる接点を別に調べてもらいます。接線が水平なら式を x = 定数 と書けるか、さらに与えられた点の横座標を照合できるかを見ます。接点を通ることと垂直であることを順に確かめれば、法線の候補を根拠を持って残せます。