高校数学III ロルの定理—閉区間と開区間の条件を分けて水平接線を探す｜武蔵野個別指導塾

端点の値が等しくても折れ目や切れ目がある場合を調べ、水平接線の存在を支えるロルの定理を読み解きます。

よくあるのは、理系高3の演習で端点の値だけを比べて定理を使う場面です。左右の点が同じ高さに見えても、その間に切れ目や折れ目があれば、水平な接線があるとは限りません。どの区間で何を確かめるのかを先に書けば、計算できた候補と定理が保証する点を区別できます。ここでは水平接線の存在とその位置を扱い、割線の傾きを扱う平均値の定理には準備として触れます。

どんな問いで使うか

第一は、両端の関数値が等しい区間で、導関数が0となる点の存在を示す問いです。点の具体的な値を求められなくても、条件がそろえば存在を結論できます。逆に、値を求める問題では存在の記述に続けて方程式を解き、指定された開区間に候補が入るかまで確かめます。

第二は、方程式の異なる2つの解を両端に置き、その間に導関数の零点があることを使う問いです。解の個数を調べる際、元の関数に2つの零点があると仮定して導関数の性質に矛盾させることもできます。ただし、定理が保証する点は元の方程式の解とは限りません。

第三は、条件が欠けた例の判定です。定理が使えないことと、結論が実際に偽であることは別です。たまたま水平接線が存在する場合もあるので、反例として使うには条件が欠けることに加え、開区間のどこにも導関数が0となる点がないことを示します。

定理の条件を区間に結びつける

a < b とします。関数 f が閉区間 [a, b] で連続、開区間 (a, b) で微分可能で、f(a) = f(b) ならば、a < c < b を満たすある c が存在して f′(c) = 0 となります。これがロルの定理です。閉区間は両端を含み、開区間は両端を含みません。端点での微分可能性までは要求しませんが、端点での連続性は必要な仮定に含まれます。

図1のように、両端が同じ高さで、途中が連続かつ滑らかな曲線を考えます。c における微分係数が0という結論は、その点の接線が水平であることに対応します。図は山の例ですが、谷の場合も定理に含まれ、水平な点が複数ある場合もあります。

この条件から結論に至る理由を押さえます。閉区間上の連続関数は最大値と最小値をとります。関数が一定なら内点の微分係数はどこでも0です。一定でなければ最大値または最小値の少なくとも一方は共通の端点値と異なり、その値は内点でとられます。そこで微分可能なので、その内点の微分係数は0です。端点が同じ高さであることは、極値を内側に置くために働いています。

例えば端点でとがる関数でも、開区間で滑らかなら適用できることがあります。一方、内点に折れ目があれば、その点で微分可能かを調べずに定理を使うことはできません。また、f′(c) = 0 があることから3条件がすべて成り立つとは逆向きには言えません。定理は条件が十分であることを述べています。

学習指導要領の数学IIIでは、導関数による接線や関数の増減などを扱います。ロルの定理を読むときも、微分係数の値を接線の傾きと結びつけることが土台になります。

平均値の定理では両端を結ぶ直線の傾きと等しい微分係数を考えます。両端の高さが等しい場合、その傾きが0となり、ロルの定理の結論とつながります。

基本例題：内点を具体的に求める

関数 f(x) = x² − 6x + 5 を区間 [1, 5] で考えます。ロルの定理の条件を確かめ、結論を満たす c を整数で求めてください。

多項式は実数全体で連続かつ微分可能です。したがって、指定された閉区間での連続性と開区間での微分可能性が成り立ちます。次に、両端の値を別々に代入します。

f(1) = 1 - 6 + 5 = 0
f(5) = 25 - 30 + 5 = 0
f(1) = f(5)

条件がそろったので、1 < c < 5 で f′(c) = 0 となる点が存在します。位置を求めるには、導関数を0とおきます。

f′(x) = 2x - 6
2c - 6 = 0
c = 3

3 は 1 < 3 < 5 を満たし、f′(3) = 0 です。したがって答えは c = 3 です。元の関数に戻すと f(3) = -4 なので、接点は (3, -4)、水平接線は y = -4 です。図2のように端点はともに高さ0にあり、内側の谷で接線が水平になります。

方程式の解が端点に出た場合は、そのまま c に採用できません。端点を除くのは図の描き方の約束ではなく、定理の結論が開区間内の点を要求するからです。また、端点値が等しいことを示す計算と、導関数を0にする計算は役割が違います。前者は定理の仮定、後者は結論を満たす点の特定です。

標準例題：複数の水平接線

関数 g(x) = x³ − 4x を区間 [-2, 2] で考えます。定理の条件を確かめ、結論を満たす c をすべて根号を用いた正確な値で求めてください。

多項式なので、g は閉区間で連続、開区間で微分可能です。端点を計算すると次のようになります。

g(-2) = -8 + 8 = 0
g(2) = 8 - 8 = 0
g(-2) = g(2)

よってロルの定理を適用できます。導関数を0とする条件を解き、両方の候補を調べます。

g′(x) = 3x² - 4
3c² - 4 = 0
c² = 4/3
c = -2√3/3, 2√3/3

どちらも -2 < c < 2 に入ります。実際、(2√3/3)² = 4/3 < 4 ですから、絶対値は2より小さく、元の導関数にも代入すると 3・(4/3) − 4 = 0 です。答えは c = -2√3/3, 2√3/3 です。定理は少なくとも1点の存在を保証しますが、実際に何点あるかは導関数の方程式を解いて決めます。

端点以外にも g(0) = 0 ですが、それを見つけただけでは水平接線の位置は決まりません。関数値が0であることは x 軸との交点の条件、導関数が0であることは傾きの条件です。0を代入すると g′(0) = -4 なので、原点の接線は水平ではありません。

発展例題：零点の個数を絞る

方程式 x³ + 3x − 7 = 0 の実数解が高々1個であることを、ロルの定理を用いて示してください。さらに、1と2の間に解があることを確かめ、実数解の個数を答えてください。

h(x) = x³ + 3x − 7 とおきます。実数全体で連続かつ微分可能です。異なる2つの実数解があると仮定し、小さい方を a、大きい方を b とします。すると a < b、h(a) = h(b) = 0 です。h は [a, b] で連続、(a, b) で微分可能なので、ロルの定理により a < c < b かつ h′(c) = 0 となる c が存在します。

ところが、任意の実数 x について次が成り立ちます。

h′(x) = 3x² + 3
3x² ≥ 0
h′(x) ≥ 3 > 0

よって h′(c) = 0 は不可能です。2つの異なる実数解があるという仮定に矛盾するため、実数解は高々1個です。ここまでは存在を示していません。存在は連続性と端点の符号から別に確かめます。

h(1) = 1 + 3 - 7 = -3
h(2) = 8 + 6 - 7 = 7

h は [1, 2] で連続で、値は負から正へ変わります。中間値の定理により 1 < x < 2 に h(x) = 0 を満たす点があります。存在と高々1個を合わせ、実数解は1個です。求めた個数は元の方程式に対するものです。導関数に零点がないという事実だけで実数解が存在するとは言えない点に注意します。

誤答から条件を点検する

「p(x) = |x| は [-1, 1] で p(-1) = p(1) だから、内点に p′(c) = 0 がある」という推論を考えます。端点値の一致と閉区間での連続性は正しいものの、x = 0 で左右の傾きが一致せず、微分可能ではありません。実際、負の側で p′(x) = -1、正の側で p′(x) = 1 です。0では微分係数が存在しないため、開区間内に p′(c) = 0 となる点はありません。

図3のように底が折れていることが、水平な接線を見つけられない理由です。訂正するときは「定理の条件を満たさない」と述べた後、左右の導関数と折れ目を調べ、結論も成立しないと示します。条件の不足を指摘するだけでは反例の検証は終わりません。

連続性が欠ける場合も見ます。[-1, 1] 上で、x < 0 では q(x) = x、x ≥ 0 では q(x) = x − 2 と定めます。このとき q(-1) = q(1) = -1 です。一方、0での左極限は0、関数値 q(0) は-2なので、連続性は成り立ちません。0以外の傾きは1で、0では微分可能でないため、結論も成り立ちません。切れ目は閉区間の連続性と開区間の微分可能性の両方を損ないます。

端点値の一致が欠ける例として、r(x) = x を [0, 2] で見ると、連続かつ微分可能ですが r(0) = 0、r(2) = 2 です。内点の導関数は常に1で、水平接線はありません。これらは条件を抜いてよいとは言えないことを示します。一方、条件を欠いても水平接線を持つ関数はあるので、適用不可という判定だけから不存在を結論しないでください。

練習問題

各問で必要な条件を確認し、指定された形で答えてください。問題を先にまとめ、その後に解答を置きます。

1. f(x) = x² − 8x + 12 を [2, 6] で考えます。ロルの定理を適用し、結論を満たす c を整数で求めてください。
2. g(x) = x³ − 9x を [-3, 3] で考えます。定理の結論を満たす c をすべて根号を用いて求めてください。
3. u(x) = sin x を [0, π] で考えます。定理を適用し、結論を満たす c を π を使って正確に求めてください。
4. v(x) = x³ + x + 4 とします。方程式 v(x) = 0 の実数解が高々1個であることをロルの定理で示し、[-2, 0] に解があるか答えてください。
5. w(x) = |x − 2| を [0, 4] で考えます。定理が適用できるか、また結論を満たす点があるか答えてください。

練習問題の答えと解き方

1. 多項式なので閉区間で連続、開区間で微分可能です。f(2) = 4 − 16 + 12 = 0、f(6) = 36 − 48 + 12 = 0 です。f′(x) = 2x − 8 なので、f′(c) = 0 から c = 4 です。2 < 4 < 6 で、f′(4) = 0 となり、答えは c = 4 です。接点の値も f(4) = -4 と元の式で確かめられます。

2. g は多項式なので連続性と微分可能性を満たします。g(-3) = -27 + 27 = 0、g(3) = 27 − 27 = 0 です。g′(x) = 3x² − 9 から c² = 3、c = -√3, √3 です。どちらも絶対値が3より小さく、代入すると g′(c) = 3・3 − 9 = 0 です。したがって答えは c = -√3, √3 です。

3. 正弦関数は [0, π] で連続、(0, π) で微分可能です。u(0) = u(π) = 0 なので定理を適用でき、u′(x) = cos x です。0 < c < π で cos c = 0 を解くと c = π/2 です。元の区間に入り、cos(π/2) = 0 なので答えは c = π/2 です。接点の高さは sin(π/2) = 1 です。

4. v は実数全体で連続かつ微分可能です。異なる2つの零点があれば、その間の閉区間でロルの定理を使え、内点で v′ = 0 となります。しかし v′(x) = 3x² + 1 ≥ 1 > 0 なので矛盾します。よって実数解は高々1個です。さらに v(-2) = -8 − 2 + 4 = -6、v(0) = 4 です。連続性と中間値の定理から -2 < x < 0 に解があり、実数解は1個です。

5. w(0) = w(4) = 2 で、閉区間では連続です。しかし x = 2 で左側の傾きは -1、右側は1なので微分可能ではなく、定理を適用できません。0 < x < 2 では w′(x) = -1、2 < x < 4 では w′(x) = 1 で、x = 2 では導関数がありません。したがって指定された開区間に w′(c) = 0 となる点はありません。

要点

閉区間で連続、開区間で微分可能、端点値が等しいことを先に確かめます。
結論は開区間に導関数が0となる点が少なくとも1つあることです。
候補を求めたら開区間への所属と元の導関数を確かめます。
条件不足のとき、結論の真偽は別に調べます。

つまずいた式を見直す

端点値を計算した後に手が止まるなら、閉区間と開区間を書き分け、その横に連続性と微分可能性の根拠を添えます。折れ目のある式なら左右の傾きを別々に計算し、候補が端点に出たなら不等式 a < c < b に代入して採否を決めます。個別指導で確認する際も、どの行が仮定で、どの行が結論かを指さして説明できるかが手がかりです。条件と結論の向きを区別すれば、水平接線の存在を根拠を持って述べられます。