中学受験の算数 素数と素因数分解—数を素数の積に分けて約数の条件を調べる｜武蔵野個別指導塾

1が素数でない理由から、72の素因数を選んで約数を作る手順まで、表で学ぶ素因数分解です。

よくあるのは、小6のお子さまが素数を小さい順に書くとき、1も仲間に入れる場面です。1はどんな整数も割り切れるので、特別な数に見えます。ただし、素数を決めるときに数えるのは、その数を割り切る正の整数です。1を割り切る正の整数は1個しかありません。まずここを確かめると、数を分ける手順と約数を作る手順がつながります。

どんな条件を読み取るか

素数（そすう）の問題には、まず、並んだ整数の中から素数を選ぶ型があります。自分自身より小さい数で割れるかを調べ、1と自分自身の2個が約数かどうかで判断します。偶数だから必ず素数でないと決めつけると、2を落としてしまいます。

次に、1より大きい整数を素数のかけ算に分け、その結果から約数を探す型があります。例えば、ある個数の札を同じ枚数ずつ袋に分けるとき、余りなく分けられる袋数は、札の総数の約数です。素数のかけ算に分ければ、袋数の候補を順に作れます。

さらに、約数のうち偶数だけを選ぶ、決められた数の倍数に限る、といった条件が付く型もあります。先に候補を漏れなく作ってから条件を付ける方法と、必要な素因数を先に確保して作る方法があります。どちらでも、何を数えているかを札の枚数や袋の数に戻して確かめます。

素数を部品として見る

約数（やくすう）は、ある整数を余りなく割り切る正の整数です。例えば6の約数は1、2、3、6の4個です。1と自分自身のほかにも約数があるので、6は素数ではありません。積（せき）は、かけ算の答えを表す言葉です。

素数は、1より大きい整数のうち、正の約数が1と自分自身の2個である数です。2の約数は1と2なので、2は素数です。3も同じように約数が1と3の2個です。一方、1の約数は1だけで、2個ありません。図1のように、約数を実際に並べると1と2の違いが見えます。

図1では、1には1個、2には2個、6には4個の約数があります。1を素数に入れない理由は、1が小さいからではなく、約数の個数が2個という条件に合わないからです。1を何度かけても数が変わらず、素数の部品としての個数も決められなくなることを、補助の見方として覚えてもよいでしょう。

整数を素数だけの積に表すことを素因数分解（そいんすうぶんかい）といいます。その積に現れる素数を素因数（そいんすう）と呼びます。例えば18は2 × 9、さらに9は3 × 3なので、18 = 2 × 3 × 3です。3を2個使っていることも記録します。同じ素数が何個あるかが、約数を組み立てるときに必要です。

約数を作るときは、18の部品から2を0個または1個、3を0個、1個または2個選びます。どちらも0個なら積は1とします。選んだ部品をかけると、1、3、9、2、6、18ができます。全部18を割り切り、18にない素数を足したり、3を3個使ったりはできません。18に含まれる部品を超えるためです。

基本例題：72枚の札を分ける

72枚の札を、どの袋にも同じ枚数ずつ入れ、余らせずに分けます。袋の数として考えられる整数をすべて求め、何通りあるかも答えましょう。袋は1袋でもよく、1袋に1枚ずつでもよいものとします。

袋数で72を割った答えが1袋の枚数です。よって、求める袋数は72の約数です。まず、2で割れる間は2で割ります。

72 ÷ 2 = 36
36 ÷ 2 = 18
18 ÷ 2 = 9
9 ÷ 3 = 3
3 ÷ 3 = 1

割った数を順にかけると、72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3です。最後の1は素数ではなく、素因数として書き足しません。2は3個、3は2個あります。2の選び方は0個から3個まで、3の選び方は0個から2個までです。

図2のように、2から作る数を行、3から作る数を列に並べます。各ますの数は、その行と列の数をかけたものです。例えば2を2個、3を1個選ぶますには、4 × 3 = 12と書きます。

表には1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72の12個があります。2の選び方は4通り、3の選び方は3通りなので、個数は4 × 3 = 12通りです。答えはこれらの12種類の袋数です。

例えば12袋なら72 ÷ 12 = 6枚、8袋なら72 ÷ 8 = 9枚です。1袋なら72枚、72袋なら1枚です。どちらの端も問題の条件に合います。表の各ますは、2と3の個数の組が異なるので、同じ数を重ねて数えていません。また、72の約数に使える素因数は72の中にある2と3に限られ、その個数も表の範囲に収まります。したがって表の外に別の約数はありません。

途中で36を2 × 18ではなく4 × 9に分けても、4 = 2 × 2、9 = 3 × 3まで分ければ同じ部品にたどり着きます。分ける順番は違っても、最後に素数だけが残っているか、元の72にかけ戻せるかが確認の要点です。

条件が付くと選び方が変わる

90個の木の玉を同じ個数ずつ小箱に入れ、余らせずに分けます。小箱の数が6の倍数になるようにするとき、考えられる小箱の数をすべて求めましょう。小箱は空にしません。

まず90を分けます。90 ÷ 2 = 45、45 ÷ 3 = 15、15 ÷ 3 = 5です。5は素数なので、90 = 2 × 3 × 3 × 5です。小箱の数は90の約数ですが、それだけでは6の倍数という条件がまだ入っていません。

6 = 2 × 3です。小箱の数に2と3をそれぞれ少なくとも1個使えば、6の倍数になります。先に2と3を1個ずつ取ると、残る部品は3と5です。残った3を使うか使わないか、5を使うか使わないかで候補を作ります。

答えは6、18、30、90箱です。元に戻すと、90 ÷ 6 = 15個、90 ÷ 18 = 5個、90 ÷ 30 = 3個、90 ÷ 90 = 1個で、いずれも玉は余りません。各袋数も6で割れます。6を確保した後に残った部品の選び方は2 × 2 = 4通りなので、4個の候補で足ります。

ここでの分かれ目は、約数の条件と倍数の条件を別々に読むことです。6の倍数というだけなら12や24もありますが、90を割り切らないため小箱の数には使えません。逆に10は90の約数ですが、6の倍数ではありません。両方を満たす数だけを残します。

間違いを部品に戻して直す

48の約数の個数を求めるとき、48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3と分けた後で、「2が4個、3が1個だから4 × 1 = 4個」と答えたとします。この数え方では、同じ素因数を何個使うかだけを見て、まったく使わない選び方を落としています。

図3のように、2を使う個数には0個、1個、2個、3個、4個の5通りがあります。3にも0個と1個の2通りがあります。0個は積にその素数を入れない選択であり、両方0個なら約数1になります。

したがって、5 × 2 = 10個です。2から作る1、2、4、8、16のそれぞれに、3を使わない場合と使う場合を組み合わせます。約数は1、2、3、4、6、8、12、16、24、48です。例えば16を落としていたら、3を0個選ぶ行を見直します。

別の間違いとして、48を2 × 2 × 12で止めることもあります。12は素数でなく、まだ2 × 2 × 3に分けられます。途中の12を1個の部品として扱うと、2や3を一部だけ使う約数を作れません。すべての部品が素数になったところで、かけ戻してから選び始めます。

分解する途中で割り算が割り切れない場合もあります。例えば48を5で割って余りが出たら、5を素因数として書き加えず、2や3のように割り切れる数を試します。割り切れない計算は、その数を部品として取り出せないという手がかりです。割り算の商を取り違えた場合は、商に割った数をかけて48に戻るかを見ます。戻らなければ、その行から直せます。

表を書いている途中で時間が足りなくなりそうなときは、行の意味と列の意味を先に書き、埋めたところまでを残します。焦って候補を思いつく順に書き足すと、端の1や元の数を見落としやすくなります。表が完成しなければ、数えた個数だけを答えとして決めず、残った行を埋めてから確かめましょう。

また、計算を補助する道具に出した答えと手元の表が違うときは、道具の表示をそのまま写さず、入力した数と、求めたものが約数の一覧か個数かを見直します。道具が使えないときも、素因数を選ぶ表と、約数どうしのかけ算で確かめられます。例えば48なら、1と48、2と24、3と16、4と12、6と8の対がそれぞれ48を作ります。5組で10個です。対が同じ数になる場合は、同じ約数を二度数えないようにします。

手を動かす問題

次の4問は、先に問題をまとめて読み、解けたところまでノートに残してください。約数の候補を作ったら、元の数に戻して確かめます。

1. 1、2、9、11、15の中から素数をすべて選び、選ばなかった数についても理由を説明しましょう。
2. 60個のビー玉を、同じ個数ずつ皿に分けて余らせません。皿の数として考えられる数をすべて求め、何通りあるか答えましょう。
3. 84枚のカードを同じ枚数ずつ束にして余らせません。束の数が4の倍数となる場合の束の数をすべて求めましょう。
4. 100の約数のうち、奇数は何個ありますか。実際にその数も書きましょう。

答えと考え方

1. 答えは2、11です。2の約数は1と2、11の約数は1と11なので、どちらも2個です。1の約数は1個です。9は3で割れ、15は3や5で割れるため、1と自分自身のほかにも約数があります。11を調べるときは2、3で割れず、4も割れません。もしそれより大きい、自分自身より小さい約数があれば、対になる約数は4以下にあるので、これで判定できます。

2. 60 = 2 × 2 × 3 × 5です。2から1、2、4の3通り、3から1、3の2通り、5から1、5の2通りを選べます。3 × 2 × 2 = 12通りです。小さい順に並べると1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60皿です。対にすると1と60、2と30、3と20、4と15、5と12、6と10で、それぞれかけると60になります。皿の数をどちらにしても相手の数が1皿の個数です。

3. 84 = 2 × 2 × 3 × 7です。4の倍数にするため2を2個確保すると、残りは3と7です。残りを使わない、3だけ、7だけ、両方使うという4通りから、4、12、28、84束です。84 ÷ 4 = 21枚、84 ÷ 12 = 7枚、84 ÷ 28 = 3枚、84 ÷ 84 = 1枚なので、どれも余りません。4で割れることも、それぞれ確かめられます。

4. 100 = 2 × 2 × 5 × 5です。奇数の約数には2を使えません。5は0個、1個、2個の3通り選べるので、答えは1、5、25の3個です。100 ÷ 1 = 100、100 ÷ 5 = 20、100 ÷ 25 = 4で、どれも割り切れます。2を1個でも選ぶと偶数になるため、奇数の候補に入れません。

覚えておくこと

1の約数は1個なので、1は素数ではありません。
素因数分解では、最後まで素数の積に分けます。
約数を作るときは、各素因数を0個使う選択も数えます。
条件が付いたら、作った数を元の条件に戻して確かめます。

横で見守る方へ

お子さまが1を素数に入れたときは、すぐに一覧を書き直すより、1を割り切る正の整数を指で示してもらってください。次に2の約数も並べると、2個という条件との差を自分で見つけられます。約数の個数でつまずいたときは、図のどこまで説明できるかを聞き、使わない場合を表のどこに置くかだけ促します。

計算の途中で答えが合わなくても、分解した積を元の数へ戻せるか、条件を付ける前の候補が何を表すかを順に見ます。部品の個数と、使う個数の選び方を区別できれば、数が変わっても自分の表を作れます。素因数は、約数を漏れなく作るための部品です。