中学受験の算数 最大公約数と最小公倍数—等分とくり返しの違いから使う数を選ぶ｜武蔵野個別指導塾

折り紙の袋数は公約数、合図が重なる時間は公倍数を使い、求めた数をそれぞれの条件に戻して比べます。

よくあるのは、小5のお子さまが品物を同じ内容の組に分ける問題で、最小公倍数を求めてしまう場面です。計算の方法を知っていても、求めた数が組数として使えるかを見落とすことがあります。例えば、2種類の品物を余らせずに分けるとき、組数はそれぞれの個数を割り切る数でなければなりません。一方、一定の間隔で鳴る合図が再びそろうまでの時間は、両方の間隔の倍数です。まず、答えが何を数えるのかを言葉にしましょう。

どんな条件を読み取るか

1つ目の型は、2種類の品物を同じ内容の組に分け、余りが出ないようにする問題です。組をできるだけ多くするなら、2つの個数をどちらも割り切る数の中で最も大きいものを選びます。組数が決まれば、1組あたりの個数はそれぞれ元の個数を組数で割って求められます。

2つ目は、別々の間隔でくり返す合図が、同時に始まってから再びそろうまでの時間を求める問題です。それぞれが鳴る時刻を、始まりからの経過時間として並べます。両方に現れる正の時間のうち最初のものが答えです。開始の瞬間も同時ですが、「再び」とあるときは開始から0分後を答えにしません。

3つ目は、分け方や時刻に追加条件がある問題です。「組数は何組以上」「ある時刻以降」といった条件があれば、最大や最小を求めて終わりにはできません。候補を並べて範囲と照らし合わせます。名前から計算を選ぶより、組数なら割り算が成り立つか、時間ならそれぞれの間隔を何回分進んだかを確かめることが先です。

共通する数を二通りに見る

ある整数を余りなく割り切る整数を約数（やくすう）といいます。例えば12の約数は1、2、3、4、6、12です。18の約数は1、2、3、6、9、18です。両方に共通する約数を公約数（こうやくすう）といい、その中で最も大きい数が最大公約数です。12と18なら共通する数は1、2、3、6で、最大公約数は6です。

一方、整数を1倍、2倍、3倍とした数を倍数（ばいすう）といいます。12の正の倍数は12、24、36、48と続き、18の正の倍数は18、36、54と続きます。両方の正の倍数に共通する数を公倍数（こうばいすう）といい、その中で最も小さい数が最小公倍数です。12と18の最小公倍数は36です。

図1のように、同じ12と18を使っても、割り切る数を探すか、何回分かを探すかで答えは変わります。公約数の6は両方より大きくなることはありません。正の公倍数は両方の数以上です。ただし、大小の見た目だけで決めず、何を割るか、何をくり返すかまで説明します。

図1の上段では12と18を割り切る数を、下段では両方の倍数を示しています。列を途中まで書くときは、共通する数が最初に出るまで、抜かさず順に進めるのが大切です。約数も、小さい数から割って、割り算の答えと対にして書くと漏れを防げます。

約数を並べるとき、割る数と商を組にする方法には確認の目印があります。12なら1と12、2と6、3と4が対です。小さい側から順に試し、同じ組を逆向きに書き始めたら、それまでの組を見直します。36のように6と6が組になる場合、6を2回数える必要はありません。これで候補を落とさず、重ねて数えずに並べられます。

倍数を並べる場合には、始めの時刻をそろえた上で、1回分ずつ増やします。途中の数を飛ばすと、もっと早く重なる時刻を見落とすかもしれません。例えば12分ごとの列なら12の次は24、その次は36です。18分ごとの列と比べると、36分後に初めてそろいます。36が両方で割り切れるだけでなく、それより前の列に共通する正の数がないことも見ます。

問題に「最大」や「最小」が書かれていなくても、「できるだけ多く」や「次に初めて」という言葉が選び方を示します。反対に、条件に合う数を全部尋ねる場合は、最大の1つを出して終わりにしません。何を答える問題かを囲んでから候補を調べると、計算後の見直しもしやすくなります。

基本例題：同じ内容の袋を作る

赤い折り紙24枚と青い折り紙36枚を、それぞれ余らせず、どの袋にも赤と青を同じ枚数ずつ入れます。袋をできるだけ多く作るとき、袋は何袋でき、1袋にそれぞれ何枚入りますか。

袋の数が決まると、赤24枚をその袋数で割り、青36枚も同じ袋数で割ります。どちらも余らない必要があるので、袋数は24と36の公約数です。まず24の約数を対で並べます。

1 × 24、2 × 12、3 × 8、4 × 6

したがって、24の約数は1、2、3、4、6、8、12、24です。次に36も同じように並べます。

1 × 36、2 × 18、3 × 12、4 × 9、6 × 6

36の約数は1、2、3、4、6、9、12、18、36です。両方にある数は1、2、3、4、6、12で、最も大きい数は12です。袋数は12袋と決まります。

24 ÷ 12 = 2（赤の1袋あたりの枚数）

36 ÷ 12 = 3（青の1袋あたりの枚数）

答えは12袋、1袋に赤2枚、青3枚です。図2のように1袋分を12回集めると、それぞれ元の枚数に戻ります。2 × 12 = 24、3 × 12 = 36なので、余りも不足もありません。

図2の赤と青の箱は、1袋に入れる枚数を表します。袋を12より多くしたいとしても、袋数は両方の約数でなければなりません。共通の約数を全部調べたので、12より多い袋数は作れないといえます。12袋作れたことと、それより多い袋数がないことの両方を確かめて、初めて「できるだけ多く」の答えになります。

もし「1袋に同じ枚数を入れる」とだけ読んで、赤と青を合わせた60枚を袋数で割ると、各色が同じ内容になる条件を落とします。赤と青を別々に割り、どちらも余らないかを確認しましょう。また、袋数と1袋の枚数は別の量です。答えに単位を書いておくと、最後に取り違えにくくなります。

条件が加わると選び方が変わる

2つの音が同時に鳴りました。その後、甲の音は8分ごと、乙の音は12分ごとに鳴ります。始めから50分を過ぎて初めて2つの音が同時に鳴るのは、始めから何分後ですか。音は決められた間隔で鳴り続けるものとします。

ここで求めるのは分ける組数ではなく、始めからの経過時間です。甲の音が鳴るのは8、16、24、32、40、48、56、64、72分後と続きます。乙の音は12、24、36、48、60、72分後と続きます。両方に現れる最初の正の時間は24分後です。

ただし、問題は50分を過ぎてから初めて同時に鳴る時間を尋ねています。24分後と48分後は50分を過ぎていないため、条件に合いません。次に両方に現れるのは72分後です。72 ÷ 8 = 9、72 ÷ 12 = 6ですから、甲は9回分、乙は6回分の間隔を進んでいます。答えは72分後です。

なぜ同時に鳴る時間を24分ずつ進めてよいのでしょうか。甲の8分の倍数のうち乙の12分の倍数でもあるものは、24、48、72のように24分ごとに現れます。実際に並べると、50分より後の最初の候補が72分だと見届けられます。「50分以降」では50分ちょうども候補に入りますが、「50分を過ぎて」では入りません。境界の言葉も読み分けます。

同時に始まらない問題では、開始からの時間をそのまま両方の倍数として並べることはできません。それぞれが鳴る時刻を出発点から書き、共通する時刻を調べます。今回の例では同時に始まるという条件があるので、経過時間を両方の倍数として扱えます。

間違えた答えを条件に戻す

基本例題で24と36の最小公倍数72を求め、「72袋」と答えたとします。72は24と36の両方の倍数ですが、袋数として使うには24枚と36枚を72袋にそれぞれ余りなく分けなければなりません。1袋に赤も青も整数枚ずつ入れ、同じ内容にする条件を満たせません。

図3のように、72をそれぞれの個数で割り切れる数と見るのではなく、元の個数を72で割れるかを確かめます。原因は「2つの数に共通」という言葉だけで、割る向きを見ていないことです。修正するときは、袋数を小さい候補から調べ、両方を割り切る数の中で最大の12を選びます。

図3の下段では、24 ÷ 12と36 ÷ 12がどちらも整数になることを示しています。反対に、周期の問題で最大公約数を答える誤りもあります。8と12の最大公約数は4ですが、4分後は甲も乙も次の音をまだ鳴らしていません。求めた数をそのまま答えにせず、元の場面に置くと、計算の選択を点検できます。

列を作る途中で共通する数を1つ見つけても、それが求める最大や最小かは別に確かめます。公約数なら大きい候補が残っていないか、公倍数なら手前に共通する正の数がないかを調べます。追加条件がある場合は、条件に入るかも最後に確かめましょう。

練習：分ける数か、重なる時間か

次の4問を先に考えてから、後の答えを見てください。式に単位を添え、どの数を割るか、または何分ごとに進むかを短く書いてみましょう。

1. 白いカード30枚と黄色いカード42枚を余らせず、どの束もそれぞれ同じ枚数にします。束をできるだけ多くすると、何束でき、1束に各色は何枚ずつ入りますか。
2. 2つのランプが同時に点灯した後、一方は6秒ごと、もう一方は15秒ごとに点灯します。次に同時に点灯するのは何秒後ですか。
3. りんご20個とみかん28個を余らせず、各組がそれぞれ同じ個数になるように分けます。2組以上作るとき、組数として考えられる数をすべて求めてください。
4. 2人が同じ時刻に合図を出し、その後は一方が9分ごと、もう一方が12分ごとに合図を出します。始めから80分以降に初めて合図がそろうのは何分後ですか。合図は続けるものとします。

答えと考え方

1. 30の約数は1、2、3、5、6、10、15、30です。42の約数は1、2、3、6、7、14、21、42です。共通するのは1、2、3、6なので、最大は6です。30 ÷ 6 = 5、42 ÷ 6 = 7より、6束で、白5枚、黄色7枚ずつです。5 × 6 = 30、7 × 6 = 42と戻して確かめられます。

2. 6の倍数は6、12、18、24、30、15の倍数は15、30と進みます。初めて共通する正の数は30なので、30秒後です。30 ÷ 6 = 5、30 ÷ 15 = 2で、どちらも整数回の間隔になっています。0秒後は始めの点灯なので、次の点灯には数えません。

3. 20の約数は1、2、4、5、10、20、28の約数は1、2、4、7、14、28です。共通する数は1、2、4で、2組以上という条件から2組と4組です。2組なら各10個と14個、4組なら各5個と7個になり、どちらも元の個数に戻ります。最大の組数だけでなく、条件に合う候補を全部答える点に注意します。

4. 9の倍数は9、18、27、36、45、54、63、72、81、90、99、108と進みます。12の倍数は12、24、36、48、60、72、84、96、108と進みます。共通する正の時間は36、72、108分後と続きます。80分以降に初めて当てはまるのは108分後です。108 ÷ 9 = 12、108 ÷ 12 = 9なので、両方の合図の時刻に一致します。

問題の文章にある「余らせず」は、すべての品物を使う条件です。分けた後に残りがないかを、かけ算で確かめてください。

覚えておくこと

• 同じ内容に余りなく分ける組数は、元の数の公約数です。
• 同時に始まるくり返しが再びそろう時間は、間隔の正の公倍数です。
• 最大・最小と範囲の条件を確認し、答えを元の場面に戻します。

家で見守る方へ

お子さまが計算を始める前に、図のどこが袋数や経過時間を表すか、説明できるところまで聞いてみてください。言葉が止まったら「この数で何を割りますか」または「何分を何回くり返しますか」と一手だけ促します。答えの数が合っていても、単位や追加条件を取り違えることがあります。元の枚数に戻るか、両方の合図の時刻に入るかを本人の言葉で確認すると、数を選んだ理由まで見えてきます。等分とくり返しは、答えを場面に戻して区別できます。