中学受験の算数 約数と倍数—割り切れる数を並べて条件に合う数を探す｜武蔵野個別指導塾

36枚のカードを袋に分ける候補を約数の対で探し、範囲内の倍数は両端を含むかまで確かめて数えます。

よくあるのは、小5が約数を小さい方から見つけ、かけ合わせる相手を書き落とすという場面です。例えば、24を割り切れる数を調べるとき、2を見つけたところで安心すると、その相手の12が答えから抜けることがあります。約数は1つずつ探すこともできますが、かけ算の組で記録すると見落としを減らせます。倍数は反対に、決めた数を何倍かした列を使います。どちらを並べる問題なのか、まず文章の条件から決めましょう。

どんな数を探すのか

1つ目の型は、決まった個数を余りなく同じ数ずつ分ける問題です。1組の個数が決まった個数を割り切るので、約数を探します。1組の個数が指定されていないときは、かけ算の組を小さい方から順に書いて候補を出します。その後で、問題にある大きさや個数の条件を使って絞ります。

2つ目は、同じ数ずつ増える個数の候補を探す問題です。例えば1束に決まった本数を入れ、束をいくつか作るとき、全部の本数は1束の本数の倍数です。上限があるなら、その数を超える前で列を止めます。下限もあるなら、そこから上限までを数えます。

3つ目は、ある範囲に入る倍数の個数を尋ねる問題です。並べる方法のほか、上限までの個数から下限より前の個数を引く方法があります。端の数を含むかどうかで、引く側の範囲が変わります。「以上」と「より大きい」を読み分け、端を先に確認してください。

対と列の見取り図

ある整数を余りなく割り切る整数を、その数の約数（やくすう）といいます。ここでは1以上の整数を考えます。18なら、1で割っても2で割っても余りがなく、1と18、2と9はそれぞれかけて18になる組です。3と6も組になります。図1のように組の両側を記録すると、片方を忘れにくくなります。

図1の組は1と18、2と9、3と6です。小さい側を1、2、3と進め、その数で割れるかを確かめました。4で割ると余るので組はできません。5でも余り、次の6はすでに3の相手として出ています。そこから先に割り切れる数があっても、相手はすでに調べた小さい側です。したがって18の約数は1、2、3、6、9、18の6個です。

同じ数どうしをかけて元の数になる場合は、真ん中の数を2回数えません。例えば25なら、1と25のほかに5と5があります。5は1種類の数なので、約数は1、5、25の3個です。組の両側を書く方法でも、最後に同じ数が重なっていないか見直します。

一方、ある整数を1倍、2倍、3倍とした数を、その整数の倍数（ばいすう）といいます。7の倍数は7、14、21、28、35、42と続きます。列の間隔はいつも7です。約数は元の数を割る側、倍数は元の数をかけてできる側です。どちらも「割り切れる」という関係を使いますが、何を求めるかで並べる向きが変わります。

文章中の「余らず同じ数ずつ分ける」を見たら、全部の数を1組の数で割ります。「1組に同じ数を入れ、何組か作る」なら、1組の数に組数をかけます。分ける対象と1組の数を指で押さえ、どちらが決まっているか話してから式にすると取り違えを防げます。

列を使うときは、最初から上限まで全部を書かなくても、近くの倍をかけ算で探せます。ただし、見当をつけた数が条件に入っただけでは、最初の候補かどうかは決まりません。1つ前の倍数も計算し、下限の外にあることを確かめます。同様に、最後の候補の1つ後が上限の外にあることを確かめると、両端を取りこぼさずに済みます。

約数の表では、割り算が割り切れなかった数も途中にあります。割れなかった数を飛ばして次に進んでよいのは、その数では余りが出ると確かめたからです。答えの候補を探す作業と、その候補が条件に合うか調べる作業を分けると、どちらで迷ったかも見つけやすくなります。たとえば範囲には入っても、元の個数を割り切れなければ約数としては選べません。

並べ終えた後には、同じ数を重ねて書いていないか、単位が求められたものと合っているかも見ます。1袋の枚数を尋ねられたときの商は袋の数であり、求める枚数そのものとは限りません。対のどちらを答えるかは、問題文の問いに戻って決めましょう。

基本例題：同じ数ずつ袋に入れる

36枚のカードを、どの袋にも同じ枚数ずつ入れ、余りなくすべての袋に入れます。1袋には4枚以上10枚以下入れることにします。1袋の枚数として考えられる数をすべて求めてください。

まず、36枚を1袋の枚数で割り切れる必要があります。したがって、1袋の枚数は36の約数です。図2のように、かけて36になる2つの数を組にして調べます。左側を小さい数から進めると、組を順序よく集められます。

1 × 36 = 36 なので、1と36は約数です。 2 × 18 = 36 なので、2と18も約数です。 3 × 12 = 36 なので、3と12も約数です。 4 × 9 = 36 なので、4と9も約数です。 36 ÷ 5 = 7 あまり1なので、5は約数ではありません。 6 × 6 = 36 なので、6も約数です。

6まで調べると、次の7以上の相手は6より小さくなります。割り切れる組は小さい側で既に調べたので、ここで止めます。6と6は同じ数ですから、約数としては6を1回だけ書きます。小さい順にすると、1、2、3、4、6、9、12、18、36です。

次に「4枚以上10枚以下」を使います。4は下の端と等しいので入ります。6と9も範囲の中です。12は10を超え、3以下は4より小さいので入りません。答えは4枚、6枚、9枚です。候補を全部出してから条件で選ぶと、約数の見落としと範囲の読み違いを別々に点検できます。

元の場面にも戻しましょう。36 ÷ 4 = 9で9袋、36 ÷ 6 = 6で6袋、36 ÷ 9 = 4で4袋になります。いずれも余らず、1袋の枚数も指定された範囲です。例えば8枚は範囲に入りますが、36 ÷ 8は余るため、枚数の条件だけでは採用できません。袋の数も整数になるかまで見ることが、文章題の検算です。

少し難しい例題：列のどこからどこまで数えるか

1箱に8個ずつ入った玉があります。箱は1箱以上あり、全部の玉は50個以上150個以下です。玉の総数として考えられる数は何通りありますか。

箱が1箱なら8個、2箱なら16個です。総数は8の倍数なので、8、16、24と順に並べられます。50に近いところを調べると、8 × 6 = 48、8 × 7 = 56です。48は50より小さく、56は条件に入る最初の数です。上の端では、8 × 18 = 144、8 × 19 = 152なので、144が最後です。

最初の56は7箱、最後の144は18箱に対応します。箱数は7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18の12通りです。計算では18 − 7 = 11が端の間の差なので、両端を含めて11 + 1 = 12通りです。答えは12通りです。7箱から18箱までの各整数に異なる総数が対応し、どれも8で割り切れます。

別の確かめ方もあります。150以下の8の倍数は、8 × 18 = 144、8 × 19 = 152から18個です。50より小さい8の倍数は、8 × 6 = 48、8 × 7 = 56から6個です。18 − 6 = 12で同じ答えになります。下の端を含めるには「50より小さい」ものを引きます。50以下を引くのではありません。

ここが条件の分かれ目です。下の端が56以上なら56を入れますが、56より大きいなら56を入れません。また、上の端が144以下なら144を入れ、144未満なら入れません。端が倍数でないときは、以上とより大きいの違いが個数に表れないこともあります。それでも毎回、端が列にあるかを調べてから範囲を決めます。

間違いを手がかりに直す

24の約数を「1、2、3、4、6」と答えたとします。いずれも24を割り切りますが、これでは相手の数が抜けています。図3のように、1と24、2と12、3と8、4と6を組にすれば、抜けた数を見つけられます。

原因は、小さい数で割れるかだけを見て、商を記録しなかったことです。1 × 24、2 × 12、3 × 8、4 × 6を確かめ、それぞれの両側を並べ直します。正しくは1、2、3、4、6、8、12、24の8個です。5は24を割り切らず、6以降の相手は4以下なので、組を増やす必要はありません。

もう1つ、範囲内の倍数を数えるときに、最後の番号から最初の番号を引いたままにする誤りがあります。最初と最後が隣り合う2つなら、番号の差は1でも数は2個です。この小さな場合で確かめると、両端を含むときに1を足す理由が見えます。反対に端を含まない条件では、足す前に最初と最後の対象を選び直します。

約数を2つずつ数えた後、同じ数の対をそのまま2個にしてしまうこともあります。対の左右が同じかを丸で囲んで見直してください。列を作るときは、倍にする回数と得られた数を混同しないことも必要です。答えが個数なら、最後の行に「通り」や「個」を添えて意味を確かめます。

練習：問題をまとめて考える

1. 28枚の折り紙を、同じ枚数ずつ何人かに余りなく配ります。1人に配る枚数として考えられる数を、小さい順にすべて書いてください。

2. 1束に6本の鉛筆を入れます。1束以上作り、鉛筆の総数を30本以上66本以下にするとき、総数は何通りありますか。

3. 40個の石を同じ個数ずつ皿に余りなく分けます。1皿に入れる個数が3個より多く、11個より少ないとき、1皿の個数として考えられる数をすべて求めてください。

4. 1箱に9個ずつ入った積み木があります。1箱以上あり、全部で40個より多く100個未満です。全部の個数として考えられる数と、その通り数を求めてください。

答えと途中の考え方

1. 28の約数を対で調べます。1 × 28 = 28、2 × 14 = 28、4 × 7 = 28です。3は割り切れず、4の次に相手の7まで調べる必要はありません。答えは1、2、4、7、14、28枚です。それぞれ28を割り切り、順に28人、14人、7人、4人、2人、1人に配れます。1人で受け取る場合も条件に合います。

2. 6 × 5 = 30、6 × 11 = 66です。30も66も条件に含まれます。束数は5から11までなので、11 − 5 + 1 = 7通りです。総数を並べると30、36、42、48、54、60、66本で、確かに7通りあります。端の30と66を6で割ると5と11になり、束数は整数です。

3. 40の約数の対は1と40、2と20、4と10、5と8です。小さい順に1、2、4、5、8、10、20、40となります。このうち3より大きく11より小さいのは4、5、8、10です。答えは4個、5個、8個、10個です。40をそれぞれで割ると10、8、5、4皿となり、余りはありません。

4. 9 × 4 = 36、9 × 5 = 45なので、条件に入る最初の総数は45個です。9 × 11 = 99、9 × 12 = 108なので、最後は99個です。箱数を5から11まで数えると、11 − 5 + 1 = 7通りです。答えは45、54、63、72、81、90、99個の7通りです。どれも40より多く100未満で、9で割ると5から11までの整数になります。

覚えておくこと

約数は、元の数を余りなく割る数です。対にして相手も書きます。 倍数は、元の数を1倍、2倍とした列です。 範囲の端が含まれるかを先に調べます。 両端を含む連続した番号の個数は、最後から最初を引いて1を足します。 答えを元の分け方や箱数に戻して確かめます。

家で見守る方へ

お子さまが数を並べ終えたら、すぐに正しい一覧を示す前に、どこまで説明できるか聞いてみてください。「この2つはかけると何になる」と対を指せば、約数の相手を見つけられているかがわかります。片方が抜けていたら、その組の商を1つ書くよう促すだけで十分です。

倍数の個数で迷う場合は、最初と最後の数に印を付け、その間を実際に指で数えてもらいます。端が条件に入るかを言葉で説明できれば、引き算と1を足す意味をつなげられます。約数の組と倍数の列は、数を探す道筋を目に見える形にします。