高校数学III 余弦と正接の極限—恒等式で正弦の基本極限へ結びつける｜武蔵野個別指導塾

半角の恒等式で余弦の差を捉え、分母の条件を確かめて計算するのが正接です。

よくあるのは、理系高3が演習ノートで 1-cos x を x と同じ程度とみなす場面です。どちらも x が 0 に近づくと 0 に近づきますが、それだけでは比が一定の値に近づくとはいえません。実際には、余弦の差を正弦の積に直すと、x が2回現れます。分母に x が1個あるか2個あるかで、答えの形が変わります。

三角関数の角は弧度法で表します。ここでは正弦の基本極限を出発点とし、余弦と正接の式を変形します。学習指導要領の数学IIIには、関数の値の極限が含まれています。

要点（結論から）

• 角は弧度法で測り、正弦の基本極限に使う角が0へ向かうことを示します。
• 1-cos θ は 2sin²(θ/2) に直し、角の係数も2乗します。
• tan θ は cos θ ≠ 0 の範囲で正弦と余弦の商に直します。

どの形で差が現れるか

1つ目は (1-cos ax)/x² の形です。分子へ 1-cos θ = 2sin²(θ/2) を使い、正弦とその角の比を2個作ります。角に付いた係数を分母に合わせる際、2乗にも係数がかかることが計算の分かれ目です。

2つ目は tan bx/x の形です。tan θ = sin θ/cos θ と直せば、正弦の比と余弦の逆数に分かれます。ただし、正接が定義されるためには cos bx が 0 でないことが必要です。0の近くでは余弦が1に近づくので、その条件を満たす範囲を取れます。

3つ目は、余弦の差と正弦が同じ分数に入る形です。例えば分母が x sin cx のとき、x と sin cx がそれぞれ0へ向かいます。分子を半角で2乗の形にしてから、分母の sin cx を cx と対応させます。式の途中で割る量がゼロにならない範囲を示してから進めます。

正弦の比を使うための条件

基本極限は、角 t を弧度法で測るとき lim[t→0] (sin t)/t = 1 です。t = 0 では比は定義されませんが、極限では0以外の値から近づけます。0に近い正の t では、単位円の面積の比較から cos t ≤ (sin t)/t ≤ 1 が得られます。cos t → 1 なので、はさみうちで右側からの極限は1です。sin(-t)/(-t) = (sin t)/t ですから、負の側でも同じ値に近づきます。

図1のように、余弦の差と正接をそれぞれ正弦の比へつなぎます。どちらも角が0に近づくことが必要です。たとえば θ = ax なら、固定された実数 a に対して x → 0 のとき θ → 0 です。a が0でない場合は sin(ax)/(ax) → 1 と書けます。a = 0 の場合は ax で割れないので、元の式を直接調べます。

図1で使う2つの恒等式は、元の式が定義される範囲で使います。1-cos θ = 2sin²(θ/2) はすべての実数 θ で成立します。一方、tan θ = sin θ/cos θ は cos θ ≠ 0 のときの式です。さらに、sin t → 0 と半角の恒等式から cos t = 1-2sin²(t/2) → 1 となります。したがって0の十分近くでは cos t は0から離れ、逆数も1へ近づきます。

このことから、a ≠ 0 のとき次の関係が得られます。ここで等号は x ≠ 0 の範囲の変形です。

(1-cos(ax))/x²
= 2sin²(ax/2)/x²
= (a²/2)・{sin(ax/2)/(ax/2)}²
→ a²/2

a = 0 なら分子は常に0で、x ≠ 0 のもとで比は0です。上の値 a²/2 にも一致しますが、途中の ax/2 による割り算は使えません。式の結論が合うことと、途中の変形が許されることは別に確かめます。

基本例題：余弦の差を半角にする

次の極限値を分数で求めてください。

lim[x→0] (1-cos(3x))/x²

元の式は x = 0 で分母が0です。したがって x ≠ 0 として式を変形し、最後に0へ近づけます。図2のように、3x の半分を角とする正弦を2個に分け、それぞれに同じ角を対応させます。

半角の恒等式を使い、分母にある x² との関係を1行ずつ書きます。

(1-cos(3x))/x²
= 2sin²(3x/2)/x²
= 2・(3/2)²・{sin(3x/2)/(3x/2)}²
= (9/2)・{sin(3x/2)/(3x/2)}²

x → 0 なら 3x/2 → 0 です。x ≠ 0 なら 3x/2 ≠ 0 なので、この比は定義されています。正弦の基本極限によって波括弧の中は1に近づき、その2乗も1に近づきます。よって答えは 9/2 です。

元の式へ戻って確かめるには、分子と分母がともに0に近づくだけでなく、分子が x² の何倍に近いかを見ます。上の恒等式は元の分子を正確に表しており、左右どちらから近づいても同じ正弦の比に帰着します。分子は常に0以上で分母も正ですから、得られた正の値とも矛盾しません。

たとえば角の係数3を最後に1回だけ掛けると、3/2 という値にしてしまいます。正弦は2乗されているので、3/2 も2乗されます。分子の2と合わせて 2・9/4 = 9/2 となるところまで、係数を分けて記録すると追いやすくなります。

標準例題：正接を正弦と余弦に分ける

次の極限値を整数で求めてください。

lim[x→0] tan(4x)/x

x ≠ 0 かつ cos(4x) ≠ 0 のもとで変形します。実際、|x| < π/16 なら |4x| < π/4 で cos(4x) > 0 です。したがって0の両側に、元の式が定義される範囲を取れます。

tan(4x)/x
= sin(4x)/(x cos(4x))
= 4・{sin(4x)/(4x)}・1/cos(4x)

x → 0 のとき 4x → 0 なので、正弦の比は1へ向かいます。また cos(4x) → 1 です。分母の極限が0でないので、その逆数は1へ向かいます。積の極限を取ると答えは 4 です。

元の正接に戻ると、分子の角は 4x、分母は x です。角を分母に合わせたことで生じた4が答えに残ります。x の正負を変えても sin(4x) と x はともに符号を変え、近傍の余弦は正です。左右で比は正になり、同じ4に近づきます。

正接の基本的な比を最初から覚えている場合でも、余弦が0でないことを点検する必要は消えません。別の点へ近づく問題では正接が定義されない点が近くにある場合もあります。今回使っているのは、あくまで角が0へ近づく範囲での議論です。

発展例題：分母の正弦にも角を合わせる

次の極限値を分数で求めてください。

lim[x→0] (1-cos(2x))/(x sin(5x))

まず式が定義される場所を確認します。0 < |x| < π/5 なら 0 < |5x| < π なので sin(5x) ≠ 0 です。x 自身も0でないため、元の分母はゼロになりません。分子の余弦には半角の恒等式を使います。

(1-cos(2x))/(x sin(5x))
= 2sin²x/(x sin(5x))
= 2・(sin x/x)²・x/sin(5x)
= (2/5)・(sin x/x)²・(5x/sin(5x))

ここで使った sin(5x) による割り算は、先に取った範囲で可能です。sin(5x)/(5x) → 1 ですから、その逆数 5x/sin(5x) も1へ向かいます。sin x/x も1へ向かうので、求める値は 2/5 です。

元の式の符号も確かめます。十分小さい正の x では sin(5x) は正、負の x では負なので、x sin(5x) は両側で正です。分子は0以上ですから、正の 2/5 に近づく結果と合います。分母を x・5x に置き換える感覚だけで答えを決めず、正確な比を残した式によって極限を示すことが必要です。

別の経路として、分子を (1-cos(2x))/x²、分母を sin(5x)/x と見て、2つの比の商にする方法もあります。前者は2、後者は5に近づき、後者の極限は0ではありません。このときも x ≠ 0 および sin(5x) ≠ 0 の範囲が前提です。分母に正弦があるか、正弦の比の逆数を取るかを意識すると、係数の上下を取り違えにくくなります。

誤答から戻る：ゼロに向かう速さを比べる

次は、基本例題の分母を x に変えた式に対する誤答です。

誤答: (1-cos(3x))/x → 3
理由: 1-cos(3x) は 3x と同じ程度だから

両方が0に近づくことは確かですが、それだけでは比の極限は決まりません。図3のように、半角にすると分子には正弦が2個あります。正弦1個を x に対応させても、もう1個が0へ向かうため、比全体は0へ向かいます。

x ≠ 0 で正確に直すと、次のようになります。

(1-cos(3x))/x
= 2sin²(3x/2)/x
= 3・{sin(3x/2)/(3x/2)}・sin(3x/2)
→ 3・1・0
= 0

図3の矢印は、正弦の比が1、残った正弦が0へ向かうことを表しています。左右から近づくと式の符号は変わりますが、どちらも0に近づきます。極限値が0という結論は、元の分子と分母がともに0になる点へ代入した結果ではありません。点の近くで成り立つ恒等式と基本極限から得た値です。

もう1つの誤りは、発展例題で sin(5x)/x → 5 と求めた後、その5を分子に掛けることです。元の式では sin(5x) は分母にあります。商として整理すれば、分母の比が5に近づくため5で割ると見えます。係数を移した行と元の分数を照らし、どちら側にあった量かを確かめます。

練習：式を整えてから答える

次の5問は、いずれも x → 0 です。角は弧度法で、極限値を指定の形で求めてください。計算中は必要な分母が0でない範囲を確認します。

1. (1-cos(6x))/x² を整数で求めてください。
2. tan(7x)/(2x) を分数で求めてください。
3. (1-cos(4x))/(x sin(3x)) を分数で求めてください。
4. (1-cos(5x))/sin(2x) を整数で求めてください。
5. (tan(3x)-sin(3x))/x³ を分数で求めてください。

練習の答えと途中式

1. 半角と係数の2乗

x ≠ 0 とします。6x の半分は 3x なので、次のように正弦の基本極限を作ります。

(1-cos(6x))/x²
= 2sin²(3x)/x²
= 18・{sin(3x)/(3x)}²
→ 18

答えは 18 です。分子は 2sin²(3x) と元に戻り、6と3の対応が合っています。正負の x のどちらでも同じ2乗の比を使えます。

2. 分母の2を残す

0の十分近くでは cos(7x) ≠ 0 です。x ≠ 0 で正接を分けます。

tan(7x)/(2x)
= sin(7x)/(2x cos(7x))
= (7/2)・{sin(7x)/(7x)}・1/cos(7x)
→ 7/2

答えは 7/2 です。角の係数7に加え、元の分母の2も残しています。左右どちらでも余弦は1へ向かうので、同じ値が得られます。

3. 正弦の比を分母に置く

0 < |x| < π/3 なら sin(3x) ≠ 0 です。分子は半角で 2sin²(2x) になります。

(1-cos(4x))/(x sin(3x))
= 2sin²(2x)/(x sin(3x))
= 8・{sin(2x)/(2x)}²・x/sin(3x)
= (8/3)・{sin(2x)/(2x)}²・{3x/sin(3x)}
→ 8/3

答えは 8/3 です。元の分母の正弦の角は 3x なので、逆数の係数は1/3です。近傍で x sin(3x) は正、分子は0以上であり、正の答えと合います。

4. 余った正弦が0へ向かう

0 < |x| < π/2 なら sin(2x) ≠ 0 です。5x/2 も0でないため、次の比を作れます。

(1-cos(5x))/sin(2x)
= 2sin²(5x/2)/sin(2x)
= (5/2)・{sin(5x/2)/(5x/2)}・{2x/sin(2x)}・sin(5x/2)
→ (5/2)・1・1・0
= 0

答えは 0 です。分母の正弦1個に対し、分子には半角の正弦が2個あります。元の式は左右で符号が異なりますが、どちらからも0に近づきます。

5. 差を先に因数分解する

0の十分近くでは cos(3x) ≠ 0 とします。正接を正弦と余弦に分けると、差の中に余弦の差が現れます。

(tan(3x)-sin(3x))/x³
= {sin(3x)/cos(3x)-sin(3x)}/x³
= sin(3x)・{1-cos(3x)}/(x³ cos(3x))
= 2sin(3x)・sin²(3x/2)/(x³ cos(3x))
= (27/2)・{sin(3x)/(3x)}・{sin(3x/2)/(3x/2)}²・1/cos(3x)
→ 27/2

答えは 27/2 です。係数は 2・3・(3/2)² = 27/2 です。分子を元の差に戻すと、共通因子 sin(3x) をくくった式に一致します。左右とも正弦3個と x³ が同じ符号になるため、正の答えとも整合します。

要点

• 角は弧度法で測り、正弦の基本極限に使う角が0へ向かうことを示します。
• 1-cos θ は 2sin²(θ/2) に直し、角の係数も2乗します。
• tan θ は cos θ ≠ 0 の範囲で正弦と余弦の商に直します。
• 逆数を取るときは、元の比の極限が0でないことを確認します。

途中式のどこを見直すか

答えが合わないときは、最初に変形した行へ戻り、分子の正弦の個数と分母の x の個数を数えます。次に、sin(角)/(角) を作った箇所で、角の係数を何回掛けたかを追います。2乗の外に出た係数も2乗されているかを確かめてください。数値だけを直しても、次の式で同じ誤りが残ることがあります。

個別指導では、元の式が定義される範囲を書いた行と、逆数を取った行を確かめます。例えば分母の sin(5x) を消したつもりの途中式があれば、0の近くでそれがゼロにならない理由を言葉にしてもらいます。そのうえで分母にあった係数が答えの分母へ残るか、元の式に戻して見ます。余弦の差は、半角に分けた2つの正弦から読み取れます。