高校数学III 正弦の基本極限—弧度法とはさみうちから式の整え方を学ぶ｜武蔵野個別指導塾

単位円の面積比較から負の角まで基本極限を導き、係数の異なる正弦の商を解く道筋から正弦の基本極限を読み解きます。

理系高3が演習ノートで、角度の数字を度数法のまま正弦の基本極限に入れてしまう場面があります。電卓で小さな角を試すときも、角度の単位が違えば商の近づく先は変わります。式の中の角を弧度法で読むこと、その角と分母をそろえることを順番に確かめましょう。数学IIIの極限には関数の値の極限が含まれ、その中で正弦の商を扱います。

どの形に直すか

第一の型は、sin(7x)/x のように分子の角と分母の係数が異なる形です。分母を7xにそろえれば基本形が現れますが、値を変えないように外側に7を残します。角を変える操作と係数を補う操作は一組です。

第二の型は、sin(3x)/sin(5x) のように分母にも正弦がある形です。それぞれを角で割った商に直し、残った角の比も書きます。分母の正弦がゼロでない範囲を確認してから割ることが必要です。

第三の型は、正弦の商に余弦など別の因子が付く形です。正弦の基本極限と余弦の極限を別々に調べ、分母の極限がゼロでないと確かめてから商の極限を使います。どの型も、x = 0を代入して0/0を計算するものではありません。0の近くの、式が定義される点で値を追います。

単位円で角と長さをつなぐ

角を弧度法で表すとは、半径1の円で中心角に対応する弧の長さを、その角の大きさとすることです。例えば半回転はπ、直角はπ/2です。以下の三角関数の角は弧度法で表します。単位を省いたxを度数と読み替えることはできません。

0 < x < π/2とし、単位円の中心をO、点Aを(1, 0)、中心角AOPがxとなる円周上の点をP、Aにおける接線と直線OPの交点をTとします。図1のように、三角形OAPは扇形OAPの内側にあり、扇形は三角形OATの内側にあります。面積を比べると、次の不等式を得ます。

(1/2) sin x < x/2 < (1/2) tan x
sin x < x < sin x/cos x
cos x < (sin x)/x < 1

ここではx、sin x、cos xがすべて正なので、割っても不等号の向きは変わりません。中央のx/2は、半径1の扇形の面積が弧度法の角の半分になることから出ます。この箇所に度数法の数値をそのまま入れると、面積の式が成立しません。

図1のPから横軸へ下ろした高さがsin xです。半径1の円の関係から、xが正の側から0へ近づくとcos xは1へ近づきます。実際、0 < x < π/2では0 < 1 − cos x = sin² x/(1 + cos x) < x²なので、はさみうちで確認できます。よって上の不等式の両端は1へ近づき、正の側で (sin x)/x → 1 です。

負の側は別に確かめます。t = -xとおくと、xが負の側から0に近づくときtは正の側から0に近づき、sin(-t) = -sin tより、

(sin x)/x = sin(-t)/(-t)
             = (sin t)/t
             → 1

左右の極限が一致するので、lim[x→0] (sin x)/x = 1です。x = 0では元の商は定義されませんが、それは近くの値が1に近づくという結論を妨げません。cos x → 1も左右で成り立ちます。偶関数の性質cos(-t) = cos tを使えば、正の側の結果を負の側へ移せます。

角が負の場合にも面積の不等式をそのまま書くのではなく、正弦の奇関数の性質を使って正の角の商に戻しました。この手順は、面積という正の量を比較できる範囲と、求めたい左右の極限との橋渡しです。なお、角が0に近づく途中で何度も0を取る式では、商が定義される点を別に調べる必要があります。基本形の記号だけを見て適用せず、角の行き先と分母の条件を確かめます。

基本例題：角に合わせて係数を戻す

次の極限を整数で求めます。角は弧度法です。

lim[x→0] sin(7x)/x

xが0でないとき7xも0ではありません。図2のように、分母を角7xに合わせた後、外に7を掛けて元の式に戻します。

sin(7x)/x = 7・sin(7x)/(7x)
7x → 0
sin(7x)/(7x) → 1
7・sin(7x)/(7x) → 7・1 = 7

答えは7です。置き換えた角をu = 7xとすれば、uは左右から0へ近づきます。元の式に戻して7・sin(7x)/(7x) = sin(7x)/xを確かめると、外の係数が7である理由がはっきりします。分母を7xに書き換えただけでは元の値の1/7になってしまいます。

図2の両端は、xが0でない範囲で等しい式です。極限値が7という結果は、x = 0の商を7と定義したという意味ではありません。定義されない点を除いても、その周囲の値の行き先は決められます。

標準例題：正弦どうしを角の比へ分ける

角を弧度法として、次の極限を分数で求めます。

lim[x→0] sin(3x)/sin(5x)

0 < |x| < π/5なら0 < |5x| < πです。この範囲ではsin(5x)はゼロでないので、元の商が定義されます。またxと3xもゼロでありません。したがって次の変形ができます。

sin(3x)/sin(5x)
= (sin(3x)/(3x))・(3x/(5x))・(5x/sin(5x))
= (sin(3x)/(3x))・(3/5)・(5x/sin(5x))

x → 0のとき3x → 0、5x → 0です。基本極限から最初の因子は1に近づきます。sin(5x)/(5x)も1に近づき、その極限はゼロではないので、逆数5x/sin(5x)も1に近づきます。よって、

lim[x→0] sin(3x)/sin(5x)
= 1・(3/5)・1
= 3/5

3/5が答えです。中間の式を掛け戻すと3xと5xが消え、元のsin(3x)/sin(5x)になります。したがって、残した3/5は余分な係数ではありません。分子と分母の正弦をともにゼロとみて約分するのではなく、それぞれの角との比が1に近づくことを使っています。

分母の正弦に直接基本極限を当てるとき、逆数の向きに注意します。sin(5x)/(5x) → 1から逆数も1へ向かうのは、極限がゼロでないためです。逆数を取ることが常に許されるわけではありません。また角が0へ向かうことが前提なので、角が別の値へ向かう問題にこの形をそのまま使うこともできません。

発展例題：余弦を分けて条件を点検する

角を弧度法として、次の極限を整数で求めます。

lim[x→0] sin(2x)/(x cos x)

0 < |x| < π/2ではxもcos xもゼロではありません。この範囲で角2xを分母に作り、余弦の因子を分離します。

sin(2x)/(x cos x)
= 2・(sin(2x)/(2x))・(1/cos x)
2x → 0
sin(2x)/(2x) → 1
cos x → 1
1/cos x → 1

余弦の極限は1でゼロではないため、逆数の極限を使えます。したがって、

lim[x→0] sin(2x)/(x cos x)
= 2・1・1
= 2

答えは2です。元の式に戻して2・sin(2x)/(2x cos x)を約分するとsin(2x)/(x cos x)です。さらにsin(2x) = 2 sin x cos xを使えば、同じ範囲では元の式が2 sin x/xとなり、独立に2を得ます。cos xによる約分を使う場合も、その値がゼロでない範囲を先に押さえます。

この例では分母にあるcos xを見落とすと、偶然同じ答えになっても理由が不足します。余弦が1に近づくから結果に影響しないのであって、初めから消してよいわけではありません。別の因子に変わったときも通用するよう、各因子の極限を記録しましょう。

誤答を点検する：度と弧度法を混ぜない

「θ度をxと書けば、x → 0でsin(x度)/x → 1」とするのは誤りです。図3のように、x度の角を弧度法の角へ直すとπx/180です。基本極限で角として分母に合わせるのはxではなくπx/180です。

0でないxについて、次のように変形します。

sin(x度)/x
= sin(πx/180)/x
= (π/180)・sin(πx/180)/(πx/180)
→ π/180

図3の換算を済ませた角は0へ近づくので、基本極限の対象にできます。元の分母は度数の数値xのままであるため、換算係数π/180が残ります。弧度法の角を分母に取った場合の極限1と、度数の数値を分母に取った場合の極限π/180は、分母の単位が異なります。

もう一つの失敗は、sin(3x)/sin(5x)で各正弦を無条件に消して1とすることです。それぞれを角で割った商は1へ近づきますが、角の比3/5が残ります。分母がゼロでない近傍を示し、変形後の式を掛け戻して元の式になるか確認すれば、この係数の脱落を見つけられます。

練習：分母の形を読み替える

次の5問では角を弧度法とし、x → 0とします。極限を指定された形で求めてください。いずれも分母がゼロとなる点では元の式を考えず、その近くで調べます。

1. sin(4x)/x を整数で求めます。
2. sin(6x)/(2x) を整数で求めます。
3. sin(8x)/sin(3x) を分数で求めます。
4. sin(5x)/(x cos(2x)) を整数で求めます。
5. x/sin(9x) を分数で求めます。

解答と解き方

1. 0でないxについて、4xも0ではありません。角を4xに合わせます。

sin(4x)/x = 4・sin(4x)/(4x)
4x → 0
sin(4x)/(4x) → 1
lim[x→0] sin(4x)/x = 4

元の分母xへ戻すときに4が必要です。左右のどちらから近づいても4xは0に近づきます。

2. 分母の2xと角6xの比を残します。

sin(6x)/(2x) = 3・sin(6x)/(6x)
6x → 0
sin(6x)/(6x) → 1
lim[x→0] sin(6x)/(2x) = 3

3を掛け戻せば元の分母2xになります。0でないxの近くでの等式です。

3. 0 < |x| < π/3ではsin(3x)はゼロではありません。各角の比を残します。

sin(8x)/sin(3x)
= (sin(8x)/(8x))・(8/3)・(3x/sin(3x))
→ 1・(8/3)・1
= 8/3

逆数のもとのsin(3x)/(3x)は1に近づくので逆数を取れます。3因子を掛け戻すと元の商になり、8/3の向きも確認できます。

4. 0 < |x| < π/4ではcos(2x)はゼロではありません。正弦と余弦を分けます。

sin(5x)/(x cos(2x))
= 5・(sin(5x)/(5x))・(1/cos(2x))
→ 5・1・1
= 5

2x → 0なのでcos(2x) → 1です。変形を掛け戻せば与えられた商に戻ります。

5. 0 < |x| < π/9ではsin(9x)はゼロではありません。逆数を取る前の極限も書きます。

x/sin(9x) = (1/9)・(9x/sin(9x))
sin(9x)/(9x) → 1
9x/sin(9x) → 1
lim[x→0] x/sin(9x) = 1/9

分母と分子を掛け戻すと元のx/sin(9x)です。9ではなく1/9になるのは、基本形が逆数になっているためです。

手元に残す要点

• 基本極限の角は弧度法で、正と負の両側を調べます。
• 正弦の角と分母をそろえたら、外の係数で元の式に戻します。
• 分母の因子がゼロでない近傍と、その極限を確かめます。
• 0での未定義と、その近くでの極限は別の事柄です。

途中式のどこを見るか

答えが合わないときは、まず分母を角に合わせた行を見直します。例えば分母に係数を加えたのに外側に補う係数がなければ、等号の両辺は一致しません。掛け戻して元の分母になるかを確認すると、暗算で落とした係数を探せます。

個別指導では、角度の単位を書いた行、割った因子がゼロでない範囲、逆数を取る前の極限を順に確かめます。正の側だけで止まっている場合は、負の角を正の角に直す式を書き足します。単位と係数を残した等式が、正弦の極限を支えます。