中学受験算数 三角形の面積—底辺に垂直な高さを見つけ外側にも線を引く｜武蔵野個別指導塾

斜めの辺と高さを見分け、外側に垂線を引く例や逆算で読み解くのは三角形の面積です。

よくあるのは、三角形の斜めの辺を高さとして掛けてしまう場面です。底辺の近くに書かれた長さでも、底辺と直角に交わるとは限りません。どの辺を底辺に選び、その辺に対する高さをどこからどこまで測るかを、一組ずつ確かめます。

三角形の面積は「底辺 × 高さ ÷ 2」で求めます。この式を使う前に、高さの線が図の中にあるか、外へ延ばした底辺に届くかを見ます。面積が先に与えられたときも、同じ組を使って長さを逆算できます。

どんな問いで底辺を選ぶか

ひとつ目は、底辺と高さの候補が複数書かれ、その中から組を選んで面積を求める問題です。三角形の3辺はどれも底辺に選べますが、選んだ辺ごとに高さは変わります。数字を2つ見つけて掛けるのではなく、選んだ底辺と向かいの頂点を結ぶ垂直な長さを探します。

ふたつ目は、頂点から下ろした垂線が辺の外側に落ちる問題です。高さが三角形の内部に見えなくても、底辺をまっすぐ延ばせば測れます。延ばした部分を底辺の長さに加えるのではなく、もとの辺の長さと垂直な距離を組にします。

みっつ目は、面積と底辺が与えられ、高さを求める問題です。まず面積を2倍すると、底辺と高さを掛けた値に戻ります。それを底辺で割れば高さが出ます。逆に面積と高さから底辺を求めるときも、2倍してから高さで割ります。

いずれの型でも、先に式を書くより、底辺に印を付けて向かいの頂点を指すと条件を整理しやすくなります。長さの単位と面積の単位も区別して読みましょう。

底辺と高さは一組で考える

図1の三角形ABCでは、辺BCを底辺に選びます。AからBCに垂直な線を引き、交わる点をHとすると、AHが高さです。直角の印は、底辺と高さが90度で交わることを示しています。

図1のAHは斜めの辺ABやACと別の線です。高さは、頂点から底辺を含む直線までの垂直な距離なので、図の上下方向の長さという意味ではありません。紙を回しても、底辺と高さが直角に交わる関係は変わりません。

辺ABを底辺に選ぶ場合は、向かいの頂点CからABを含む直線に垂線を引き直します。BCを底辺にしたときのAHを、そのままABの高さとして使ってはいけません。底辺を変えれば高さも対応するものに変わりますが、同じ三角形の面積は変わりません。

公式の÷ 2はどこから来るのでしょうか。元の三角形と形も大きさも同じ三角形をもう1枚用意し、一方を半回転させて対応する辺で合わせると、元の底辺と高さを持つ平行四辺形になります。その面積は底辺 × 高さですから、三角形1枚の面積はその半分です。底辺の長さと垂直な高さが必要なのは、この平行四辺形の面積を考えるためです。

直角三角形では、直角をはさむ2辺を底辺と高さにできます。斜めの辺を底辺にしたい場合には、残りの頂点からその辺へ別の垂線が必要です。直角をはさむ辺の長さがわかっているなら、その2辺を選ぶと計算しやすくなります。

基本例題：底辺と垂直な線を対応させる

三角形ABCで、BCは8 cm、AからBCに下ろした垂線の足をHとし、AHは6 cmです。BHは3 cmです。三角形ABCの面積を求めましょう。図2はこの条件を表しています。

図2では、底辺BCに対してAHが直角です。BHは底辺の一部であり、Aから底辺までの距離ではありません。まずBCとAHを組にします。

底辺と高さを掛けます。

8 × 6 = 48

この48は、同じ底辺と高さを持つ平行四辺形の面積で、単位はcm²です。三角形はその半分なので、次のように割ります。

48 ÷ 2 = 24

答えは24 cm²です。最後の単位がcmではなくcm²になっているかも確認します。BHの3 cmは、この求め方には必要ありません。問題文にある数を全部使おうとすると、高さではない数を掛けてしまうことがあります。

別の確かめ方として、AHで三角形を2つに分けます。HCは8 − 3 = 5 cmです。左側の面積は3 × 6 ÷ 2 = 9 cm²、右側は5 × 6 ÷ 2 = 15 cm²です。合わせると9 + 15 = 24 cm²で、全体を一度に求めた答えと一致します。

分けた2つの三角形はどちらも高さがAHです。底辺を分けても、同じ垂直な高さを使う点に注意しましょう。BHを高さとして使うのではなく、BHを底辺とした小さい三角形に対してAHを高さと見ることができます。

外にある高さと面積からの逆算

三角形PQRで、QRは10 cmです。QRをQの側へまっすぐ延ばした線上に点Sがあり、S、Q、Rの順に並んでいます。SQは2 cm、PSはQRに垂直で、PSは4 cmです。三角形PQRの面積を求めましょう。

Pから底辺QRを含む直線までの垂直な距離はPSの4 cmです。垂線の足Sは辺QRの外にありますが、高さとして使えます。底辺はQRの10 cmで、延長部分のSQを足した12 cmではありません。三角形PQRの辺として選んだのはQRだからです。

10 × 4 ÷ 2 = 20

答えは20 cm²です。図を描いて確かめるなら、Sから右に2 cmの点をQ、さらに右に10 cmの点をRとし、Sから直角に4 cmの点をPとします。PとQ、PとRを結ぶと、垂線PSが三角形の外にある形になります。

引き算でも確かめられます。大きい三角形PSRは底辺SRが2 + 10 = 12 cm、高さが4 cmなので、12 × 4 ÷ 2 = 24 cm²です。小さい三角形PSQは2 × 4 ÷ 2 = 4 cm²です。大きい三角形から小さい三角形を除くと、24 − 4 = 20 cm²になります。

ここで判断が分かれるのは、垂線の足が辺上か、その延長上かという点です。辺上にあれば内部の線を探し、延長上なら底辺の直線を延ばします。どちらの場合も、頂点からその直線までの垂直な距離が高さです。辺に届かないから高さがない、と考える必要はありません。

次に、別の三角形の面積が35 cm²、底辺が14 cmのとき、高さを求めます。面積を2倍すると底辺 × 高さに戻るため、35 × 2 = 70です。70 ÷ 14 = 5より、高さは5 cmです。14 × 5 ÷ 2 = 35として、元の面積に戻ることも確かめます。

面積を底辺で直接割った35 ÷ 14 = 2.5は、高さの半分です。÷ 2を元に戻す操作が抜けていないかを見直しましょう。逆算では求めるものが長さなので、答えの単位はcmです。

斜めの辺を高さにした誤答を直す

図3の三角形では、底辺が12 cm、底辺に垂直な高さが5 cm、斜めの辺が13 cmです。斜めの辺を高さと取り違えると、12 × 13 ÷ 2 = 78 cm²という誤答になります。13 cmは図に書かれた辺の長さですが、選んだ底辺に直角ではありません。

図3の直角の印に注目すると、12 cmの底辺に垂直なのは5 cmの辺です。正しい組は12 cmと5 cmなので、12 × 5 ÷ 2 = 30 cm²です。13 cmは底辺を別の辺に選ぶときの候補ですが、そのときは対応する別の高さを探さなければなりません。

誤りの原因は、辺の長さを見つけた時点で、どの辺と直角かを確かめず式に入れたことです。直すときは、選んだ底辺を指でなぞり、向かいの頂点からその直線に直角に届く線を探します。直角の印がなければ、問題の条件から垂直といえるかを確認します。見た目が垂直に近いというだけでは決められません。

また、底辺の延長部分を足してしまう場合には、求める三角形の3つの頂点を順になぞります。底辺に選んだ2点の間と、垂線の足まで延ばした部分を分けて見ると、余分な長さを含めずに済みます。線を足す目的は高さを測ることであり、底辺そのものを長くすることではありません。

高さの見つけ方を言葉でたどる

図形が回転していると、紙の上でいちばん低い辺を底辺にしなければならないように見えることがあります。しかし、底辺は自分で選べます。選んだ辺を指で押さえ、その両端ではない頂点を探します。その頂点から底辺を含む直線に直角に線を引いたときの長さが、選んだ底辺に対する高さです。

長さが与えられた線が高さか迷うときは、線の始点と終点も調べましょう。向かいの頂点から始まり、底辺を含む直線に直角に交わっていますか。底辺の端から別の端へ向かう線や、頂点から斜めに引いた線は、この条件を満たすとは限りません。底辺に直角でも、向かいの頂点からの距離でなければ、その三角形の高さとは決められません。

図に数字が足りないときは、わかっている長さが使える底辺を選び直せないか考えます。直角三角形なら、直角をはさむ2辺の長さがわかれば面積を出せます。一方、斜めの辺の長さと別の辺の長さだけがわかっていても、それらが直角と示されていなければ、その2つを底辺と高さとして掛けることはできません。足りない高さを見た目で測ったことにしないで、条件に戻ることが大切です。

高さが外に出る図では、延長線と三角形の辺を同じ線として見失いがちです。底辺の両端に印を付けた後、延長線を細く描くと、計算に使う底辺の範囲を区別できます。垂線の足を結ぶ先として延長線は必要ですが、その長さがそのまま三角形の底辺に加わるわけではありません。

自分で試す4問

それぞれ図を描き、底辺とその高さの組を書き込んでから計算しましょう。長さはcm、面積はcm²で答えます。

1. 三角形DEFの底辺EFは9 cm、DからEFへの高さは8 cmです。面積を求めましょう。
2. 直角三角形GHIは、Gの角が直角で、GHが7 cm、GIが6 cmです。面積を求めましょう。
3. 三角形JKLで、KLは15 cmです。KLをK側へ延ばした線上にMがあり、M、K、Lの順に並びます。MKは3 cm、JMはKLに垂直で、JMは8 cmです。三角形JKLの面積を求めましょう。
4. 三角形の面積は42 cm²、ある底辺に対する高さは7 cmです。その底辺の長さを求めましょう。

答えと途中の考え方

1. EFを底辺にすると、対応する高さは8 cmです。9 × 8 = 72、72 ÷ 2 = 36より、36 cm²です。72 cm²は同じ底辺と高さの平行四辺形の面積なので、半分にします。

2. GHとGIは直角に交わります。GHを底辺に選ぶとGIが高さなので、7 × 6 ÷ 2 = 21より、21 cm²です。GIを底辺に選び直しても、7 cmが高さになり、同じ答えになります。

3. 頂点Jから底辺を含む直線に下ろした垂線はJMです。足MはKLの外側でも、高さは8 cmです。底辺はKLの15 cmなので、15 × 8 ÷ 2 = 60より、60 cm²です。MKの3 cmを底辺に足さないことを確かめます。検算では、MLが3 + 15 = 18 cmなので、大きい三角形は18 × 8 ÷ 2 = 72 cm²、小さい三角形は3 × 8 ÷ 2 = 12 cm²です。72 − 12 = 60 cm²と一致します。

4. 面積を2倍すると、底辺 × 高さになります。42 × 2 = 84、84 ÷ 7 = 12より、底辺は12 cmです。確かめると12 × 7 ÷ 2 = 42 cm²で、条件の面積に戻ります。高さを掛けた後に2で割ることを逆向きにたどっています。

覚えておくこと

• 面積は、選んだ底辺 × その底辺に垂直な高さ ÷ 2です。
• 高さは向かいの頂点から底辺を含む直線まで測ります。
• 垂線の足が辺の外にあるときは、底辺の直線を延ばします。
• 底辺を選び直したら、対応する高さも選び直します。
• 面積から長さを求めるときは、面積を2倍してから対応する長さで割ります。

家で確かめるとき

お子さまが式を立てたら、まず答えの数より先に「この底辺に対する高さはどの線かな」と問い返してみてください。斜めの辺を指した場合は、底辺と直角に交わるかを一緒に見ます。直角がわからないときは、問題文の垂直という条件や図の直角の印に戻ります。

次に、底辺を別の辺に選べるか尋ね、その場合はどの頂点から垂線を引くかをお子さま自身に示してもらいます。外側に足がある図では、底辺を延ばすところまで待ち、必要なら定規で直線を延ばすことを促します。最後に式と単位を本人に確かめてもらいましょう。

底辺と高さを一本ずつ対応させると、外に伸びた線も面積を求める手掛かりになります。