高校数学III 偶数項と奇数項の極限—二つの並びを調べて数列全体の収束を判定する｜武蔵野個別指導塾

符号の交代や文字条件を調べて、数列の行き先を見定める鍵は偶数項と奇数項です。

よくあるのは、理系の高3が演習ノートに偶数番の項を並べ、その値が近づく先を数列全体の極限と決める場面です。途中の計算が正しくても、まだ見ていない奇数番が別の値に近づくかもしれません。どちらも調べた後には、一致が全体の収束を保証する理由まで書けるようにしましょう。ここでは正の整数 n に対する数列を扱い、偶数番と奇数番に分ける方法に絞ります。

どんなときに二つの列を見るか

まず、式に (-1)ⁿ が現れる型です。n が偶数なら 1、奇数なら -1 ですから、符号の交代を解消してからそれぞれの極限を調べます。二つの極限値が異なれば、全体は有限の値に収束しません。片方の計算だけで結論を出さないことが第一歩です。

次に、符号は交代していても、その振れ幅が小さくなる型です。符号が交代するという事実だけでは発散とは決まりません。偶奇の両方が同じ値に近づくかを、分母や係数の変化も含めて調べます。

もう一つは、偶数番と奇数番に別々の式が与えられ、文字の条件を求める型です。各式から得た二つの極限値を等しくする方程式が条件になります。ただし、方程式を解いた後に、実際に両方がその値へ近づくことを元の式で確認します。等式を立てる前に各列の極限が存在するか調べることも欠かせません。

偶数番と奇数番が全体を覆う

数列 a₁, a₂, a₃, … から偶数番だけを順に取り出すと a₂, a₄, a₆, … です。これを a₂ₖ と表します。同じように奇数番は a₁, a₃, a₅, … で、a₂ₖ₋₁ と書けます。どちらも k は 1, 2, 3, … と動きます。a₂ₖ₋₁ の最初が a₁ であることを確認すると、初項の取り落としを防げます。

図1のように、各項は偶数番か奇数番のどちらかに入り、二つを合わせると元の並びを漏れなく覆います。項の値が偶数か奇数かではなく、添字 n の偶奇で分けています。値が分数や負の数でも、添字による分類は同じです。

数列全体が有限の値 L に収束するなら、偶数番も奇数番も L に収束します。全体の項が十分後から L の近くに入るので、そこから選んだ偶数番と奇数番も同じ近くに入るからです。したがって二つが異なる有限値に収束した時点で、全体が有限値に収束する可能性はなくなります。

逆向きも、偶奇の組については成り立ちます。偶数番も奇数番も L に収束するとしましょう。L からの距離として任意に決めた正の幅に対し、偶数番はあるところからその幅内に入り、奇数番もあるところから同じ幅内に入ります。二つの境目のうち大きい方より後を見れば、どの添字も偶数か奇数なので、元の数列の全項がその幅内に入ります。よって全体は L に収束します。

この逆向きには、元の項を二つで残さず覆うことが必要です。また「二つの極限がある」だけでは足りず、有限の同じ値である必要があります。片方の極限が存在しない場合は、全体が有限値に収束することもありません。ここで扱うのは偶奇による分割であり、他の取り出し方を一般に論じる必要はありません。

基本例題：交代する二つの高さ

正の整数 n について aₙ = 2 + (-1)ⁿ とします。数列 aₙ が有限値に収束するか、発散するかを判定し、理由を示してください。

偶数番 n = 2k では、(-1)の偶数乗は 1 です。したがって、各偶数項を順に計算すると次のようになります。

a₂ₖ = 2 + (-1)²ᵏ
     = 2 + 1
     = 3
lim[k→∞] a₂ₖ = 3

奇数番 n = 2k − 1 では、(-1)の奇数乗は -1 です。同様に計算します。

a₂ₖ₋₁ = 2 + (-1)²ᵏ⁻¹
       = 2 - 1
       = 1
lim[k→∞] a₂ₖ₋₁ = 1

図2のように、奇数番の点は高さ 1、偶数番の点は高さ 3 にあります。横軸は添字 n で、整数の位置にのみ項があります。二つの高さは 2 だけ離れ、n を大きくしても差は縮まりません。

偶数項は 3、奇数項は 1 に収束し、値が異なります。全体が有限値 L に収束するなら両方とも L に収束するはずなので、これは矛盾します。したがって数列全体は発散します。無限大へ大きくなるのではなく、1 と 3 の間で交互に振動する発散です。

元の式に戻して初めの項も見ておきます。a₁ = 1、a₂ = 3、a₃ = 1、a₄ = 3 です。偶奇の式と実際の並びが一致します。仮に偶数項だけから 3 を候補にしても、奇数項はいつまでも 1 のままなので、十分後の全項が 3 の近くに入るとは言えません。

標準例題：交代しても振れ幅が縮む

正の整数 n について bₙ = (-1)ⁿ/n とします。数列 bₙ の収束・発散を判定し、収束する場合は極限を整数で求めてください。

偶数項と奇数項を代入し、それぞれ分母も添字に合わせます。

b₂ₖ = (-1)²ᵏ/(2k)
     = 1/(2k)
lim[k→∞] b₂ₖ = 0

b₂ₖ₋₁ = (-1)²ᵏ⁻¹/(2k - 1)
       = -1/(2k - 1)
lim[k→∞] b₂ₖ₋₁ = 0

k は正の整数なので、どちらの分母も正でゼロにはなりません。k が大きくなると両分母は無限に大きくなり、その逆数は 0 に近づきます。偶数項は正の側から、奇数項は負の側から近づきますが、極限値はどちらも 0 です。偶奇で全項を覆うので、求める極限は 0 です。

実際に b₁ = -1、b₂ = 1/2、b₃ = -1/3、b₄ = 1/4 です。符号が入れ替わり続けても、0 からの距離は 1/n で小さくなります。さらに元の式から |bₙ| = 1/n → 0 とも確認できます。符号の交代だけを見て発散と決める誤りと、偶数項だけを見て収束と決める誤りの両方を避けられます。

この例と基本例題の違いは、交代の有無ではなく交代の幅です。基本例題では二つの高さの差が固定され、こちらでは正負の項がともに 0 に近づきます。図や数値を並べるときも、見た目の上下だけでなく、どの値からの距離が縮むかに注目してください。

発展例題：文字を決めて二つの行き先をそろえる

実数 t に対し、正の整数 n で定まる数列 cₙ を次のように定めます。数列が有限値に収束するための t の条件と、そのときの極限を求めてください。極限は整数または分数で答えます。

n が偶数のとき cₙ = (tn + 3)/(n + 1)
n が奇数のとき cₙ = (2n + t)/(n + 2)

どちらの分母も n が正なら正です。各枝をそれぞれの添字に代入してから、分子と分母を添字の大きい量で割ります。

c₂ₖ = (2tk + 3)/(2k + 1)
     = (t + 3/(2k))/(1 + 1/(2k))
lim[k→∞] c₂ₖ = t

c₂ₖ₋₁ = (2(2k - 1) + t)/((2k - 1) + 2)
       = (4k - 2 + t)/(2k + 1)
       = (2 + (t - 2)/(2k))/(1 + 1/(2k))
lim[k→∞] c₂ₖ₋₁ = 2

分母の極限は両方とも 1 でゼロではありません。t は n によらない実数なので、分子の逆数を含む項は 0 に近づきます。全体が収束するなら偶数項と奇数項の極限は一致するため、必要な条件は次の通りです。

t = 2

これで必要性が得られました。十分性を確かめるため、t = 2 を元の二つの式へ戻します。

n が偶数のとき cₙ = (2n + 3)/(n + 1)
                       = 2 + 1/(n + 1)
n が奇数のとき cₙ = (2n + 2)/(n + 2)
                       = 2 - 2/(n + 2)

偶数番も奇数番も 2 に近づき、二つが元の全項を覆います。したがって t = 2 のとき確かに全体は収束し、その極限は 2 です。条件は t = 2、極限は 2 です。例えば元の式で c₁ = 4/3、c₂ = 7/3 となり、初めの偶奇の値は同じでなくても後で同じ値に近づくことが確認できます。

逆に t が 2 以外なら、偶数番の行き先 t と奇数番の行き先 2 が異なるので発散します。ここでの結論は各固定された実数 t についての判定です。t 自身を n とともに動かしてはいません。必要性の方程式を解くだけで止めず、解を戻して十分性まで示すと、条件の抜けを防げます。

誤答を直す：途中の値と行き先を分ける

基本例題で「a₂ = 3 だから、偶数番を見れば極限は 3」と書いたとします。偶数項が 3 である計算は正しくても、全体の結論には奇数項が欠けています。図3の左側だけを根拠に右側を無視すると、1 にとどまる項が無限に現れることを見落とします。

図3のように奇数項も確かめると、二つの行き先は 3 と 1 です。全体が収束するなら両者は一致する必要があるため、正しい判定は発散です。「偶数項の極限は 3」と「数列全体の極限は 3」は別の主張です。添字の条件を結論にも残して書くと、途中で対象がすり替わりません。

別の誤りは、二つの列の途中の値が違うことだけを根拠に発散とすることです。標準例題では b₁ と b₂ は異なりますが、両方の行き先は 0 です。比較すべきなのは同じ k における値の一致ではなく、それぞれ k → ∞ としたときの極限の一致です。

さらに、偶数項と奇数項の差が 0 に近づくことだけで全体の収束を結論するのも不十分です。例えば d₂ₖ = k、d₂ₖ₋₁ = k + 1/k では差は 0 に近づきますが、どちらも大きくなり、有限値に収束しません。差に加えて片方が有限値 L に収束すると示せれば、もう片方も L に近づきます。その後に偶奇で全体を覆うことを使います。

練習：行き先を自分で比べる

次の数列は、いずれも n を正の整数とします。各問で収束・発散を判定し、有限値に収束する場合は極限を整数または分数で求めてください。文字は n によらない実数です。

1. pₙ = 5 + 2(-1)ⁿ。
2. qₙ = 4 + (-1)ⁿ/(n + 2)。
3. r₂ₖ = (3k + 1)/(k + 2)、r₂ₖ₋₁ = (6k − 1)/(2k + 1)。
4. s₂ₖ = (uk + 1)/(k + 1)、s₂ₖ₋₁ = (4k + u)/(2k + 3)。収束するための u の条件とそのときの極限を求めます。
5. v₂ₖ = 2 + 1/k、v₂ₖ₋₁ = 2 + (-1)ᵏ。偶数項と奇数項をそれぞれ調べてから判定します。

練習の答えと考え方

1. 偶数番は 7、奇数番は 3 です。

p₂ₖ = 5 + 2 = 7
p₂ₖ₋₁ = 5 - 2 = 3

極限値が異なるので発散します。元の式でも p₁ = 3、p₂ = 7 で、二つの値の交代が確かめられます。

2. 偶数番と奇数番を代入します。

q₂ₖ = 4 + 1/(2k + 2) → 4
q₂ₖ₋₁ = 4 - 1/(2k + 1) → 4

両方の分母は正で、無限に大きくなります。両列は同じ 4 に収束し、偶奇が全項を覆うので、全体の極限も 4 です。元の式で q₁ = 11/3、q₂ = 17/4 となり、それぞれ 4 の下側と上側です。

3. 分子と分母を k で割ります。

r₂ₖ = (3 + 1/k)/(1 + 2/k) → 3
r₂ₖ₋₁ = (6 - 1/k)/(2 + 1/k) → 3

分母の極限は 1 と 2 で、どちらもゼロではありません。したがって全体は 3 に収束します。元の式に k = 1 を戻すと r₂ = 4/3、r₁ = 5/3 です。初めの値が異なることは、行き先が一致することと矛盾しません。

4. 各枝の極限は次の通りです。

s₂ₖ = (u + 1/k)/(1 + 1/k) → u
s₂ₖ₋₁ = (4 + u/k)/(2 + 3/k) → 2

必要な条件は u = 2 です。元の式に戻すと、偶数番は (2k + 1)/(k + 1)、奇数番は (4k + 2)/(2k + 3) で、どちらも 2 に近づきます。よって u = 2 が十分でもあり、そのときの極限は 2 です。それ以外では二つの有限極限が異なるため発散します。

5. 偶数番は 2 + 1/k → 2 です。一方、奇数番の中でも k の偶奇により次のように値が分かれます。

k が偶数のとき v₂ₖ₋₁ = 3
k が奇数のとき v₂ₖ₋₁ = 1

どちらの k も限りなく大きくできるので、奇数番は有限値に収束しません。全体が収束すれば奇数番も収束するはずですから、全体は発散します。元の式では v₁ = 1、v₃ = 3、v₅ = 1 となり、奇数番の中に交代が残ることを確認できます。

覚えておくこと

偶数番と奇数番は元の全項を覆います。
全体が有限値 L に収束すれば、両方とも L に収束します。
両方が同じ有限値 L に収束すれば、全体も L に収束します。
極限値が異なる場合や片方が収束しない場合、全体は有限値に収束しません。

ノートのどこを確かめるか

偶数番の計算だけで止まる場合は、n = 2k − 1 の代入欄を作り、符号と分母の両方が変わるかを確認します。符号を変えたのに分母を n のまま残すと、別の添字を混ぜた式になりがちです。文字条件では、両方の極限を別行に書き、その等式が必要な理由と代入後の十分性を分けて説明します。

個別指導で途中式を見るなら、初項がどちらの枝に属するか、各分母がゼロでないか、二つの並びを合わせて全項を覆うことを書けているかを確かめます。正負が交代する列では、符号と 0 からの距離を別々に読み取ります。偶奇の二つの行き先を比べると、収束の結論に必要な根拠がそろいます。