高校数学III 数列のはさみうち—評価する式の選び方から極限の根拠を組み立てる｜武蔵野個別指導塾

逆数の不等号、和の上下評価、二項定理を使う例から、極限を支える数列のはさみうちを追います。

よくあるのは、理系の高3が演習ノートで分母の大小を比べ、逆数にしても不等号を変えないまま和を評価する場面です。分母が大きいほど正の逆数は小さくなります。向きを一度誤ると、後の計算が整っていても結論を支えられません。各項を比べる範囲と符号を先に書き、上下から近づける道筋を作りましょう。

どんな式を両側から見るか

数列のはさみうちは、求めたい項の正確な値を計算しにくいときに役立ちます。まず、振動する部分が有界な型です。例えば余弦の値は常に-1以上1以下ですが、その値自体は定まった数に近づくとは限りません。それでも、絶対値を小さくなる数で押さえれば積全体の極限を決められます。

次に、項数が増える和の型です。各項が小さくなるだけでは和の極限は決まりません。項数を掛けた上下の評価を作り、その両方が同じ値に向かうか調べます。分母に添字があるときは、添字の最小値と最大値から分母を挟み、正の逆数では不等号を反転します。

もう1つは、指数を含む数列の型です。大きくなる分母を下から評価すれば、正の分数を上から押さえられます。二項定理では、必要な項を残して他の非負の項を捨てると下からの評価が得られます。学習指導要領の数学IIIの極限には、数列の極限、無限級数、関数の値の極限が含まれます。ここでは数列の評価に絞ります。

はさむ前に条件を置く

数列 aₙ、bₙ、cₙ について、ある番号以降ずっと aₙ ≤ bₙ ≤ cₙ が成り立ち、aₙ と cₙ の極限が同じ有限値 L なら、bₙ も L に収束します。最初の有限個の項で不等式が成立しなくても、十分大きい番号から成立していれば結論は変わりません。ただし、上下の極限が異なる場合には、この定理だけでは中の数列の極限は決まりません。

図1のように、下からの境界と上からの境界が同じ L に近づくことが要点です。境界の間隔が狭いだけでは不十分です。境界がともに同じ有限値に近づくことも確認します。例えば n と n+1/n の差は0に近づきますが、どちらも有限値には近づきません。

絶対値を使う場合、0 ≤ |bₙ-L| ≤ dₙ かつ dₙ → 0 なら、-dₙ ≤ bₙ-L ≤ dₙ です。両側が0に近づくので bₙ → L と結論できます。こちらは誤差の大きさだけを評価する方法で、符号が変わる項に便利です。図1の上下の境界に、それぞれ L-dₙ と L+dₙ を置いた場合に当たります。

正の数 0 < p ≤ q なら、両辺を正の pq で割って 1/q ≤ 1/p です。負の数や0を含む場合には、この操作をそのまま使えません。和を評価するときは、まず各分母が正であること、次に添字の範囲、最後に項数を点検します。

評価を選ぶ際には、まず欲しい極限値を推測し、その値との差を見ると整理しやすくなります。ただし推測だけを根拠にはしません。差の絶対値を計算しやすい数で上から押さえ、その上限が0に向かうことを示して初めて結論が得られます。推測した値が違えば、差の評価は0に近づかないか、不等式そのものが成立しないはずです。

和の評価では、各項で使う同じ境界を探します。最小の分母に対応する逆数は各項の上限、最大の分母に対応する逆数は各項の下限です。添字が両端を含むかも確認します。和の添字が1からnまでなら項数はnですが、0からnまでならn+1です。境界が正しくても項数を取り違えれば、和の評価は元の式と対応しません。

はさみうちが使えない状況も区別します。例えば下限が0、上限が2に近づくという情報から、中の数列が1に近づくとも収束するとも断定できません。上下の間に収まっていても、その内部で振動し続ける可能性があるためです。この場合はより鋭い評価を探すか、別の方法に切り替えます。不等式の成立と両端の極限の一致は、別々に点検する条件です。

基本例題：振動を絶対値で包む

正の整数 n に対し aₙ = cos n/n とします。n → ∞ の極限を求め、整数で答えてください。角は弧度法で表します。

余弦の値の範囲と n > 0 から、各行が成り立ちます。

-1 ≤ cos n ≤ 1
-1/n ≤ cos n/n ≤ 1/n
lim[n→∞] (-1/n) = 0
lim[n→∞] (1/n) = 0
lim[n→∞] cos n/n = 0

図2のように、余弦が正負のどちらでも、項は -1/n と 1/n の間にあります。上下の境界はともに0へ近づくため、余弦自体の極限を求める必要はありません。nが正なので割る際に不等号の向きも変わりません。

同じことを絶対値で書くと、0 ≤ |cos n/n| ≤ 1/n です。これは各項の0からの距離が高々1/nであることを表します。例えば n = 1 で評価の幅は広いものの、番号が大きくなるにつれ幅は小さくなります。個々の余弦の値を推測して0と置き換えることとは異なります。

また、cos nが常に正だと仮定してはいけません。下側の境界を0にすると負の項を含められないからです。実際に負の値が生じる場合でも、絶対値の評価は符号に依存せず成立します。求めた0を元の式に戻す確認として、項の大きさがどの番号でも1/n以下であることを確認します。

標準例題：増える項数も評価に含める

正の整数 n に対し Sₙ = Σ[k=1..n] 1/(n²+k) とします。n → ∞ の極限を整数で求めてください。

添字は 1 ≤ k ≤ n なので、各分母は正です。まず分母を比べ、それから逆数の向きを変えます。

n²+1 ≤ n²+k ≤ n²+n
1/(n²+n) ≤ 1/(n²+k) ≤ 1/(n²+1)
n/(n²+n) ≤ Sₙ ≤ n/(n²+1)
1/(n+1) ≤ Sₙ ≤ 1/(n+1/n)

和には n 項あります。各項の下限と上限をそれぞれ n 回足したのが3行目です。両端の分母は無限大に向かうので、両端の極限は0です。したがって、はさみうちにより Sₙ → 0 です。

この問題では、各項が0に近づくことだけを述べても不十分です。例えば n 項のそれぞれが 1/n の和は常に1です。各項の大きさと項数を同時に扱えば、この違いが見えます。元の和に戻ると、n = 1 では S₁ = 1/2 で、上下の評価もともに1/2です。端の値も含めて不等号が正しいことを確かめられます。

下側の評価を省いても、各項が正なので 0 ≤ Sₙ ≤ n/(n²+1) とすれば十分です。ただし両側の評価を作る練習には、分母の最大と最小の両方を使う方法が役立ちます。どちらの方法でも、和にする前に各項の不等式が成立していることが必要です。

発展例題：分母の増え方を下から押さえる

正の整数 n に対し bₙ = n/3ⁿ とします。二項定理を使って n → ∞ の極限を求め、整数で答えてください。

3ⁿ = (1+2)のn乗です。n ≥ 2 では二項展開の各項が非負なので、2次の項を残すと次のようになります。

3ⁿ ≥ n(n-1)・2²/2
3ⁿ ≥ 2n(n-1)
0 < n/3ⁿ ≤ n/{2n(n-1)}
0 < n/3ⁿ ≤ 1/{2(n-1)}
lim[n→∞] 1/{2(n-1)} = 0
lim[n→∞] n/3ⁿ = 0

2次の項の係数は n(n-1)/2 です。分母の下限が正であるため、逆数にすると上限に変わります。n = 1 はこの評価の分母を0にするので対象から外しますが、極限の判定には影響しません。元の数列に戻すと b₁ = 1/3、b₂ = 2/9 で、n = 2 の上限は1/2です。少なくとも評価を始めた端の項で向きが合っています。

1次の項だけを使うと 3ⁿ ≥ 2n から bₙ ≤ 1/2 です。これは有界であることは示しますが、上限が0へ近づかないので極限を決められません。必要なのは単に大きい分母を見つけることではなく、分子の n で割った後にも0へ向かう評価を選ぶことです。2次の項を選ぶと約分後に n-1 が分母に残ります。

逆数で向きを失ったら

標準例題で、n²+1 ≤ n²+k から 1/(n²+1) ≤ 1/(n²+k) と書くのは誤りです。例えば n = 3、k = 2 では分母は10と11で、1/10 は 1/11 より大きいからです。正の数では、分母が大きいほど逆数が小さくなります。

図3のように、分母の順序と逆数の順序を別々に書くと反転を確認できます。正しい修正は 1/(n²+k) ≤ 1/(n²+1) です。さらに k ≤ n から得るもう一方の境界も組み合わせれば、和全体の上下評価に進めます。

別の失敗は、正しく上から押さえても、その上限の極限を見ずに結論を出すことです。発展例題の 1/2 はその例です。また、分母が0になりうる番号を黙って約分すると、式が定義されない場合を見落とします。評価を使う番号を明記し、その範囲で正値を確認してから逆数を取ります。

練習問題

いずれも n は正の整数です。各極限を求め、整数または既約分数で答えてください。評価に使う不等式も示します。

1. aₙ = sin(2n)/(n+2) の極限。
2. bₙ = (5n + cos n)/n の極限。
3. cₙ = Σ[k=1..n] 1/(2n²+k) の極限。
4. dₙ = Σ[k=1..n] n/(3n²+k) の極限。
5. eₙ = n/4ⁿ の極限。二項定理を使って評価してください。

解答と考え方

1. 正弦の値は-1以上1以下で、n+2 > 0です。

-1/(n+2) ≤ sin(2n)/(n+2) ≤ 1/(n+2)
lim[n→∞] (-1/(n+2)) = 0
lim[n→∞] 1/(n+2) = 0
lim[n→∞] aₙ = 0

元の式の絶対値も1/(n+2)以下なので、符号が変化しても答えは0です。

2. 定数と誤差を分けます。

bₙ = 5 + cos n/n
-1/n ≤ cos n/n ≤ 1/n
5-1/n ≤ bₙ ≤ 5+1/n
lim[n→∞] bₙ = 5

元の分子の 5n を n で割ると5で、残りは絶対値が1/n以下です。したがって答えは5です。

3. 各分母は正で、2n²+1以上、2n²+n以下です。

1/(2n²+n) ≤ 1/(2n²+k) ≤ 1/(2n²+1)
1/(2n+1) ≤ cₙ ≤ n/(2n²+1)
lim[n→∞] 1/(2n+1) = 0
lim[n→∞] n/(2n²+1) = 0
lim[n→∞] cₙ = 0

n項を足した上限まで0に近づくため、元の和の答えも0です。

4. 各分母は正なので、逆数の順序を反転してから n を掛けます。

3n²+1 ≤ 3n²+k ≤ 3n²+n
n/(3n²+n) ≤ n/(3n²+k) ≤ n/(3n²+1)
n²/(3n²+n) ≤ dₙ ≤ n²/(3n²+1)
1/(3+1/n) ≤ dₙ ≤ 1/(3+1/n²)
lim[n→∞] dₙ = 1/3

両端は1/3へ近づきます。元の和は n 項で、各項の分子が n であることも評価に反映されています。答えは1/3です。

5. n ≥ 2 で、4ⁿ = (1+3)のn乗を展開します。

4ⁿ ≥ 9n(n-1)/2
0 < n/4ⁿ ≤ 2/{9(n-1)}
lim[n→∞] 2/{9(n-1)} = 0
lim[n→∞] eₙ = 0

元の分母は常に正です。n = 2 でも 2/16 ≤ 2/9 が成り立ち、評価の出発点を確認できます。答えは0です。

手元に残す要点

• はさむ不等式は、十分大きい番号から成立させます。
• 両端が同じ有限値に近づくことを確認します。
• 正の数の逆数では大小が反転します。
• 和では各項の評価に項数を掛けます。
• 二項定理では、約分後に0へ向かう項を選びます。

途中式からつまずきを見分ける

個別指導で確認したいのは、答えの数字より、その直前の不等式がどこから来たかです。例えば分母の評価から逆数へ移る行で向きが同じなら、具体的な正の分数を2つ並べて大小を確かめます。和の評価で項数が消えていたら、有限個の項を書き出して同じ上限を何回足したか数えます。

上下の極限が違うときは、計算を続けてもその評価だけでは結論が出ないと判断できるかを見ます。二項定理では、残した項が非負である理由と、約分後に上限が0に向かうかを別々に説明します。境界の向きと近づく先を揃えることで、はさみうちは結論の根拠になります。評価の範囲を書き添える習慣が、式の安全な変形を支えます。