高校数学A 一次不定方程式の一般解—一組の解との差から整数解を漏れなく表す｜武蔵野個別指導塾

一組の解からの差と係数の最大公約数に注目し、追加条件まで扱います。焦点は一般解です。

よくあるのは、整数の方程式を解く高校生が、x に整数の文字を1つ、y に別の整数の文字を1つ付けて答えようとする場面です。それぞれを自由に動かせるように見えますが、x を動かすと左辺の値が変わるため、y も決まった量だけ動かさなければなりません。2つの動きを結ぶと、1組の解からほかの解へ移る道筋が見えてきます。

ここで扱う係数 a, b は正整数、右辺 c は整数、未知数 x, y は0と負の数も含む整数です。数学Aの「数学と人間の活動」で扱う整数の約数や倍数、互除法を準備として使い、解の存在判定や特殊解の探し方は必要なところに絞ります。

どんな答えを求められるか

一次不定方程式 ax + by = c の整数解とは、この等式を満たす整数の組 (x, y) です。1組見つける問題と、整数解をすべて表す問題では、答えに必要なことが違います。後者では、書いた組がどれも解であることに加えて、書いた形から外れる解がないことも示します。

出方の1つは、解を1組与えられ、そこから一般解を導く型です。もう1つは、係数に共通の約数がある式を整理して、一般解を求める型です。さらに、得られた一般解に別の割り切れる条件を重ね、パラメータを絞る問題もあります。どの型でも、まず何を整数として動かすのかを明らかにします。

右辺が係数の最大公約数で割り切れなければ、整数解はありません。反対に割り切れる場合は、互除法の逆算で最大公約数を係数の整数倍の和に表し、その式を適切に倍すれば1組の解を作れます。ここでは解の存在の証明を広げず、解があるときに全解を表す理由へ進みます。

一組の解との差に注目する

まず a と b の最大公約数を g とし、a = gA、b = gB と置きます。a, b は正なので g, A, B も正整数で、A と B は互いに素です。互いに素とは、最大公約数が1であるという意味です。両方が素数である必要はありません。

(x₀, y₀) を元の式の整数解とします。別の任意の整数解を (x, y) とすると、2つの等式を引くことで右辺が消えます。g は0でないので、次のように割れます。

ax + by = c
ax₀ + by₀ = c
a(x - x₀) + b(y - y₀) = 0
A(x - x₀) + B(y - y₀) = 0
A(x - x₀) = -B(y - y₀)

右辺は B の倍数なので、左辺も B の倍数です。A と B が互いに素であることから、x − x₀ は B の倍数です。この性質を使う条件を確認しておくと、A と B に共通因子が残ったまま同じ結論を出す誤りを避けられます。

この割り切れる関係は、互いに素な A, B について整数 u, v が Au + Bv = 1 を満たすことからも説明できます。B が A(x − x₀) を割るなら、B はその整数倍 uA(x − x₀) と、明らかに B の倍数である vB(x − x₀) の和を割ります。その和は x − x₀ です。

そこで整数 t を使って x − x₀ = Bt と置きます。先ほどの差の式へ代入し、B が正であることを使って整理します。

A・Bt = -B(y - y₀)
At = -(y - y₀)
y - y₀ = -At
x = x₀ + Bt
y = y₀ - At

図1のように、x の変化量は B 倍、y の変化量は -A 倍で、どちらも同じ t から決まります。t を1増やすと x は B 増え、y は A 減ります。aB と bA はともに gAB なので、その増減による左辺の変化は打ち消し合います。

一般解は、t を任意の整数として x = x₀ + (b/g)t、y = y₀ − (a/g)t と表せます。上の導出は任意の解から始めているので、どの解もこの形に入ります。逆にこの形の任意の組を元の左辺に代入すると、増えた分と減った分が相殺され、右辺 c に戻ります。この両方向を確かめて、初めて漏れのない答えになります。

基本例題：差を1つの文字で表す

問題：x, y は0を含む整数とします。7x + 9y = 5 の整数解を、任意の整数 t を用いてすべて表してください。

まず (x, y) = (2, -1) は解です。実際に 7・2 + 9・(-1) = 14 − 9 = 5 となります。7 と 9 は互いに素ですから、この1組と任意の解との差を取ります。

7x + 9y = 5
7・2 + 9・(-1) = 5
7(x - 2) + 9(y + 1) = 0
7(x - 2) = -9(y + 1)

右辺は9の倍数です。7 と 9 は互いに素なので x − 2 は9の倍数であり、整数 t を使って x − 2 = 9t と置けます。差の式へ戻すと、もう片方も同じ t で決まります。

7・9t = -9(y + 1)
7t = -(y + 1)
y + 1 = -7t
x = 2 + 9t
y = -1 - 7t

答えは (x, y) = (2 + 9t, -1 − 7t)、t は任意の整数です。図2のように t を1増やすと、7x の増加分63と9yの減少分63が釣り合います。たとえば t = 1 では (11, -8) になり、7・11 + 9・(-8) = 77 − 72 = 5 です。負の値も、この問題では整数解に含みます。

任意の整数 t で代入すると、7(2 + 9t) + 9(-1 − 7t) = 5 + 63t − 63t = 5 です。一方、差の式から任意の解がこの形に入ることも示しました。1組を代入する確認は計算間違いを見つけるのに役立ちますが、全解を尽くした根拠は差の議論にあります。

標準例題：係数の共通因子を先に外す

問題：x, y は0を含む整数とします。39x + 65y = 117 の整数解を、任意の整数 t を用いてすべて表してください。

39 = 13・3、65 = 13・5 なので、係数の最大公約数は13です。右辺も 117 = 13・9 と割り切れるため、両辺を13で割れます。割る前と後で同じ整数の組が等式を満たすことに注意します。

39x + 65y = 117
13(3x + 5y) = 13・9
3x + 5y = 9

整理後の係数3と5は互いに素です。まず x = 3、y = 0 を入れると 3・3 + 5・0 = 9 なので、(3, 0) は1組の解です。任意の解との差を取ります。

3x + 5y = 9
3・3 + 5・0 = 9
3(x - 3) + 5y = 0
3(x - 3) = -5y

3と5は互いに素なので x − 3 は5の倍数です。整数 t を用いて x − 3 = 5t と置き、差の式に戻します。

3・5t = -5y
3t = -y
x = 3 + 5t
y = -3t

したがって答えは (x, y) = (3 + 5t, -3t)、t は任意の整数です。元の式では 39(3 + 5t) + 65(-3t) = 117 + 195t − 195t = 117 です。たとえば t = -1 のとき (-2, 3) となり、39・(-2) + 65・3 = -78 + 195 = 117 と元の条件に戻ります。

ここで x の増分を65、y の減分を39とする形も、代入すれば確かに解を与えます。しかしそれは t を13の倍数に限定した分だけです。たとえば (8, -3) は元の式を満たしますが、x が3から65の倍数だけ変わる形には入りません。最大公約数で割った後の係数を使うことが、解を飛ばさないために必要です。

発展例題：一般解に別の条件を重ねる

問題：x, y は0を含む整数とします。31x + 37y = 44 を満たし、さらに x + y が7の倍数となる整数解を、任意の整数 s を用いてすべて表してください。

31と37は互いに素です。実際に 37 − 31 = 6、31 = 6・5 + 1 とたどると、共通の約数は1を割ります。まず (5, -3) を試すと、31・5 + 37・(-3) = 155 − 111 = 44 となり、元の式の1組の解です。

任意の解との差から、31(x − 5) = -37(y + 3) です。31と37は互いに素なので、整数 t により x − 5 = 37t と置けます。このとき y + 3 = -31t です。

x = 5 + 37t
y = -3 - 31t
x + y = 2 + 6t

ここで t は任意の整数です。追加条件は、整数 k を用いて 2 + 6t = 7k と書けます。6t = 7t − t を使うと、7t + 2 − t が7の倍数なので、2 − t も7の倍数です。逆に 2 − t が7の倍数なら、7t + 2 − t も7の倍数です。よって条件は t = 2 + 7s、s は任意の整数、と言い換えられます。

x = 5 + 37(2 + 7s)
x = 79 + 259s
y = -3 - 31(2 + 7s)
y = -65 - 217s

答えは (x, y) = (79 + 259s, -65 − 217s)、s は任意の整数です。元の式では定数部分が 31・79 + 37・(-65) = 2449 − 2405 = 44、s の係数は 31・259 − 37・217 = 8029 − 8029 = 0 です。また x + y = 14 + 42s = 7(2 + 6s) なので追加条件も満たします。逆に条件を満たす任意の解の t は上で得た形に限られるため、答えに漏れはありません。

初めから x と y を独立に探して7の倍数条件を重ねるより、元の式を満たす組を1つの文字で表してから条件を移すと、どの組が残るか追いやすくなります。条件を掛ける順番を間違えると、元の式を満たさない組が混ざることもあります。

別々の文字を付けた誤答を直す

基本例題の (2, -1) から、誤って x = 2 + 9u、y = -1 − 7v とし、u, v をそれぞれ任意の整数としたとします。u = v の場合は元の式を満たしますが、独立に選ぶとそうとは限りません。図3では u = 1、v = 0 を選び、x だけが変わる場合を示しています。

この選び方では (x, y) = (11, -1) です。元の左辺は 7・11 + 9・(-1) = 77 − 9 = 68 となり、右辺の5に戻りません。一般の u, v を代入しても、左辺は 5 + 63(u − v) です。これが5になるには u = v が必要なので、2文字を自由に選ぶ答えは解以外を含みます。

修正するときは、x と y の変化を同時に記録し、同じ整数 t を用いて (2 + 9t, -1 − 7t) と書きます。符号を逆にして両方を増やす誤りも、代入したとき変化量が打ち消し合うかを見れば発見できます。もう1つの落とし穴は、整数 t を0以上に限ってしまうことです。問題が負を除いていないなら、負の t に対応する解も残します。

練習：自分で差の式を作る

各問の x, y は0と負の数を含む整数です。一般解を求めるとき、指定された文字は任意の整数として答えてください。

1. 5x + 8y = 3 の整数解を、整数 t を用いてすべて表してください。
2. 49x + 63y = 77 の整数解を、整数 t を用いてすべて表してください。
3. 49x + 77y = 5 の整数解があるか判定し、理由を述べてください。
4. 43x + 53y = 61 を満たし、x − y が5の倍数となる整数解を、整数 s を用いてすべて表してください。
5. 43x + 59y = 0 の整数解を、整数 t を用いてすべて表してください。

練習の解答と確かめ

1

5 と 8 は互いに素で、(-1, 1) は 5・(-1) + 8・1 = 3 を満たします。任意の解との差を取ります。

5(x + 1) + 8(y - 1) = 0
5(x + 1) = -8(y - 1)
x + 1 = 8t
y - 1 = -5t

よって (x, y) = (-1 + 8t, 1 − 5t)、t は任意の整数です。互いに素なので x + 1 は8の倍数で、すべての解がこの形に入ります。代入すると 5(-1 + 8t) + 8(1 − 5t) = 3 となり、元の条件も満たします。

2

49 と 63 の最大公約数は7で、77も7の倍数です。両辺を7で割ると 7x + 9y = 11 です。(-1, 2) は 7・(-1) + 9・2 = 11 を満たします。

7(x + 1) + 9(y - 2) = 0
7(x + 1) = -9(y - 2)
x + 1 = 9t
y - 2 = -7t

7と9は互いに素ですから、答えは (x, y) = (-1 + 9t, 2 − 7t)、t は任意の整数です。元の条件へ戻すと 49(-1 + 9t) + 63(2 − 7t) = -49 + 126 + 441t − 441t = 77 です。逆向きも差の式から尽くされています。

3

49 = 7・7、77 = 7・11 なので、左辺は整数 x, y のどの組に対しても7の倍数です。ところが5は7の倍数ではありません。したがって整数解はありません。たとえば両辺を7で割っても右辺が整数にならず、解の1組を仮定して一般解を作る段階へ進めないとわかります。

4

43と53は互いに素で、(-22, 19) は 43・(-22) + 53・19 = -946 + 1007 = 61 を満たします。任意の解との差を取り、1つの整数 t で表します。

43(x + 22) = -53(y - 19)
x + 22 = 53t
y - 19 = -43t
x - y = -41 + 96t

x − y が5の倍数であることは、-41 + 96t = 5(19t − 8) + (t − 1) より、t − 1 が5の倍数であることと同値です。t = 1 + 5s として代入します。

x = -22 + 53(1 + 5s)
x = 31 + 265s
y = 19 - 43(1 + 5s)
y = -24 - 215s

答えは (x, y) = (31 + 265s, -24 − 215s)、s は任意の整数です。43・31 + 53・(-24) = 1333 − 1272 = 61、43・265 − 53・215 = 11395 − 11395 = 0 です。さらに x − y = 55 + 480s = 5(11 + 96s) と、追加条件にも戻ります。条件の言い換えは同値なので、候補を落としていません。

5

43と59は互いに素で、(0, 0) が1組の解です。任意の解について 43x = -59y なので、x は59の倍数です。整数 t を用いて x = 59t と置けば、y = -43t を得ます。

43・59t = -59y
43t = -y
x = 59t
y = -43t

答えは (x, y) = (59t, -43t)、t は任意の整数です。代入すると 43・59t + 59・(-43t) = 0 です。t = 0 から原点も得られ、負の t も含めて元の条件に戻ります。

覚えておくこと

一組の解と任意の解の差を取り、右辺を0にします。 係数を最大公約数で割り、互いに素な係数で変化量を決めます。 2つの変化には同じ整数パラメータを使います。 代入による成立と、差の式による漏れのなさを両方確かめます。

つまずきを式から見分ける

答えを見直すとき、まず特殊解を元の式に代入し、右辺に戻るか確かめます。次に変化量を指で追い、x が何だけ増えると y が何だけ減るかを説明してみてください。係数に共通因子があるときに変化の幅を割り忘れると、一部の解を飛ばします。

個別指導で確かめるなら、差の式から「なぜ x の差が割った後の y の係数の倍数になるか」を本人の言葉で説明できるかが目印です。さらに、得た式への代入と、任意の解からその式に至る逆向きの説明を分けて書けるかを見ます。一般解は、連動する変化と漏れのない根拠を一緒に表します。