高校数学A 小さな係数の特殊解—余りと見通しで一組を選んでから一般解へつなぐ｜武蔵野個別指導塾

7x + 5y = 3 を余りから解き、異なる出発点が同じ整数の組を表す理由から、選び直せる特殊解に迫ります。

よくあるのは、一次不定方程式を解いた高校生が、自分の見つけた整数の組と解答の組が違うために、正しい計算まで消してしまう場面です。整数の組が1組見つかると、そこから別の組も作れます。出発点が違っても、たどれる組の集まりが同じかどうかを確かめれば、自分の答えを判断できます。

数学Aの「数学と人間の活動」では、整数の約数や倍数、ユークリッドの互除法などを扱います。ここでは小さな係数の一次不定方程式に絞り、特殊解を見つける工夫と、一般解の表し方の照合を考えます。

どこから整数の組を探すか

一次不定方程式は、文字の数より式の数が少なく、整数の組を求める方程式です。たとえば 7x + 5y = 3 では、x と y の両方を整数に限ります。負の数や 0 も整数ですから、正の値だけを探す必要はありません。式を満たす具体的な1組を、ここでは特殊解と呼びます。特殊解が1組あると、一定の幅で x を動かし、それに合わせて y を動かせます。

問いの型には、まず整数解を1組見つけるもの、次に整数解をパラメータを用いて表すもの、さらに異なる表現が同じ解集合かを調べるものがあります。どの型でも最初に、文字が整数か、正整数などに限られるかを読み取ります。以下の例題と練習では、明記した場合を除き、x と y は負の数と 0 を含む整数です。

特殊解は、両方の文字に値を無作為に入れ続けなくても探せます。一方の項がもう一方の係数で割り切れることに注目し、小さな候補を試します。候補を選んだら、残った文字が整数になるかと元の等式が成り立つかを確かめます。整数にならない候補は失敗ですが、次の候補を選ぶための情報が残ります。

余りが一致するところを探す

7x + 5y = 3 を例にします。5y は 5 の倍数なので、7x と 3 の差は 5 の倍数です。7x を 5 で割った余りと 3 を 5 で割った余りは等しくなります。7 は 5 で割ると余りが 2 ですから、7x の余りは 2x の余りを調べれば求まります。x が負でも、割る数 5 に対する余りは 0 以上 5 未満に取ります。

図1のように、x を 5 で割った余りを 0 から 4 まで並べ、2x の余りを対応させます。どの整数もこの5通りのいずれかに入るため、調べ漏れはありません。目標の余り 3 に合うのは x の余りが 4 の列です。したがって小さく扱いやすい候補として x = -1 を選べます。-1 は 5 で割ると商 -1、余り 4 だからです。

表の1列を選ぶ理由は、元の式で 3 − 7x が 5 の倍数になることです。その場合に限り y = (3 − 7x)/5 が整数になります。余りの条件は「候補をしぼるための必要条件」に見えますが、この式では y を作れば元の式が成り立つため十分でもあります。表を使わず、7x が 3 に近い値を探す方法もあります。x = -1 なら 7x = -7 で、3 までの差は 5 の倍数です。

一般解を表すときは、係数が互いに素かを確かめます。7 と 5 は互いに素です。特殊解を (x₀, y₀) とすれば、x を 5 増やすと 7x は 35 増えるので、y を 7 減らせば 5y は 35 減り、合計は変わりません。逆向きに動かす場合も含め、整数 t を使って x = x₀ + 5t、y = y₀ − 7t と書けます。この一般解が全解を表すことは、2組の解の差が 7Δx + 5Δy = 0 を満たし、互いに素な 7 と 5 から Δx が 5 の倍数になることによります。ここでは証明を繰り返す代わりに、出発点の選択と代入に注目します。

係数が互いに素でない場合は、いきなりこの幅を使えません。まず両係数の最大公約数が右辺を割るか確認します。割れなければ、左辺は必ずその最大公約数の倍数なのに右辺はそうでないため、整数解はありません。割れるときは式全体を最大公約数で割ってから、互いに素な係数で幅を考えます。

基本例題：負の候補を使う

問題。x、y を整数とします。7x + 5y = 3 の整数解を、整数 t を用いてすべて表してください。

図2のように、まず x = -1 を入れて y を求めます。計算の途中では、引く数の符号を括弧で保ちます。

7(-1) + 5y = 3
-7 + 5y = 3
5y = 3 + 7
5y = 10
y = 2

よって (-1, 2) は特殊解です。元の式に戻すと 7(-1) + 5・2 = -7 + 10 = 3 となります。x を 5 増やし y を 7 減らす移動を整数回行うと、次の答えを得ます。

x = -1 + 5t
y = 2 - 7t
（t は整数）

この式から得る組が本当に解であることも、まとめて代入して確認します。

7(-1 + 5t) + 5(2 - 7t)
= -7 + 35t + 10 - 35t
= 3

また、前節の差の性質により、ほかの整数解もこの形に入ります。t = 0 では (-1, 2)、t = 1 では (4, -5) です。どちらも右辺を 3 に戻します。異なる組が出ることは、どちらかの計算が間違いという意味ではありません。特殊解を選ぶ段階では、負の値を使うことを避けず、後の計算が簡単な1組を選ぶとよいでしょう。

標準例題：異なる出発点を比べる

問題。x、y を整数とします。4x + 7y = 5 について、特殊解 (3, -1) と (-4, 3) のそれぞれから一般解を作り、両者が同じ整数解全体を表すことを示してください。

まず両方の組を元の式に戻します。

4・3 + 7(-1) = 12 - 7 = 5
4(-4) + 7・3 = -16 + 21 = 5

どちらも特殊解です。4 と 7 は互いに素なので、x を 7 増やすと y を 4 減らす幅を使います。最初の組から、整数 t に対して次の形を得ます。

x = 3 + 7t
y = -1 - 4t

もう一方の組からは、整数 s を用いて次の形を得ます。

x = -4 + 7s
y = 3 - 4s

2つの式は見かけが異なりますが、s = t + 1 と置いて比べます。

-4 + 7s = -4 + 7(t + 1) = 3 + 7t
3 - 4s = 3 - 4(t + 1) = -1 - 4t

t が整数なら s も整数です。逆に s が整数なら t = s − 1 も整数なので、どちらの表し方からも相手の表し方に移れます。一方向の代入だけでなく、整数の値が逆にも対応することを確認すると、解集合の一致まで言えます。たとえば最初の形の t = -1 は、後の形の s = 0 と同じ (-4, 3) を表します。パラメータに同じ数字を入れたときの組が違うことは、集合が違う根拠にはなりません。

発展例題：共通因子があるとき

問題。x、y を整数とします。6x + 14y = 8 の整数解を、整数 t を用いてすべて表してください。また別の特殊解を1組見つけ、そこから得た表現との一致を示してください。

係数 6 と 14 の最大公約数は 2 で、右辺 8 は 2 で割り切れます。式を 2 で割ると、互いに素な 3 と 7 が現れます。

6x + 14y = 8
3x + 7y = 4

y = 1 を試すと、残る項は 4 − 7 = -3 です。-3 は 3 で割り切れるので x = -1 と決まります。復元すると 6(-1) + 14・1 = 8 です。3 と 7 が互いに素であることから、x の幅は 7、y の幅は -3 になります。

x = -1 + 7t
y = 1 - 3t
（t は整数）

任意の整数 t について元の式に戻すと、次のように右辺が保たれます。

6(-1 + 7t) + 14(1 - 3t)
= -6 + 42t + 14 - 42t
= 8

t = 1 を選べば、別の特殊解 (6, -2) が得られます。これを出発点にした表現を整数 s で書きます。

x = 6 + 7s
y = -2 - 3s

s = t − 1 とすると両方の座標が最初の表現に一致し、逆に t = s + 1 も整数です。元の係数をそのまま幅にすると x を 14、y を -6 ずつしか動かせず、最初の表現で t が偶数の組しか届きません。たとえば (6, -2) を取り逃します。係数を最大公約数で割ってから最小の幅を決める理由は、途中の整数解を漏らさないためです。

右辺が 2 の倍数でなければ、左辺が偶数であることと両立しません。たとえば右辺を 9 に変えた式は整数解を持ちません。この場合に候補をいくら試しても見つからないのは、探索が足りないからではなく、条件そのものが合わないからです。

間違いを式へ戻して直す

基本例題で、特殊解が (-1, 2) と (4, -5) のどちらか一方しか正しくないと決める誤りを考えます。図3のように、それぞれを元の 7x + 5y に代入すると、どちらも 3 です。さらに座標の差は (5, -7) なので、一般解の移動1回分に一致します。

原因は、特殊解を「唯一の答え」と考えてしまうことです。修正するときは、組を元の式に代入し、条件を満たすことを確認します。その後、一般解のパラメータを整数だけずらせば2つの表現が重なるかを調べます。片方の x の式だけが一致しても、y の式が一致しなければ同じ組にはなりません。2つの座標を同じパラメータの置換で照合します。

もう1つの失敗は、候補を代入したとき y が分数になったのに、そのまま特殊解と呼ぶことです。整数を求める問題では、式を満たすだけでなく、それぞれが整数であることも必要です。候補が合わなければ、求めた余りの条件に戻り、次の候補を選び直します。逆に特殊解は正しくても、幅の符号を両方とも正にすると左辺が増えます。一般解を元の式へ代入すれば、パラメータの項が消えないため、この誤りを見つけられます。

練習問題

各問で x、y は 0 と負の数を含む整数とします。一般解を求める問では、整数パラメータを使ってすべての組を表してください。問題を先に解き、後の解答では元の式への代入まで確かめてください。

1. 3x + 8y = 7 の特殊解を1組求め、一般解を表してください。
2. 5x + 9y = 2 の特殊解を1組求め、一般解を表してください。
3. 4x + 11y = 1 の特殊解を1組求め、一般解を表してください。
4. 6x + 10y = 4 の特殊解を1組求め、一般解を表してください。
5. 8x + 6y = 5 に整数解があるか判定し、理由を述べてください。

練習の解答と解き方

1. x = -3 とすると 3x = -9 で、7 との差は 16 です。したがって y = 2 が得られます。

3(-3) + 8・2 = -9 + 16 = 7
x = -3 + 8t
y = 2 - 3t
（t は整数）

3 と 8 は互いに素なので、この幅で全解を表します。元の式へ一般解を戻すと、-9 + 24t + 16 − 24t = 7 です。x の増加による寄与と y の減少による寄与が打ち消し合います。

2. y = -2 なら 9y = -18 です。2 との差 20 は 5 で割り切れるので x = 4 です。

5・4 + 9(-2) = 20 - 18 = 2
x = 4 + 9t
y = -2 - 5t
（t は整数）

5 と 9 は互いに素です。一般解を代入すると 20 + 45t − 18 − 45t = 2 となります。別の候補から始めた場合も、この幅の整数倍だけ離れているかを調べます。

3. y = -1 を選ぶと 4x − 11 = 1、したがって x = 3 です。

4・3 + 11(-1) = 12 - 11 = 1
x = 3 + 11t
y = -1 - 4t
（t は整数）

4 と 11 は互いに素です。代入すると 12 + 44t − 11 − 44t = 1 となります。右辺が 1 の場合も、候補を選んで差が係数の倍数になることを使えます。

4. 係数の最大公約数 2 は右辺 4 を割ります。両辺を 2 で割ると 3x + 5y = 2 です。y = 1 とすれば x = -1 を得ます。

6(-1) + 10・1 = -6 + 10 = 4
x = -1 + 5t
y = 1 - 3t
（t は整数）

割った後の 3 と 5 は互いに素です。元の式への代入は -6 + 30t + 10 − 30t = 4 となり、割る前の条件も満たします。

5. 8x と 6y はどちらも偶数なので、その和も偶数です。右辺 5 は奇数ですから、等式を満たす整数の組はありません。負の整数や 0 を含めても偶数の和は偶数のままなので、候補の範囲を広げても結論は変わりません。

要点を手元に残す

特殊解は元の式を満たす整数の組です。 余りを使うと、一方の文字の候補を絞れます。 係数に共通因子があるときは右辺の割り切れ方を調べます。 異なる特殊解からの一般解は、整数パラメータのずらし方で照合します。

自分の組が解答と違ったときは、まず元の式に戻して声に出して計算してください。個別指導で確認するなら、候補を選んだ理由、両方の座標の整数性、移動幅の符号、2つの表現をつなぐパラメータの置換を順に説明してみます。途中で止まった箇所が、余りの読み取りと一般解の照合のどちらにあるかを見分ける手がかりになります。特殊解の違いは、解集合を比べる出発点になります。