高校数学A 一次不定方程式の文章題—個数と総量の条件を整数解の範囲に戻して確かめる｜武蔵野個別指導塾

部品の長さや箱の収容数から式を立て、使い切る条件と余りの範囲を分けて、本数や箱数に戻して確かめます。

よくあるのは、高校生が部品の本数を文字で置いて式を解き、計算の合った答えの中に負の本数を残してしまう場面です。式に代入して等号が成り立つことと、実際の個数として使えることは別の条件です。何を使い切り、何を余らせてよいかも、文章から読み分けます。整数の約数や倍数、互除法は数学Aの「数学と人間の活動」で扱う範囲です。

要点（結論から）

• 1個あたりの量と個数を掛け、総量の式を作ります。
• 使い切らない場合は余りとその範囲を式に入れます。
• 整数解に個数の上下限を重ね、端の 0 の可否も確認します。

何を等式にし、何を条件として残すか

出方には、長さの異なる部品を合わせて決まった長さにする型、大小の箱に入れた品物の合計から箱数を求める型、材料の余りを認めたうえで組合せを探す型があります。前の2つでも、箱の総数まで指定されれば、その条件を別の式にします。最後の型では、材料の総量と使った量を等しいと置く前に、余りを式に入れる必要があります。

それぞれの個数を x、y とすると、文章に書かれた1個あたりの量を掛けて合計します。x と y は個数なので、特に断りがなければ 0 を含む整数です。両方を使うという条件なら、どちらも 1 以上です。等式を満たしても、負数や小数は個数の答えに含めません。

たとえば箱に収める問題では、品物を全部入れるという条件と、箱を全部使うという条件は違います。指定がある方だけを式に反映し、答えの確認では各箱の収容数と個数から、もとの総量を作り直します。式を解いて得た候補に場面の条件を適用するところまでが解答です。

個数の条件を式の外にも書く

長さ a の部品を x 本、長さ b の部品を y 本使い、合計が c なら ax + by = c です。ここで a、b は正整数、x、y は非負整数とします。端の加工で長さが失われないという条件のもとで、この等式が使えます。部品が一本も不要な種類を認めないなら、x ≥ 1、y ≥ 1 に変えます。

図1のように、まず一組の整数解を探し、次に同じ総量を保つ交換を考えます。例として長さ 3 と 7 の部品では、長さ 3 の部品を 7 本増やし、長さ 7 の部品を 3 本減らすと、増減する長さはいずれも 21 です。逆向きの交換も整数回できますが、実際の本数が負になる交換は採用できません。

図1のように、等式と範囲は別々に点検します。一般に ax + by = c の一組を (x₀, y₀) とし、a と b の最大公約数を g とすると、整数解は x = x₀ + (b/g)t、y = y₀ − (a/g)t と表せます。t は整数です。交換による増減を代入すると、合計は変わりません。

漏れがない理由も押さえます。別の解との差を取ると a(x − x₀) = -b(y − y₀) です。g で割った a/g と b/g は互いに素なので、x − x₀ は b/g の倍数です。その倍数を t と置けば、もう一方も上の形になります。実際に使える個数はさらに x、y の下限や上限を満たすものに限られます。

一方、長さ c の材料から切り出し、余り r を認める場合は ax + by + r = c です。余りの条件が 0 ≤ r ≤ 何かという形で与えられるなら、その範囲も必要です。r を消して ax + by ≤ c とするだけでは、例えば「余りは 2 以下」という上限を反映できません。等式の整数解を先に出す方法は、使い切る条件にそのまま対応します。

基本例題：長さをちょうど合わせる

長さ 3 cm と 7 cm の部品があります。2種類をそれぞれ 0 本以上使い、合計を 31 cm にします。接続部分の長さは無視します。それぞれの本数の組をすべて求めてください。

3 cm の本数を x、7 cm の本数を y とします。x、y は非負整数です。使い切る長さが 31 cm なので、まず式を作ります。

3x + 7y = 31
3x = 31 - 7y

右辺が 3 の倍数になる必要があります。7 を 3 で割った余りは 1、31 の余りも 1 ですから、y を 3 で割った余りは 1 です。よって y = 1 + 3t と書けます。t は整数です。これをもとの式に代入します。

3x + 7(1 + 3t) = 31
3x + 7 + 21t = 31
3x = 24 - 21t
x = 8 - 7t

非負の本数にする条件を別に書きます。

8 - 7t ≥ 0 から t ≤ 8/7
1 + 3t ≥ 0 から t ≥ -1/3

t は整数なので t = 0 または 1 です。図2のように、それぞれを本数に戻すと (x, y) = (8, 1), (1, 4) です。

図2のように各組の長さを足すと、3・8 + 7・1 = 31、3・1 + 7・4 = 31 です。どちらも本数は非負整数です。たとえば t = 2 なら式は成り立ちますが x = -6 となり、部品の本数にはできません。代入による等式の確認と、本数の条件の確認を両方行います。

標準例題：箱数の条件も使う

1箱に 4 個入る箱と 9 個入る箱を使い、品物 73 個をすべて入れます。使った箱は合計 13 箱で、どの箱もいっぱいです。各種類の箱数を非負整数で求めてください。

4 個入りを x 箱、9 個入りを y 箱とします。箱の合計と品物の合計は異なる条件なので、2本の式にします。

x + y = 13
4x + 9y = 73
x = 13 - y
4(13 - y) + 9y = 73
52 - 4y + 9y = 73
5y = 21

ここで y = 21/5 となり、整数ではありません。したがって条件に合う箱の組はありません。小数の箱数を四捨五入してはいけません。箱数の式から x を消す操作は同値なので、整数以外の値しか出なかった時点で、条件をすべて満たす整数の組はないと結論できます。

実際、9 個入りを 4 箱にすると残りは 9 箱で、品物は 9・4 + 4・9 = 72 個です。5 箱にすると残りは 8 箱で、9・5 + 4・8 = 77 個です。9 個入りを1箱増やすたび、箱の総数を保つには4個入りを1箱減らし、品物の合計は5個増えます。73個には届きません。この比較は不可能な場合の意味を確かめるものであり、上の式による判定も必要です。

総数の条件を忘れて 4x + 9y = 73 だけを解くと、例えば (x, y) = (16, 1) は品物の個数に合います。しかし箱は 17 箱です。与えられた条件の一部に合う候補を、元の文章全体の解と取り違えないようにします。

発展例題：余りを変数として残す

長さ 53 cm の材料から、長さ 4 cm と 7 cm の部品をそれぞれ 1 本以上切り出します。切断による損失はなく、余りは 0 cm 以上 2 cm 以下の整数とします。部品の本数の組と余りをすべて求めてください。

4 cm の部品を x 本、7 cm の部品を y 本、余りを r cm とします。x、y、r は整数で、x ≥ 1、y ≥ 1、0 ≤ r ≤ 2 です。余りを含めた全体の長さは次の式です。

4x + 7y + r = 53
4x + 7y = 53 - r

r は 0、1、2 のいずれかです。各場合を分ければ、使い切る場合と同じように本数を絞れます。x ≥ 1 より 7y ≤ 49 − r、また y ≥ 1 です。各場合の整数 y の範囲を調べます。

r = 0 なら、53 − 7y が 4 の倍数です。余りを見ると y を 4 で割った余りは 3 です。1 ≤ y ≤ 7 なので y = 3、7 です。

r = 0, y = 3 のとき x = (53 - 21)/4 = 8
r = 0, y = 7 のとき x = (53 - 49)/4 = 1

r = 1 なら、52 − 7y が 4 の倍数です。y は 4 の倍数で、1 ≤ y ≤ 6 ですから y = 4 です。

r = 1, y = 4 のとき x = (52 - 28)/4 = 6

r = 2 なら、51 − 7y が 4 の倍数です。y を 4 で割った余りは 1 で、1 ≤ y ≤ 6 なので y = 1、5 です。

r = 2, y = 1 のとき x = (51 - 7)/4 = 11
r = 2, y = 5 のとき x = (51 - 35)/4 = 4

答えは (x, y, r) = (8, 3, 0), (1, 7, 0), (6, 4, 1), (11, 1, 2), (4, 5, 2) です。r の全候補を分け、各場合に y の範囲と余りを調べたため、ほかの組はありません。

元の材料に戻して確かめます。順に 4・8 + 7・3 + 0 = 53、4・1 + 7・7 + 0 = 53、4・6 + 7・4 + 1 = 53、4・11 + 7・1 + 2 = 53、4・4 + 7・5 + 2 = 53 です。各種類の本数は正で、余りも指定内です。余りを認める問題で最初から 4x + 7y = 53 とすると、余りが 1 や 2 の組を落とします。

誤答を場面へ戻す

基本例題で t = 2 を代入すると (x, y) = (-6, 7) です。3・(-6) + 7・7 = 31 なので、式の整数解としては正しい組です。しかし、図3のように負の本数は部品の選び方を表しません。等式を満たすことだけを理由に答えへ入れるのが誤りです。

図3のように、式の確認の次に個数の確認を置きます。修正するには x ≥ 0 と y ≥ 0 を一般解に代入し、t の共通範囲を求めます。片方だけを見て t ≥ 0 としても、t の上限が抜けます。さらに整数 t だけを選んでから本数を計算します。

逆に、0 本を機械的に除くのも誤りです。「それぞれ 1 本以上」とあれば除き、「0 本以上」とあれば残します。余りについても同じで、許される範囲の端に等号があるかを確認します。条件が文章で与えられたときは、不等号の向きを自分の言葉で読み直すと間違いに気づけます。

練習問題

次の問題では、個数はすべて整数です。材料の切断による損失はないものとします。求める組は条件を満たすすべての組です。

1. 長さ 5 cm と 8 cm の部品を各 0 本以上使い、合計を 46 cm にします。各本数の組を求めてください。
2. 6 個入りと 7 個入りの箱を各 0 箱以上使い、品物 50 個をすべて入れます。各箱はいっぱいです。箱数の組を求めてください。
3. 長さ 29 cm の材料から長さ 4 cm と 6 cm の部品を各 0 本以上切り出します。余りを 0 cm 以上 1 cm 以下の整数とするとき、本数の組と余りを求めてください。
4. 5 個入りと 7 個入りの箱を合わせて 8 箱使い、品物 49 個をすべて入れます。箱はいっぱいです。各箱数を非負整数で求め、存在しなければその理由を示してください。
5. 長さ 3 cm と 8 cm の部品を各 1 本以上使い、合計を 43 cm にします。各本数の組を求めてください。

練習の解答と確認

1. 5 cm を x 本、8 cm を y 本とすると、5x + 8y = 46 です。x、y は非負整数です。5 で割った余りを見ると 3y の余りは 1 なので、y を 5 で割った余りは 2 です。また 8y ≤ 46 より 0 ≤ y ≤ 5 です。よって y = 2 です。

5x = 46 - 8・2
5x = 30
x = 6

答えは (6, 2) です。5・6 + 8・2 = 46 cm で、本数も非負整数です。y の候補を範囲内で尽くしています。

2. 6 個入りを x 箱、7 個入りを y 箱とします。6x + 7y = 50、x、y ≥ 0 です。6 で割った余りから y の余りは 2、さらに 0 ≤ y ≤ 7 です。したがって y = 2 です。

6x = 50 - 7・2
6x = 36
x = 6

答えは (6, 2) 箱です。6・6 + 7・2 = 50 個となり、どちらの箱数も条件に合います。余りの候補と上限を同時に使うことで、ほかの箱数を除いています。

3. 4 cm を x 本、6 cm を y 本、余りを r cm とします。x、y は非負整数、r は 0 または 1 です。4x + 6y + r = 29 で、左の部品の長さは偶数ですから r = 1 です。

4x + 6y = 28
2x + 3y = 14

0 ≤ y ≤ 4 で、2x が偶数なので y も偶数です。y = 0、2、4 を代入すると、順に x = 7、4、1 です。答えは (x, y, r) = (7, 0, 1), (4, 2, 1), (1, 4, 1) です。元の長さは順に 28 + 0 + 1 = 29、16 + 12 + 1 = 29、4 + 24 + 1 = 29 cm です。0 本も許されるため最初の組を残します。

4. 5 個入りを x 箱、7 個入りを y 箱とすると、x + y = 8、5x + 7y = 49 です。

x = 8 - y
5(8 - y) + 7y = 49
40 + 2y = 49
2y = 9

y は整数にならず、解はありません。箱を8箱に固定すると、5個入りばかりの40個から、7個入りへの交換1回につき2個ずつ増えます。したがって合計は偶数であり、49個という条件には戻せません。この別の見方でも不可能と確かめられます。

5. 3 cm を x 本、8 cm を y 本とすると、3x + 8y = 43、x、y は正整数です。3 で割った余りから 2y の余りは 1 なので、y の余りは 2 です。x ≥ 1 から 8y ≤ 40、すなわち 1 ≤ y ≤ 5 です。よって y = 2、5 です。

 y = 2 のとき x = (43 - 16)/3 = 9
 y = 5 のとき x = (43 - 40)/3 = 1

答えは (9, 2), (1, 5) です。3・9 + 8・2 = 43、3・1 + 8・5 = 43 cm で、いずれも両種類を使っています。y の候補は指定範囲で尽くしています。

要点

• 1個あたりの量と個数を掛け、総量の式を作ります。
• 使い切らない場合は余りとその範囲を式に入れます。
• 整数解に個数の上下限を重ね、端の 0 の可否も確認します。
• 求めた組を元の数量と単位へ戻し、条件をすべて照合します。

どこで立ち止まったかを見分ける

式を作れないときは、文字が本数なのか長さなのかを尋ね、1種類分の長さを言葉と積の両方で表してもらいます。式は作れるのに負の答えが残るときは、文字を置いた直後の範囲へ戻り、その条件を一般解に代入するところを確かめます。

個別指導では、余りを認める条件を隠さずに示し、使った長さと残りの長さを合わせる式を本人に説明してもらいます。解なしと答えた場合も、どの条件で整数がなくなるかを確かめます。式の解を場面の個数に戻す一手が、文章題の答えを定めます。