高校数学A 十進整数からn進法への変換—割り算の余りを下から読む理由を式で確かめる｜武蔵野個別指導塾

割り算の余りが一の位から決まる過程を式で追い、商が0になる停止条件と余りを逆順に読む理由を結び付けます。

よくあるのは、高校生が十進整数を基数で繰り返し割り、余りを出た順に上から並べて逆の表記にする場面です。割り算自体は合っていても、最初の余りは一番右の桁です。どちらから読むかを丸暗記する前に、各回の商が何を数えているかを追いましょう。基数は2以上9以下の整数とし、変換する数は0以上の整数に限ります。数学Aの「数学と人間の活動」では、整数に関わる題材として二進法を扱います。

要点（結論から）

• 余りは一の位から順に決まるため、最後の余りから読む。
• 商が0になるまで割り、途中の余り0も桁として残す。
• 元の数が0なら 0 (n) と書く。

何を求める問題か

出方は大きく3つあります。十進整数を指定された基数の表記に直す問題、途中の商や余りを埋める問題、表記の誤りを直して理由を説明する問題です。どれも、答えに基数を添え、各桁が0以上で基数未満かを見るところまでが仕事です。

例えば基数が5なら使う数字は0から4です。数字5を一桁に置くことはできず、5個のまとまりを1つ上の位へ移します。十進数で書かれた元の整数と、末尾に (5) を付けた表記は、同じ数字の並びでも意味が違うことがあります。問題に指定がない限り、先頭に余分な0は書きません。

変換が途中で止まった場合、最後の商が0かをまず見ます。商が正のままなら、その中にまだ上の位が残っています。一方、商が0になった後に、その0を基数で繰り返し割っても、必要な桁は増えません。最初の数が0のときは、例外的に答えを 0 (n) と書きます。

余りと位はどう対応するか

基数を n、変換する非負整数を N とします。n は2以上9以下の整数です。除法の決まりによって、商 q₁ と余り r₀ を使い、次のように表せます。

N = n・q₁ + r₀
0 ≤ r₀ < n

n・q₁ は n 個ずつのまとまりで、r₀ はまとまりに入らなかった個数です。したがって r₀ は一の位です。次に q₁ を n で割り、商 q₂、余り r₁ とすると、q₁ = n・q₂ + r₁ です。これを最初の式に代入すると次のようになります。

N = n・(n・q₂ + r₁) + r₀
N = n²・q₂ + n・r₁ + r₀

r₁ は n の位、r₀ は一の位です。図1のように、先に出た余りほど右の位に置きます。次の余りは n² の位という具合に、商を割るたびに1つ上の位が定まります。

図1の q₂ にさらに同じ操作をしていけば、最後に残った商も余りとして取り出せます。正の商 q を n で割った商は q より小さい非負整数です。実際、n は2以上なので、商が q 以上なら n・商が q を超えてしまいます。正の整数が小さくなり続けるため、いずれ商は0になります。

商が初めて0になった行の余りは、元の数が正なら0ではありません。その行で割った数は正で、商が0ならその数が余りそのものだからです。よって最後の余りを先頭に置けば、先頭に不要な0は付きません。途中で出た0は別です。位が空いていることを表すので、消さずに残します。

この説明は整数部分の位取りに限ります。小数の変換や異なる基数どうしの計算には進まず、各桁の重みを使って元の十進整数へ戻す確認に集中します。

基数を変えても、同じ整数そのものは変わりません。変わるのはまとまりの大きさと、各位に付ける重みです。答えの右側に基数を添えるのは、どの重みで読むかを明らかにするためです。桁の並びだけを見て十進整数と判断せず、括弧の数から読み始めます。

途中の記録を点検する

割り算の表を作るとき、各行には割られる数、商、余りの3つを記録します。次の行の割られる数が前の行の商と一致しなければ、途中で別の数を引き継いだことになります。各行を掛け算と足し算で復元すれば、計算の間違いと転記の間違いを区別できます。余りが基数以上になった場合も、その行の商が小さすぎるためやり直します。

例えば基数が7のとき、ある行を 53 = 7・6 + 11 と書くと等式自体は正しいものの、余り11は7未満ではありません。正しくは 53 = 7・7 + 4 です。逆に 53 = 7・8 − 3 も等式としては正しいですが、負の数は余りの範囲に入りません。商と余りは等式と範囲の両方で決まります。

最終的な表記を元に戻す確認では、右端から1、n、n²と重みを付けます。もし計算結果が違ったら、まず桁の並べ方を点検し、それでも直らなければ各除法の行へ戻ります。どの検査も役割が違うので、余りが使える数字かという確認と、値が一致するかという確認を両方行います。

基本例題：余りを矢印と逆に読む

問題　十進整数 73 を、基数4の表記に直してください。答えには基数を括弧で添え、位の重みで十進整数に戻して確かめてください。

各行で、左の数を4で割ります。次の行へ移すのは余りではなく商です。

73 = 4・18 + 1
18 = 4・4 + 2
4 = 4・1 + 0
1 = 4・0 + 1

余りは出た順に 1、2、0、1 です。図2のように、最後の余りから上へ読むと 1021 です。答えは 1021 (4) となります。

図2の一番下の商は0なので、そこで止めます。余りはすべて0以上4未満であり、基数4で使える数字です。元の値へ戻すと、次のようになります。

1・4³ + 0・4² + 2・4 + 1
= 64 + 0 + 8 + 1
= 73

元の十進整数に戻りました。途中の0を消して 121 (4) とすると 1・16 + 2・4 + 1 = 25 となり、73には戻りません。0を残す理由は、4² の位が空であることを記録するためです。

式で順番を確かめると、最初の行への代入が次のように進みます。

73 = 4・18 + 1
= 4・(4・4 + 2) + 1
= 4²・4 + 2・4 + 1
= 4²・(4・1 + 0) + 2・4 + 1
= 1・4³ + 0・4² + 2・4 + 1

最初の余り1は一の位から動かず、後の余りがその左側に加わります。最後の余りから読むという手順は、この代入を短く書いたものです。

標準例題：0を含む場合も停止を判定する

問題　十進整数 97 と 0 を、それぞれ基数3の表記に直してください。答えには基数を添え、十進整数に戻して確かめてください。

まず97を割ります。

97 = 3・32 + 1
32 = 3・10 + 2
10 = 3・3 + 1
3 = 3・1 + 0
1 = 3・0 + 1

余りを下から読むので、97 = 10121 (3) です。途中の余り0は3³ の位に置きます。各桁は0、1、2のいずれかです。元に戻して確認します。

1・3⁴ + 0・3³ + 1・3² + 2・3 + 1
= 81 + 0 + 9 + 6 + 1
= 97

0については、0 = 3・0 + 0 です。商は最初から0なので、答えは 0 (3) です。読み戻しても一の位の0が表す数は0です。0を表すために数字を何も書かないと、答えが存在しないように見えるため、0を1桁書きます。

途中の商を最後の桁と見なして早く止める方法も、その商が基数未満なら使えます。しかし、商が基数以上の段階では1桁として書けません。常に商0まで割る手順なら、停止条件を同じ形で確認できます。

発展例題：桁数を先に見積もる

問題　十進整数 257 を基数6の表記に直してください。答えには基数を添え、何桁になるかも答え、十進整数に戻してください。

6³ = 216、6⁴ = 1296 であり、216 ≤ 257 < 1296 です。したがって最高位は6³ の位で、答えは4桁です。実際に商と余りを求めます。

257 = 6・42 + 5
42 = 6・7 + 0
7 = 6・1 + 1
1 = 6・0 + 1

最後の余りから並べて 1105 (6) です。数字はすべて6未満で、先に見積もった4桁とも合います。読み戻すと次のとおりです。

1・6³ + 1・6² + 0・6 + 5
= 216 + 36 + 0 + 5
= 257

4桁とわかるのは、6³ を1個置ける一方、6⁴ を1個置くには足りないからです。6³ 未満の部分は、それより低い位に収まります。桁数の見積もりは余りの値そのものを決めませんが、途中で割り算を止めた誤りの発見に役立ちます。

例えば3行目で商1を無視して終了すると、最上位の1が失われます。反対に商0の後も割り続けて先頭に0を足す必要はありません。割り算の回数、最高位の重み、読み戻した値の3点を別々に照らすと、誤りの場所を絞れます。

逆順にしない誤答を直す

基本例題の73について、余りを出た順に書いて 1201 (4) とする誤答を考えます。各数字は4未満なので、数字の範囲だけを見る検査は通ります。しかし、図3のように最初の余り1は一の位、次の余り2は4の位です。出た順に左から書くと、位の重みが入れ替わります。

図3の誤答を読み戻すと、1・64 + 2・16 + 0・4 + 1 = 97 です。元の73と一致しません。正しい 1021 (4) は73に戻るので、余りの並べ方を逆にすれば修正できます。

ただし、たまたま余りの並びが前から読んでも後ろから読んでも同じなら、読み戻しだけでは順番の誤解を見つけられません。その場合は、最初の除法の余りを指して「これは何の位か」と問い、最後の除法から先頭の桁が決まることまで説明してみます。正しい答えが出た場合にも、順序の理由を確かめる価値があります。

もう1つの失敗は、途中の商を余りとして記録することです。各行を「割られる数 = 基数・商 + 余り」に戻し、余りが基数未満かも確かめます。式が合わない場合は、その行から計算し直します。式が合っていても商が0になる前に終わっていれば、次の行を続けます。

練習問題

各問題の数は十進数で与えます。答えの表記には基数を括弧で添え、各桁の重みで元の数に戻してください。

1. 非負整数 58 を基数7の表記に直してください。
2. 非負整数 89 を基数2の表記に直してください。
3. 非負整数 131 を基数5の表記に直してください。
4. 非負整数 0 と 8 をそれぞれ基数8の表記に直してください。
5. 非負整数 199 を基数9の表記に直し、桁数も答えてください。

練習の解答と考え方

1. 商が0になるまで割ります。

58 = 7・8 + 2
8 = 7・1 + 1
1 = 7・0 + 1

下から読み、答えは 112 (7) です。各桁は7未満です。1・49 + 1・7 + 2 = 58 と元の値に戻ります。最初の2が一の位、次の1が7の位です。

2. 2で順に割ります。

89 = 2・44 + 1
44 = 2・22 + 0
22 = 2・11 + 0
11 = 2・5 + 1
5 = 2・2 + 1
2 = 2・1 + 0
1 = 2・0 + 1

答えは 1011001 (2) です。使った数字は0と1です。1・64 + 0・32 + 1・16 + 1・8 + 0・4 + 0・2 + 1 = 89 と戻ります。途中の0も位を保つために書きます。

3. 5で割ります。

131 = 5・26 + 1
26 = 5・5 + 1
5 = 5・1 + 0
1 = 5・0 + 1

答えは 1011 (5) です。各桁は5未満で、1・125 + 0・25 + 1・5 + 1 = 131 です。商が5の行を省くと0の位が抜けるので注意します。

4. 0 = 8・0 + 0 より、0は 0 (8) です。8については次のように割ります。

8 = 8・1 + 0
1 = 8・0 + 1

答えは 10 (8) です。0 (8) は0、10 (8) は1・8 + 0 = 8 を表します。どちらも各桁は8未満です。十進整数の8をそのまま1桁として書くことはできません。

5. 商を引き継ぎます。

199 = 9・22 + 1
22 = 9・2 + 4
2 = 9・0 + 2

答えは 241 (9)、3桁です。各桁は9未満で、2・81 + 4・9 + 1 = 199 です。また 9² = 81 ≤ 199 < 729 = 9³ なので、3桁という判定も一致します。

要点

• 余りは一の位から順に決まるため、最後の余りから読む。
• 商が0になるまで割り、途中の余り0も桁として残す。
• 元の数が0なら 0 (n) と書く。
• 桁が基数未満か、重みを付けて元に戻るかを確かめる。

つまずきを見分ける問い

割り算の式が正しくても答えが違うときは、まず最初の余りがどの位を表すかを本人の言葉で確かめます。商と余りを取り違えた場合は、1行を基数・商と余りの和へ戻して、どちらを次に割るかを指さしてもらいます。個別指導では、途中に0がある表記と、商が0で停止する表記をそれぞれ説明できるかを見ると、順番と停止の理解を分けて確かめられます。余りの位置を式で説明できれば、初めて見る基数でも変換の手順を立て直せます。