高校数学A 基数と数字の逆算—位取りの式と使える数字の条件から候補を絞り込む｜武蔵野個別指導塾

位取りの式から基数や未知の桁を求め、使えない数字を含む候補まで吟味する逆算の道筋をたどります。

よくあるのは、位取りの式を解いて基数らしい数が出たところで計算を終え、元の表記にその基数では使えない数字がないか確かめない場面です。式が成立することと、その式が正しい位取りの表記を表すことは別の条件です。たとえば桁に 7 がある表記を考えるなら、基数は 7 より大きくなければなりません。候補を出す前と出した後に桁を点検する習慣をつけましょう。

要点（結論から）

• 各桁は 0 以上、基数未満で、先頭は 0 ではありません。
• 位の重みを掛けた式から候補を求めます。
• 候補を桁の条件と元の値に戻して判定します。

何が未知なのかを先に分ける

出方には、基数だけを求める型、基数とある桁の両方を求める型、条件を満たす表記が存在するかを判定する型があります。いずれも、まず与えられた表記が何桁かを読み、その値を基数の式に直します。ただし、式だけを見て探索を始めると、存在しない桁を含む候補まで計算してしまいます。

ここでは基数を 2 以上 9 以下の整数とし、桁の数字は 0 以上、基数未満の整数とします。先頭の桁は 0 ではありません。表記の右下に括弧で基数を添え、括弧のない数は十進数として扱います。未知の桁が 0 でよいかどうかは、その桁が先頭かどうかで変わります。

数学Aの「数学と人間の活動」では二進法などの位取りを扱います。ここでは整数の表記に限り、小数の位や情報量は扱いません。十進数からの変換の手順は、値を戻して確かめるために必要な範囲で使います。

位の重みと桁の許される範囲

基数を n、二桁の数字を左から a、b とすると、その表記の値は an + b です。三桁の数字を左から a、b、c とすると、値は an² + bn + c です。ここで a、b、c は整数で、先頭の a は 1 以上 n − 1 以下、残りは 0 以上 n − 1 以下です。文字を続けた表記は積を表します。

図1のように、左へ1桁移るたびに位の重みは n 倍になります。桁の文字は値そのものではなく、その重みが何個あるかを示します。したがって、式に代入する前に各文字の範囲を決めることが、元の表記を守るための第一歩です。

図1の三桁では a が先頭なので 0 にできません。一方、b と c は 0 でもかまいません。たとえば基数が 6 なら使用できる数字は 0、1、2、3、4、5 です。6 は一つの桁として書けず、6 個のまとまりは一つ上の位に移ります。

逆算では、与えられた数字のうち最大のものより基数が大きいという条件が特に役立ちます。未知の桁が含まれる場合は、その桁についても同じ条件が必要です。基数を固定してから桁を調べれば、有限個の候補を残さず確かめられます。

二次式に直したときに因数分解できれば計算を短くできます。しかし因数分解で出た数も、基数の範囲と桁の範囲を通過するまでは答えではありません。逆に、式の形が複雑であっても基数は 2 から 9 までなので、許される候補を表にして調べる方法が使えます。

候補を調べる順序と、解なしの意味

基数が未知のとき、表記中にすでに書かれた最大の数字を見れば、探索の下限を決められます。上限は問題で 9 と決まっているので、残った基数は有限個です。各基数について未知の桁を逆算し、整数か、0 以上か、基数未満か、先頭なら 0 でないかを順に調べます。途中で条件を満たさない候補が出ても、それは計算の失敗ではなく、候補を除く根拠です。

たとえば二桁の表記 (a2)ₙ がある値を表すなら、まず値から 2 を引き、残りを n で割って a を求めます。割り切れなければ a は整数でないので、その n は使えません。割り切れた場合も、商が n 以上なら一つの桁として使えません。商が 0 の場合は先頭が消えるため、二桁という条件を満たしません。

候補が残らないときは、調べた範囲を示してから「存在しません」と答えます。途中で一つ失敗しただけでは、他の基数に解がないことはわかりません。一方、位取りの式の同値変形で候補を一つに絞り、その候補が桁の条件に反したなら、残る候補はありません。どの方法でも、除いた理由と調べ尽くした理由を区別して書くことが大切です。

逆に、候補が見つかった場合も、範囲に合うだけでは不足します。元の表記を位の重みで計算し、指定された十進数に一致するかを確かめます。これは計算間違いだけでなく、十の位にあたる重みを基数ではなく 10 と書いてしまう立式の誤りも見つけるためです。

候補の一覧を作るときは、基数の行と桁の行を対応させ、使えないものにも除外理由を添えます。そうすれば、解が複数ある場合も、たまたま最初に見つけた組で止まらずに済みます。

基本例題：基数を式から求める

問題：n は 2 以上 9 以下の整数です。二桁の表記 (43)ₙ が十進数で 35 を表すとき、基数 n を整数で求めてください。

まず数字 4 を使うので n > 4 です。先頭の 4 は 0 ではなく、一の位の 3 も n 未満でなければなりません。位の重みを掛けて式を立てます。

4n + 3 = 35
4n = 32
n = 8

図2のように、十進数の 35 を、8 のまとまり 4 個と端数 3 に分けて読み戻せます。求めた 8 は 2 以上 9 以下で、4 と 3 はいずれも 8 未満です。したがって表記は有効で、答えは n = 8 です。

図2の計算を元の条件へ戻すと 4・8 + 3 = 35 です。式の解が他にないことは、一次式を順に同値変形したことからわかります。候補を一つ得ることと、ほかの候補がないことの両方を説明できています。

ここで、もし桁の条件を先に書かなければ、別の問題で基数が 4 以下になったとき、数字 4 を使えないことを見落としかねません。桁の条件は計算の飾りではなく、数の表記が成立するための条件です。

標準例題：二次式の候補を選ぶ

問題：n は 2 以上 9 以下の整数です。三桁の表記 (124)ₙ が十進数で 53 を表すとき、基数 n を整数で求めてください。

数字 4 があるので n > 4 です。また先頭は 1 なので先頭非零の条件を満たします。三つの位を展開してから整理します。

n² + 2n + 4 = 53
n² + 2n - 49 = 0
(n + 1)² = 50

n が整数なら n + 1 も整数です。7² = 49、8² = 64 なので、50 は整数の平方ではありません。よって条件を満たす基数は存在しません。平方の間にあることを使えば、基数を一つずつ代入する前に不可能と判定できます。

別の確かめ方として、桁の条件を満たす n は 5、6、7、8、9 です。対応する値は順に 39、52、67、84、103 で、53 はありません。範囲外の基数を調べる必要はなく、範囲内の候補を漏れなく調べれば、解なしの結論も確かめられます。

この問題で n = 6 を近い値として採用することはできません。基数や桁は整数であり、表す値も指定された数とちょうど一致する必要があるからです。値が近いことは、等しいことの証明にはなりません。

発展例題：基数と未知の桁を同時に絞る

問題：n は 2 以上 9 以下の整数、a は 0 以上の整数です。三桁の表記 (2a3)ₙ が十進数で 73 を表すとき、基数と数字の組 (n, a) をすべて整数で求めてください。

先頭の 2 と末尾の 3 が使えるため n > 3 です。未知の桁にも 0 ≤ a < n が必要です。これらを保ちながら位取りの式を作ります。

2n² + an + 3 = 73
2n² + an = 70
n(2n + a) = 70

a ≥ 0 より 2n² ≤ 70 です。n ≥ 6 なら 2n² ≥ 72 となって矛盾します。したがって、n > 3 と合わせると候補は 4 と 5 です。さらに最後の式は n が 70 の約数であることを示すので、4 は除かれます。

n = 5
5(10 + a) = 70
10 + a = 14
a = 4

4 は 0 以上 5 未満です。先頭の 2 と末尾の 3 も 5 未満であり、2・5² + 4・5 + 3 = 50 + 20 + 3 = 73 と元の条件に戻ります。答えは (n, a) = (5, 4) です。

この絞り込みは、約数という必要条件を使った後、桁の範囲と元の値を確認しています。約数であるだけでは a が整数か、また a < n かまでは保証されません。もし最後の桁が 0 なら、因数として n を取り出せる一方で、同じように桁の条件を別に点検する必要があります。

誤答を直す：式に合う数が使えない場合

たとえば、n を 2 以上 9 以下の整数として (52)ₙ が十進数で 22 を表すかを考えます。誤答は「5n + 2 = 22 から n = 4 なので、基数は 4」です。式の変形は正しくても、4進法の一つの桁に 5 は書けません。

図3のように、式の候補 4 は数字 5 より大きいという条件を通りません。正しくは、表記が成立するには n > 5 です。式から得られる唯一の候補 4 がこれを満たさないので、条件を満たす基数は存在しません。

図3の失敗は、計算後に候補を消すことで修正できますが、最初に n > 5 と書けば、候補が出た瞬間に矛盾を見抜けます。計算結果を捨てる理由を「数字が大きすぎる」とだけ言わず、「5 < n が必要だが 5 < 4 は成り立たない」と書きましょう。

もう一つの誤りは、未知の先頭桁に 0 を許すことです。0 を置くと桁数が減り、三桁という問題の条件を失います。反対に、途中や末尾の桁の 0 は通常許されます。位置を見ずに一律に 0 を除くと、今度は正しい候補を落とします。

練習問題

各問で基数は 2 以上 9 以下の整数とします。文字で表した桁は 0 以上の整数で、先頭の桁は 0 ではありません。答えは指定された形で、条件を満たすものをすべて求めてください。

1. 二桁の表記 (31)ₙ が十進数で 19 を表すとき、基数 n を整数で求めてください。
2. 三桁の表記 (102)ₙ が十進数で 51 を表すとき、基数 n を整数で求めてください。
3. 二桁の表記 (a4)₇ が十進数で 32 を表すとき、先頭の数字 a を整数で求めてください。
4. 二桁の表記 (6b)ₙ が十進数で 47 を表すとき、基数と一の位の数字の組 (n, b) を整数で求めてください。
5. 三桁の表記 (1c1)ₙ が十進数で 26 を表すとき、基数と中央の数字の組 (n, c) を整数で求めてください。

練習問題の解答と解き方

1. 数字 3 を使うため n > 3 です。位取りの式を解きます。

3n + 1 = 19
3n = 18
n = 6

6 は基数の範囲にあり、3 と 1 は 6 未満です。3・6 + 1 = 19 と元の値にも戻るので、答えは n = 6 です。

2. 数字 2 があるため n > 2 です。位取りの式は次のようになります。

n² + 2 = 51
n² = 49
n = 7

n は正なので負の平方根は除きます。7 は範囲内で各桁も 7 未満です。1・7² + 0・7 + 2 = 51 より、答えは n = 7 です。

3. 先頭の数字なので 1 ≤ a < 7 です。式を解くと次の通りです。

7a + 4 = 32
7a = 28
a = 4

4 は先頭に使え、一の位の 4 も 7 未満です。4・7 + 4 = 32 なので、答えは a = 4 です。

4. 数字 6 があるので n は 7、8、9 のいずれかです。また 0 ≤ b < n です。式を変形します。

6n + b = 47
b = 47 - 6n

順に代入すると、n = 7 で b = 5、n = 8 で b = -1、n = 9 で b = -7 です。後の二つは桁が負なので使えません。前者は 0 ≤ 5 < 7 を満たし、6・7 + 5 = 47 です。答えは (n, b) = (7, 5) です。

5. 0 ≤ c < n に注意して、式を整理します。

n² + cn + 1 = 26
n(n + c) = 25

n は 2 以上 9 以下で 25 の正の約数なので n = 5 です。このとき 5 + c = 5 から c = 0 です。0 は中央の桁に使え、1・5² + 0・5 + 1 = 26 です。答えは (n, c) = (5, 0) です。

要点

• 各桁は 0 以上、基数未満で、先頭は 0 ではありません。
• 位の重みを掛けた式から候補を求めます。
• 候補を桁の条件と元の値に戻して判定します。
• 有限探索では基数の範囲を先に絞り、解なしも確認します。

どこで迷ったかを見分ける

式が作れないときは、三桁の左から重みを n²、n、1 と書き、それぞれに何を掛けるか説明してみてください。式は合うのに候補が多い場合は、最大の数字と基数の大小を自分の言葉で言えるかを確かめます。個別指導では、誤答の候補を元の表記に戻し、どの桁が条件に反するかを指さしてもらうと、式の計算と表記の条件のどちらで迷ったか見分けられます。

候補を元の位取りへ戻す一手が、基数と数字の逆算を完成させます。