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高校数学C 行列による集計—数量と単位量の表から場所別の必要量を求める｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学C 数学的な表現の工夫

場所別の必要量を品目ごとの内訳から集計し、紙の枚数とひもの長さを区別して在庫との差を読み取ります。

よくあるのは、理系の高3が場所ごとに必要な材料の総量を求め、数字だけを書いて答えにする場面です。計算が合っていても、紙の枚数とひもの長さを同じ「個」と読んでは、準備する量が伝わりません。何を何個作り、1個あたりに何をどれだけ使うかを表の見出しからたどれば、積の各成分に単位を付けられます。行列による集計を、元の品目別の内訳に戻しながら考えます。

どの表をつないで何を求めるか

出方の1つは、場所ごとの品目数と、品目1個に必要な複数の材料を与え、場所別の必要量を求める問題です。もう1つは、材料の在庫と必要量を比べ、不足の有無や残量を読む問題です。さらに、品目の数量が文字で与えられ、材料の上限から条件を絞る問題もあります。どの場合も、まず集計したい場所と材料を答えの行と列に置きます。

数量表の列と単位量の表の行が同じ品目順であることが前提です。個数と1個あたりの使用量を掛けた結果を、品目ごとに足します。各品目で別の材料を使う場合も、使わない材料の欄を0として同じ表に入れられます。一方、材料の使用量が注文数によって変わる場合や、品目以外に共通して使う分がある場合は、与えられた表の積だけでは表せません。共通分は別に加える必要があります。

場所から品目、品目から材料へ

数量の行列 A は、行を場所、列を品目とします。単位量の行列 B は、行を品目、列を材料とします。たとえば場所が2か所、品目が3種類、材料が2種類なら、A は2行3列、B は3行2列です。積 AB は2行2列で、行が場所、列が材料になります。内側の3は、両方で同じ順に並べた3品目を表します。

図1のように、場所から品目を経由して材料へ対応をつなぎます。図1の数字は行数と列数であり、数量そのものではありません。内側の数が等しいだけでなく、品目の名前と順序も一致して初めて、対応する数量を掛けられます。

A の各成分は品目の個数、B の成分は材料の単位量です。たとえば紙なら「枚/個」、ひもなら「m/個」と読みます。個数に枚/個を掛けると枚になり、個数に m/個を掛けると m になります。異なる材料を横に並べてもよいのですが、列ごとの単位は同じとは限りません。

積の1成分は、左の行と右の列の対応する数の積を足したものです。同じ位置の成分を掛ける操作ではありません。場所 P の紙については、品目 X の個数に X の紙使用量を掛け、品目 Y、Z についても同じように求めて足します。どの品目も重複なく数え、使わない品目は0個として入れれば、合計に漏れはありません。

基本例題：2会場に用意する材料

会場 P、Q で品目 X、Y、Z を作ります。数量は P が順に2個、1個、3個、Q が1個、2個、1個です。1個あたりの紙とひもの使用量は、X が紙2枚とひも1 m、Y が紙1枚とひも3 m、Z が紙2枚とひも2 mです。会場別の紙の枚数とひもの長さを、行列と単位付きの整数で求めてください。材料の余分な使用はないものとします。

数量の行は P、Q、列は X、Y、Z の順です。単位量の行は X、Y、Z、列は紙、ひもの順にそろえます。図2のように P の行と紙の列を対応させると、3品目の内訳を足した値が左上に入ります。

       X  Y  Z             紙  ひも
A = [  2  1  3 ]     B = [ 2   1 ]
    [  1  2  1 ]         [ 1   3 ]
                          [ 2   2 ]

A は2行3列、B は3行2列なので、積は2行2列です。各成分を順に計算します。

P の紙   = 2・2 + 1・1 + 3・2
         = 4 + 1 + 6
         = 11 枚
P のひも = 2・1 + 1・3 + 3・2
         = 2 + 3 + 6
         = 11 m
Q の紙   = 1・2 + 2・1 + 1・2
         = 2 + 2 + 2
         = 6 枚
Q のひも = 1・1 + 2・3 + 1・2
         = 1 + 6 + 2
         = 9 m

したがって行は P、Q、列は紙、ひもの順で、数値を並べると次のとおりです。

AB = [ 11  11 ]
     [  6   9 ]

左列の単位は枚、右列の単位は m です。特に P の紙11枚は X に4枚、Y に1枚、Z に6枚という内訳に戻ります。図2で示した3つの寄与と照合でき、11を別の材料の量と取り違えていないことも確かめられます。会場別の値をさらに足せば紙17枚、ひも20 mですが、場所ごとに準備する問題の答えとしては、まず2行を残す必要があります。

標準例題：在庫との差まで読む

教室 R、S で品目 A、B、C を作ります。個数は R が順に1個、3個、2個、S が2個、1個、4個です。品目1個に必要な色紙とリボンは、A が3枚と2 m、B が2枚と1 m、C が1枚と2 mです。各教室の在庫は R が色紙12枚とリボン10 m、S が色紙13枚とリボン12 mです。必要量と在庫から、材料ごとの残量を整数と単位で求め、不足があればその量を示してください。

数量表を D、単位量表を E とし、行と列の順は問題文の順にします。まず積で必要量を作り、在庫から引きます。負の値は残量ではなく、不足量の符号付き表示です。

D = [ 1  3  2 ]     E = [ 3  2 ]
    [ 2  1  4 ]         [ 2  1 ]
                         [ 1  2 ]

R の色紙   = 1・3 + 3・2 + 2・1
           = 3 + 6 + 2
           = 11 枚
R のリボン = 1・2 + 3・1 + 2・2
           = 2 + 3 + 4
           = 9 m
S の色紙   = 2・3 + 1・2 + 4・1
           = 6 + 2 + 4
           = 12 枚
S のリボン = 2・2 + 1・1 + 4・2
           = 4 + 1 + 8
           = 13 m
DE = [ 11   9 ]
     [ 12  13 ]

在庫も行を R、S、列を色紙、リボンにそろえます。対応する成分を引くと次のようになります。

[ 12  10 ]   [ 11   9 ]   [ 1   1 ]
[ 13  12 ] - [ 12  13 ] = [ 1  -1 ]

R は色紙1枚とリボン1 mが残り、S は色紙1枚が残ってリボン1 mが不足します。S のリボンは A に4 m、B に1 m、C に8 mで合計13 mです。在庫12 mと直接比べても不足は1 mなので、符号の意味が合っています。引き算の前に教室の順や材料の列順が異なるなら、見出しを合わせてから計算します。

発展例題：上限から個数を絞る

作業室 T で品目 U、V、W をそれぞれ2個、x個、1個作ります。x は0以上の整数です。1個あたりの布とテープは、U が布2 mとテープ1 m、V が布1 mとテープ3 m、W が布3 mとテープ2 mです。布は10 m、テープは14 mまで使えます。両方の上限を守る x の最大値を整数で求めてください。

数量は1行3列、単位量は3行2列です。積を作ると、1行2列のそれぞれが布とテープの必要量になります。

               布  テープ
[ 2  x  1 ] [ 2    1 ]
              [ 1    3 ]
              [ 3    2 ]
= [ 2・2 + x・1 + 1・3   2・1 + x・3 + 1・2 ]
= [ 7 + x                 4 + 3x ]

両方を満たす条件は次のとおりです。

7 + x ≤ 10
x ≤ 3
4 + 3x ≤ 14
3x ≤ 10
x ≤ 10/3

x は整数なので、布から x ≤ 3、テープからも x ≤ 3 と読めます。最大値は3個です。元の場面に戻すと、布は U に4 m、V に3 m、W に3 mで合計10 m、テープは2 m、9 m、2 mで合計13 mです。どちらも上限以内です。4個にすると布は4 + 4 + 3 = 11 m、テープは2 + 12 + 2 = 16 mとなり、両方の上限を超えます。

この問題では布が最大値を決めます。テープに1 mの余裕があっても、V をもう1個作るとは限りません。材料ごとの条件を同時に満たす必要があるためです。また、x が整数という条件がなければ、上限の比較は実数の範囲で行います。個数という場面から整数性を確かめることも、計算の一部です。

誤答から単位と順序を直す

基本例題で P の紙を「2・2 + 1・1 = 5」としたとします。これは X と Y の分だけを数え、Z の3個を落とした誤答です。図3のように Z の数量と紙の単位量をつなぎ直すと、6枚が不足していると見えます。図3では、3個それぞれが紙2枚を使うという内訳を表しています。

正しくは5 + 3・2 = 11枚です。原因は積の項の数を途中で止めたことにあります。修正するときは、数量表の行にある品目の見出しに印を付け、単位量表の同じ品目の値へ順に線を引きます。3品目なら3項があることを確認し、最後に枚という単位を書きます。

もう1つの誤りは、単位量表の行を Y、X、Z の順に並べ替えたのに、数量表の列は X、Y、Z のまま掛けることです。内側の数がどちらも3であっても、異なる品目どうしが対応します。表を掛ける前に名称を照合し、どちらか一方を正しい順に並べ直します。数値が偶然同じになる場合もあるため、結果の大小だけでは誤りを発見できません。

練習問題

次の5問はいずれも自作の設定です。余分な材料の使用はないものとし、数量は示した順で対応させます。答えは単位付きの整数で示してください。

拠点 M、N で品目 D、E をそれぞれ M は3個、2個、N は1個、4個作ります。1個あたりのシールとひもは D が2枚と4 m、E が3枚と1 mです。拠点別の必要量を求めてください。
机 J、K で品目 F、G、H を J は2個、0個、1個、K は1個、3個、2個用意します。1個あたりのカードと糸は F が1枚と2 m、G が4枚と1 m、H が2枚と3 mです。机別の必要量を求めてください。
部屋 L で品目 I、J を4個、3個作ります。1個あたりの紙と棒は I が紙2枚と棒1本、J が紙1枚と棒2本です。在庫が紙12枚、棒9本のとき、材料別の残量または不足量を求めてください。
場所 O で品目 K、L を2個、y個作ります。y は0以上の整数です。1個あたりの布とひもは K が3 mと1 m、L が2 mと2 mです。布14 m、ひも10 mの上限を両方守る y の最大値を求めてください。
会場 V、W の品目 P、Q の数量は V が1個、5個、W が3個、2個です。P は紙4枚とテープ2 m、Q は紙1枚とテープ3 mを1個あたりに使います。2会場の紙の合計とテープの合計を求めてください。

練習問題の解答と解き方

行を M、N、列を D、E とし、単位量表は行を D、E、列をシール、ひもとします。

[ 3  2 ] [ 2  4 ]   [ 3・2 + 2・3  3・4 + 2・1 ]
[ 1  4 ] [ 3  1 ] = [ 1・2 + 4・3  1・4 + 4・1 ]
                       = [ 12  14 ]
                         [ 14   8 ]

M は12枚と14 m、N は14枚と8 mです。M のシールは D に6枚、E に6枚、N のひもは D に4 m、E に4 mと戻して確認できます。

行を J、K、列を F、G、H とすると次の積です。

[ 2  0  1 ] [ 1  2 ]   [ 2・1 + 0・4 + 1・2  2・2 + 0・1 + 1・3 ]
[ 1  3  2 ] [ 4  1 ] = [ 1・1 + 3・4 + 2・2  1・2 + 3・1 + 2・3 ]
             [ 2  3 ]
                         = [  4   7 ]
                           [ 17  11 ]

J は4枚と7 m、K は17枚と11 mです。J の G は0個なので両材料への寄与が0です。K のカードは1枚、12枚、4枚の合計17枚、糸は2 m、3 m、6 mの合計11 mです。

行列の積と在庫との差は次のようになります。

[ 4  3 ] [ 2  1 ] = [ 4・2 + 3・1  4・1 + 3・2 ]
           [ 1  2 ] = [ 11  10 ]
[ 12  9 ] - [ 11  10 ] = [ 1  -1 ]

紙は1枚残り、棒は1本不足します。紙は8枚と3枚で11枚、棒は4本と6本で10本必要なので、元の在庫との差も一致します。

必要量を作って各上限と比べます。

[ 2  y ] [ 3  1 ] = [ 6 + 2y  2 + 2y ]
           [ 2  2 ]
6 + 2y ≤ 14
2y ≤ 8
y ≤ 4
2 + 2y ≤ 10
2y ≤ 8
y ≤ 4

最大は4個です。K と L の内訳に戻すと布は6 mと8 m、ひもは2 mと8 mで、両方とも上限と一致します。5個では布16 m、ひも12 mとなって両方の上限を超えます。

会場別に集計した後、同じ材料の列を足します。

[ 1  5 ] [ 4  2 ] = [ 1・4 + 5・1  1・2 + 5・3 ]
[ 3  2 ] [ 1  3 ]   [ 3・4 + 2・1  3・2 + 2・3 ]
                     = [  9  17 ]
                       [ 14  12 ]
紙 = 9 + 14 = 23 枚
テープ = 17 + 12 = 29 m

品目別に合算しても P は4個、Q は7個です。紙は4・4 + 7・1 = 23枚、テープは4・2 + 7・3 = 29 mとなり、会場別の集計と一致します。