高校数学II 対数関数と方程式・不等式—定義域と増減を使って解の候補を絞る｜武蔵野個別指導塾

真数条件で方程式の候補を絞り、底が1未満の対数不等式では増減に応じて解の範囲を定めます。

よくあるのは、対数方程式を解いて出た値を、真数が正になるか確かめずに答えへ入れる場面です。計算途中で得た二次方程式には、もとの対数が定義されない値が混ざることがあります。紙の端に真数条件を先に書いておけば、候補を選ぶ基準が残ります。

ここでは対数関数のグラフと増減を使い、方程式と不等式を解きます。底が1より大きい場合と、0より大きく1より小さい場合の両方を扱います。常用対数を使う桁数の計算は扱いません。

定期テストで見たい3つの型

1つ目はグラフを読み取る型です。底の大小から右上がりか右下がりかを判断し、(1, 0) を通ることや、横軸の正の側にしかグラフがないことを確かめます。座標を求めるときは、対数を指数の式に戻すと数の対応を追えます。

2つ目は対数方程式です。真数に文字があるときは、計算に入る前にそれぞれの真数が正である条件を書きます。同じ底の対数を比較したり、対数を1つにまとめたりした後に候補を求め、最初の条件へ戻します。候補が複数出ても、全部が答えになるとは限りません。

3つ目は対数不等式です。真数の大小と対数の大小が同じ向きになるか、反対向きになるかは底で決まります。その後、真数条件との共通範囲を取ります。不等号に等号があるかどうかと、真数が0になる点を含めないことも別々に見ます。

底と真数からグラフを読む

a > 0、a ≠ 1、M > 0 のとき、logₐ M = p は aのp乗 = M を意味します。aを底、Mを真数と呼びます。真数が0以下では、ここで扱う実数の対数は定義されません。底にも正で1以外という条件が必要です。

たとえば log₂ 8 = 3 なのは、2³ = 8 だからです。反対に、log₁/₂ 4 = -2 なのは、(1/2)の-2乗 = 4 だからです。式の読み方は同じでも、底が1より小さいと、指数が大きくなるにつれて得られる正の数は小さくなります。

図1のように、y = log₂ x は右上がり、y = log₁/₂ x は右下がりです。どちらも x > 0 で定義され、(1, 0) を通ります。x = 0 は縦軸上の境界で、グラフは縦軸と交わりません。点 (2, 1) と (2, -1) は、それぞれ 2¹ = 2、(1/2)の-1乗 = 2 に対応します。

図1では同じ x に対して上下の位置を比べられます。底が1より大きいと、正の範囲で真数が大きいほど対数も大きくなります。底が0と1の間なら、真数が大きいほど対数は小さくなります。これは指数関数の増減を、入力と出力を入れ替えた対数の対応に戻して考えたものです。

同じ底の対数の値が等しい場合、どちらの底でも真数は等しくなります。異なる正の真数が同じ対数値を持てないからです。ただし、この対応を使う前提として、比べる真数は両方とも正でなければなりません。グラフの横軸を左へ延ばして負の真数を読むことはできません。

不等式では等号の場合も確認します。底が1より大きいと logₐ U > logₐ V は U > V と同値です。0 < a < 1 なら同じ条件は U < V と同値です。いずれも U > 0、V > 0 のもとでの話です。式だけを覚えず、図の右側に進んだときの高さを指で追うと、向きを確かめられます。

基本例題：候補を真数へ戻す

問題　方程式 log₂ (x − 1) + log₂ (x − 3) = 3 を解き、答えを整数で表してください。

最初に、2つの真数がともに正という条件を置きます。

x − 1 > 0、x − 3 > 0

したがって x > 1 かつ x > 3 なので、共通範囲は x > 3 です。x = 3 は真数が0になるため入りません。条件を先に書くのは、後の因数分解で元の式に入れられない値が現れるためです。

真数が正の範囲では、対数の和を積の対数にまとめられます。

log₂ {(x − 1)(x − 3)} = 3

指数の式に直すと、真数は 2³ です。よって次のように進みます。

(x − 1)(x − 3) = 8

x² − 4x + 3 = 8

x² − 4x − 5 = 0

(x − 5)(x + 1) = 0

x = 5 または x = -1

図2のように、二次方程式から出た2つはまず候補です。x > 3 に入るのは x = 5 です。x = -1 では2つの真数がそれぞれ -2、-4 となり、対数を定義できません。積が正の8になることだけでは、それぞれが正である保証にならない点に注意します。

採用した x = 5 を元の式へ戻すと、真数は4と2です。log₂ 4 = 2、log₂ 2 = 1 なので左辺は 2 + 1 = 3 となり、右辺と一致します。したがって答えは x = 5 です。

この確認は、元の式を満たす候補を選べたかを見る作業です。条件のもとで使った積の性質と二次方程式の解き方を示したうえで代入するので、単なる当てはめに頼らず、他の解がないことも説明できます。途中で候補を見つけたら、答えの欄に移す前に元の真数を計算する習慣をつけます。

底が1未満の不等式に進む

問題　不等式 log₁/₂ (x + 2) ≥ log₁/₂ (2x − 1) を解き、答えを不等式で表してください。

まず真数条件は x + 2 > 0、2x − 1 > 0 です。それぞれ x > -2、x > 1/2 なので、共通範囲は x > 1/2 です。2つの条件を別々に出してから共通部分を取ります。

底 1/2 は0より大きく1より小さいため、対数関数は減少します。同じ底の対数を外すと、真数の大小は逆向きです。等号はそのまま残して、

x + 2 ≤ 2x − 1

3 ≤ x

となります。これと真数条件 x > 1/2 の共通部分は x ≥ 3 です。x = 3 のとき真数はどちらも5で、元の両辺は等しくなります。よって端点の3を含めて x ≥ 3 です。

たとえば x = 4 では真数が6と7です。底が1未満なので、6の対数は7の対数より大きく、元の不等式に合います。一方、条件内の x = 2 では真数が4と3になり、左辺は右辺より小さいので含まれません。例で向きを点検できますが、範囲の全体については減少性と共通部分から結論しています。

真数条件を忘れて x ≥ 3 と偶然同じ答えに着いたとしても、手順は完成していません。別の問題では真数条件が答えの端を決めます。また、対数を外した後に不等号を逆にするのは、底が1未満の減少関数だからです。底が変われば判断も変わるので、まず底の位置を確認します。

間違いを図でほどく

図3のような誤答を考えます。log₂ (x − 1) = log₂ (5 − x) から x − 1 = 5 − x として x = 3 を求めた後、真数条件を調べずに作業を終える例です。この場合は3が実際に答えですが、条件を確認しないままの方法では、別の式で定義されない候補を除けません。

先に x − 1 > 0 と 5 − x > 0 を立てると、1 < x < 5 です。等しい底の対数の等式から x − 1 = 5 − x、2x = 6、x = 3 となり、この値は範囲内です。元の真数も両方2になるので、確かに両辺は等しくなります。図3では「候補を出す」矢印の後に、条件と照合する段階を置いています。

次に、不等号を変え忘れる誤答も見ます。底が1/2のとき、真数が2と4なら log₁/₂ 2 = -1、log₁/₂ 4 = -2 です。2 < 4 なのに -1 > -2 ですから、真数の大小と対数の大小は逆になります。数を1組入れて増減を点検し、それから一般の不等式の向きを直します。

もう1つの落とし穴は真数の境界です。log₂ (x − 4) があるとき、x = 4 では真数が0なので式自体が定義されません。後で「以上」という不等号が現れても、真数条件の x > 4 を満たさない点は含めません。等号を含むかは、元の不等式と定義域の両方で決めます。

練習：式と条件を別々に追う

次の4問を解いてください。対数が定義される範囲を示し、答えは指定された形で表します。先に問題をまとめて解き、後の解答と照らしてください。

1. 方程式 log₃ (x + 1) = 2 を解き、答えを整数で表してください。
2. 方程式 log₂ (x + 2) + log₂ (x − 4) = 4 を解き、答えを整数で表してください。
3. 不等式 log₁/₃ (x − 2) > -1 を解き、答えを不等式で表してください。
4. 不等式 log₄ (x + 1) ≤ log₄ (7 − 2x) を解き、答えを不等式で表してください。

解答と途中式

1. 真数条件は x + 1 > 0、すなわち x > -1 です。指数に戻すと x + 1 = 3² = 9 なので x = 8 です。8は条件を満たし、元の真数9の対数は2です。答えは x = 8 です。

2. 真数条件は x + 2 > 0、x − 4 > 0 から x > 4 です。この範囲で和をまとめ、指数へ戻します。

log₂ {(x + 2)(x − 4)} = 4

(x + 2)(x − 4) = 16

x² − 2x − 8 = 16

x² − 2x − 24 = 0

(x − 6)(x + 4) = 0

候補は x = 6、-4 です。条件 x > 4 に入るのは6で、-4では真数がともに負です。x = 6 を元の式に戻すと真数は8と2で、左辺は3 + 1 = 4です。答えは x = 6 です。

3. 真数条件は x − 2 > 0、つまり x > 2 です。-1 = log₁/₃ 3 と書き、底が1未満のため不等号を逆にすると x − 2 < 3 です。x < 5 と真数条件を合わせ、答えは 2 < x < 5 です。右端の5では両辺が等しく、左端の2では真数が0ですから、どちらも含めません。範囲内の x = 3 では真数1、左辺は0で、0 > -1 を満たします。

4. 真数条件は x + 1 > 0、7 − 2x > 0 から -1 < x < 7/2 です。底4は1より大きいため、不等号の向きは変わりません。

x + 1 ≤ 7 − 2x

3x ≤ 6

x ≤ 2

共通部分は -1 < x ≤ 2 です。x = 2 では真数がともに3で等号が成立します。x = -1 は真数が0になるため入りません。たとえば x = 0 では真数が1と7で、増加性から元の不等式を満たします。

解き直すときの視点

練習1では右辺の2を指数として読み、底3の何乗かに戻しました。対数の値と真数を同じものとして扱うと x + 1 = 2 としてしまいます。対数の値が指数であることを、3² = 9 と併記して確認します。真数9は正なので、求めた8は式の出発点にも戻せます。

練習2の -4 は、積だけを見れば16になります。ところが元の2つの真数は -2 と -8 です。負の数どうしの積が正でも、元の2つの対数は定義されません。積の対数への変形を使う前の条件と、変形した後に得た候補の両方を別々に残すと、どこで除外するかが明確になります。

練習3で左端の2を含まない理由は、右辺との大小に等号があるかどうかではありません。x = 2 では左辺の真数が0になり、比較自体ができないからです。右端の5は左辺が -1 となる点で、こちらは厳密な不等号が除外の理由です。同じ開いた端点でも理由が異なります。

練習4では、真数条件だけでは -1 < x < 7/2 までしか決まりません。増加性から出た x ≤ 2 と重ねて初めて答えが出ます。x = 3 は真数条件に入りますが、真数は4と1です。底4の対数では左辺が1、右辺が0となり、不等式を満たしません。定義されることと、問題の条件を満たすことは別の確認です。

対数の値を具体的に計算しにくい場合でも、同じ底で真数が正なら増減で大小を比べられます。反対に、真数が正かどうか不明なまま比較の規則を使うことはできません。式が長いときほど、真数ごとに条件を書き、最後にまとめる順番が役立ちます。

対数の式を変形するたびに条件を書き直す必要はありませんが、途中で消さずに見える位置へ残します。答えを書く直前に、その条件を満たすか点検してください。計算で得た候補が残らなければ、元の方程式の解はありません。

持ち帰る4行

真数はそれぞれ正、底は正で1以外です。
底が1より大きければ対数は増加、0と1の間なら減少します。
方程式の候補は元の真数条件へ戻します。
不等式の結果は定義域と重ね、端点も確かめます。

どこで止まったかを見分ける

グラフの右上がりと右下がりを取り違える場合は、同じ底で真数を2つ選び、指数に戻して高さを比較します。真数条件は書けるのに答えに反映できない場合は、条件と計算結果を数直線に別々に描き、共通部分を指さして説明します。

個別指導で確認するときは、候補を出す式変形だけでなく、なぜ除外した値では元の対数を書けないのかまで言葉にしてもらいます。端点を含む理由も元の不等号と真数の両方から説明できれば、次の問題でも条件を自分で扱えます。対数の答えは、定義される範囲に戻して初めて決まります。