高校数学II 円と直線の交点—代入後の二次方程式から共有点の座標を求める｜武蔵野個別指導塾

代入後の横座標から縦座標を復元し、弦の中点と長さを求め、縦の直線や共有点がない場合も両方の式に戻して点検します。

よくあるのは、円と直線の式を連立して横座標を求めたところで、答えを書き終えたと思ってしまう場面です。交点は数1個ではなく、横座標と縦座標を組にした点です。求めた値を直線の式に戻し、対応する縦座標をそれぞれ求めます。さらに両方の式に代入すれば、計算途中の符号の誤りにも気づけます。

要点（結論から）

• 直線の式を円に代入し、残った座標の実数解を求めます。
• 解ごとにもう一方の座標を復元し、両方の式に戻します。
• 異なる2点があるとき、中点と距離の式で弦を調べます。

どこまで求める問題か

円と直線の交点を求める問題では、まず直線の式を円の式へ代入します。残った文字の二次方程式を解き、その解に対応するもう一方の座標を復元します。異なる2点があれば、その2点を結んだ線分は弦です。中点や長さも、交点の座標から計算できます。

別の型では、直線が縦向きです。このとき傾きを使ってy = mx + nと表そうとせず、x = 定数を直接代入します。横座標が共通でも、縦座標は2通りあり得ます。また、代入後の方程式に実数解がないなら共有点はありません。重解なら共有点は1個です。弦の中点や長さを求める問いでは、異なる2点が得られるかも先に確かめます。

ここでは実際の座標と弦の計算を中心に扱います。直線に文字定数を含め、接するための値を分類する問題には立ち入りません。

共有点を式でとらえる

中心C(a, b)、半径rの円は、r > 0のとき (x − a)² + (y − b)² = r² と表されます。円周上の点は、この等式を満たす点です。直線の式も同時に満たす点が共有点です。図1のように、直線が円を横切るとき、2つの共有点A、Bを結ぶ線分ABが弦になります。

図1ではMが弦ABの中点です。中心から弦の中点へ引いた直線は弦に垂直です。実際、CA = CBは半径、MA = MBは中点の定義、CMは共通なので、三角形CMAと三角形CMBは3辺がそれぞれ等しく合同です。隣り合う角CMAと角CMBは等しく、和が180度なのでそれぞれ90度です。中心が弦上にある場合はMとCが一致し、垂線CMは定まりませんが、弦は直径です。

直線がy = mx + nなら、これを円のyに代入するとxの二次方程式になります。x²の係数は1 + m²で正なので、二次方程式です。それぞれの実数解xに対してyは直線の式から1つに決まります。したがって異なる実数解が2個なら交点は2個、重解なら1個、実数解がなければ0個です。代入は直線の式をそのまま使った同値な変形なので、得た点を円と直線の両方に戻して確認できます。

縦の直線x = cでは、xにcを代入してyの方程式を解きます。どちらの向きでも、座標の組を作る段階まで省かないことが重要です。異なる交点をA(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)とすると、中点は ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)、長さは √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) です。差の順序を両方で逆にしても、二乗するので長さは変わりません。

基本例題：代入して座標を戻す

円 x² + y² = 25 と直線 y = x + 1 の交点を座標で求め、弦の中点を座標で、長さを根号を用いて求めてください。

直線のyを円に代入し、xについて解きます。

x² + (x + 1)² = 25
2x² + 2x + 1 = 25
2x² + 2x - 24 = 0
x² + x - 12 = 0
(x + 4)(x - 3) = 0
x = -4 または x = 3

x = -4を直線に戻すとy = -3、x = 3を戻すとy = 4です。交点はA(-4, -3)、B(3, 4)です。図2のように、2点とも直線と円の上にあります。Aについて16 + 9 = 25、Bについて9 + 16 = 25で、円の式にも戻ります。

中点Mと長さABは次のように求まります。

M = ((-4 + 3)/2, (-3 + 4)/2)
  = (-1/2, 1/2)
AB = √((3 + 4)² + (4 + 3)²)
   = √(49 + 49)
   = 7√2

中点は直線上にあり、0から各座標への移動が円の中心からの距離を表します。中点と中心の距離の二乗は1/2、弦の半分の長さの二乗は49/2です。和は25で半径の二乗に一致します。これは答えの整合性を確かめる別の見方です。

標準例題：縦の直線と弦

円 (x − 2)² + (y + 1)² = 20 と直線 x = 4 の交点を座標で求め、弦の中点と長さをそれぞれ座標、整数で求めてください。

直線は縦なので、x = 4を直接代入します。

(4 - 2)² + (y + 1)² = 20
4 + (y + 1)² = 20
(y + 1)² = 16
y + 1 = 4 または y + 1 = -4
y = 3 または y = -5

交点は(4, 3)、(4, -5)です。どちらもx = 4を満たし、円では4 + 16 = 20となります。中点は(4, -1)、長さは |3 − (-5)| = 8です。中心(2, -1)から中点までの横の距離は2で、弦の半分は4です。2² + 4² = 20も成り立ちます。

傾きの式に直してから代入しようとすると、縦の直線には傾きが定まらず手が止まります。直線の式が与える座標をそのまま固定すれば、横向きの直線でも縦向きの直線でも同じ方針で計算できます。

発展例題：交点から弦の長さを二通りに見る

円 (x − 1)² + (y − 2)² = 25 と直線 y = -x + 4 の交点を座標で求め、弦の中点と長さを座標、根号を用いて求めてください。

代入後、平方を展開して整理します。

(x - 1)² + (-x + 2)² = 25
x² - 2x + 1 + x² - 4x + 4 = 25
2x² - 6x - 20 = 0
x² - 3x - 10 = 0
(x - 5)(x + 2) = 0
x = 5 または x = -2

直線に戻すと、順にy = -1、y = 6です。交点は(5, -1)、(-2, 6)です。円への代入ではそれぞれ16 + 9 = 25、9 + 16 = 25です。直線の式も両点で満たします。

M = ((5 - 2)/2, (-1 + 6)/2)
  = (3/2, 5/2)
AB = √((-2 - 5)² + (6 + 1)²)
   = √98
   = 7√2

別の確かめ方として、中心C(1, 2)から中点Mへの距離の二乗は(1/2)² + (1/2)² = 1/2です。中心と中点を結ぶ直線の傾きは1、弦を含む直線の傾きは-1なので垂直です。半径の二乗25から1/2を引くと、半弦の長さの二乗は49/2となり、弦の長さは2√(49/2) = 7√2です。

この方法は中点が中心と異なり、2交点が存在するこの場面で使えます。長さだけを求めるなら中心から直線への距離を使う道もありますが、交点の座標そのものは別に求める必要があります。中心から直線までの距離が半径を超える場合、平方根の中を負にしたまま実数の長さとはできません。共有点の有無を先に調べます。

計算を短くするときの確認

2交点の横座標が先に求まった場合、中点の横座標はその平均です。直線がy = mx + nであれば、2つの縦座標の平均も、その横座標の平均を直線に代入した値になります。これは、2つの式y₁ = mx₁ + n、y₂ = mx₂ + nを足して2で割れば確かめられます。中点を求めるために縦座標を別々に計算しない方法ですが、交点自体を答える問いでは各縦座標も必要です。

交点を先に求めた後なら、弦の長さは座標の差から直接求められます。一方、中心から直線への距離がすでに得られている場合は、中心、弦の中点、交点が作る直角三角形を使えます。半径をr、中心から直線までの距離をdとすると、2点で交わる場合の半弦の長さは√(r² − d²)です。d < rを確認してから2倍します。d = rなら共有点は1個、d > rなら共有点はありません。どちらも異なる2点を端とする弦の長さとして計算を続ける場面ではありません。

特に、距離とその二乗を取り違えないでください。半径も距離も負でないので、dとrを比べる方法と、d²とr²を比べる方法は一致します。しかしd²とrを比べると単位も揃わず、正しい判定になりません。中間結果が分数や根号でも、最後まで正確な形で計算すれば境目を誤って丸める心配がありません。

誤答を点に戻して直す

基本例題で「x = -4, 3だから交点は(-4, 3)」とする誤答を考えます。図3のように、この組は2つの解を1点の横座標と縦座標に混ぜたものです。(-4, 3)は円の式を満たしますが、直線では3 = -4 + 1が成り立ちません。片方の式だけで確認すると誤りを見逃します。

図3の各解から、同じ点の縦座標を直線の式で求め直します。x = -4ならy = -3、x = 3ならy = 4です。この対応を表に書くと、2点を取り違えずに済みます。円にも代入してから、点の形で答えます。

実数解がない式を無理に因数分解して点を作ることも誤りです。例えば、ある代入結果がy² = -1なら、実数の二乗は負にならないため実数解はありません。重解を得たときも、同じ座標を2回書いて異なる2点と数えないようにします。共有点の個数と、弦が定まるかを分けて判断してください。

手を動かす5問

次の問題はそれぞれ独立しています。交点は座標で答え、長さが求められている場合は整数または根号で表してください。共有点がない場合も、そのことを答えてください。

1. 円 x² + y² = 13 と直線 y = x + 1 の交点を求めてください。
2. 円 (x + 1)² + (y − 2)² = 25 と直線 x = 2 の交点、弦の中点、長さを求めてください。
3. 円 x² + y² = 9 と直線 y = 3 の共有点を求めてください。
4. 円 (x − 2)² + (y + 1)² = 4 と直線 x = 5 の共有点を求めてください。
5. 円 (x + 2)² + (y − 1)² = 20 と直線 y = x + 3 の交点、弦の中点、長さを求めてください。

解答と確かめ

1. 直線を代入して整理します。

x² + (x + 1)² = 13
2x² + 2x - 12 = 0
x² + x - 6 = 0
(x + 3)(x - 2) = 0
x = -3 または x = 2

直線に戻すとy = -2または3です。答えは(-3, -2)、(2, 3)です。それぞれ円では9 + 4 = 13、4 + 9 = 13で、直線も満たします。

2. x = 2を代入します。

(2 + 1)² + (y - 2)² = 25
(y - 2)² = 16
y - 2 = 4 または y - 2 = -4
y = 6 または y = -2

交点は(2, 6)、(2, -2)、中点は(2, 2)、長さは8です。2点ともx = 2で、円の左辺は9 + 16 = 25です。縦座標の差も8です。

3. y = 3を代入します。

x² + 3² = 9
x² = 0
x = 0

共有点は(0, 3)の1個です。円には0² + 3² = 9、直線にはy = 3を代入して確かめられます。重解は同じ点を2個生むわけではありません。

4. x = 5を代入します。

(5 - 2)² + (y + 1)² = 4
9 + (y + 1)² = 4
(y + 1)² = -5

実数の二乗は負にならないため、共有点はありません。直線上のどの点でも円の左辺は少なくとも9で、右辺4と一致しないことからも確かめられます。

5. y = x + 3を代入します。

(x + 2)² + (x + 2)² = 20
2(x + 2)² = 20
(x + 2)² = 10
x + 2 = √10 または x + 2 = -√10
x = -2 + √10 または x = -2 - √10

直線に戻すと交点は(-2 + √10, 1 + √10)、(-2 − √10, 1 − √10)です。中点は(-2, 1)です。座標の差を使えば長さは次のとおりです。

AB = √((2√10)² + (2√10)²)
   = √80
   = 4√5

両点では中心からの各座標の差がそれぞれ√10か-√10です。円の左辺は10 + 10 = 20で、直線にも戻ります。中点が中心なので、この弦は直径です。半径は√20 = 2√5であり、長さ4√5とも一致します。

要点

• 直線の式を円に代入し、残った座標の実数解を求めます。
• 解ごとにもう一方の座標を復元し、両方の式に戻します。
• 異なる2点があるとき、中点と距離の式で弦を調べます。
• 縦の直線、重解、実数解なしを区別します。

途中のどこで迷ったか

「この2つの数は2点の横座標ですか、それとも1点の座標ですか」と問い、代入後の文字が何を表すかを確認します。横座標ごとに直線の式へ戻す欄を作り、対応する組を口に出して読むと、解と点を区別できます。縦の直線では何を固定するかも確かめます。

個別指導で確かめるなら、まず円への代入式と展開後の符号を並べ、次に各点が2つの等式を満たすかを見ます。弦を求める場面では、2点が異なること、中点の各座標、距離で二乗する差の順に目を向けます。交点の座標は、元の条件へ戻して完成します。