高校数学II 円と直線の位置関係—判別式と中心からの距離で接する条件を照らす｜武蔵野個別指導塾

中心から直線までの距離と半径の二乗をそろえて判別式でも接点の個数を見極める、円と直線の位置関係です。

よくあるのは、高2の人が円と直線の接する条件を立てるとき、中心から直線までの距離の二乗を、そのまま半径と比べてしまう場面です。距離が3なら距離の二乗は9ですから、比較する二つの量をそろえなければ判定が変わります。接する場合を境に、2点で交わる場合と共有点がない場合も、同じ考え方で整理しましょう。

問いの形を見分ける

まず、与えられた円と直線について共有点が2個、1個、0個のどれかを問う形があります。座標をすべて求めなくても、中心から直線までの最短距離と半径を比べれば個数が決まります。円が標準形なら中心と半径がすぐに読めるので、距離を使う方法が見通しのよい選択です。

次に、直線に含まれる実数を動かし、接する値や2点で交わる範囲を問う形があります。等号が接する境目であり、範囲を答えるときは境界を含むかまで区別します。二乗した式を解いてから元の距離に戻すと、符号の落とし間違いも調べられます。

もう一つは、直線と円を連立した二次方程式の判別式で調べる形です。共有点の個数は実数解の個数に対応します。ただし、直線をy = mx + nと表す方法では縦の直線を表せません。縦の直線を含む問いでは、先に別扱いするか、一般形を使う必要があります。交点の具体的な計算や弦の長さはここでは必要な確認にとどめます。

距離と判別式が示す三つの関係

中心C(a, b)、半径rの円を考えます。r > 0とし、直線をAx + By + C = 0とします。ここでAとBが同時に0でないことが必要です。この条件のもと、中心と直線の距離dは次の式で表せます。

d = |Aa + Bb + C|/√(A² + B²)

分母は正で、dは0以上です。中心から直線に下ろした垂線の足をHとすると、直線上の点Pに対し、三平方の定理からCP² = CH² + HP²です。よってCP² = r²を満たす点の個数は、HP² = r² − d²を満たす点の個数に変わります。

図1のように、d < rならHから両側に同じ正の距離だけ離れた2点があり、d = rならH自身の1点です。d > rならHP²が負になる必要があるため、共有点はありません。直線が中心を通るd = 0の場合も、r > 0なので2点で交わります。

等号のときが接する場合で、Hが接点です。二乗して判定するなら、dもrも負でないことから、d² < r²、d² = r²、d² > r²をそれぞれ比べても同じ結論です。d²とrを比べるのは長さの二乗と長さを混ぜることになるので避けます。円の右辺にある数が半径そのものか半径の二乗かも、最初に書き出して区別しましょう。

一方、直線がy = mx + nの形なら、円の式へ代入してxについての二次方程式を得ます。x²の係数は1 + m²で正なので、二次の項は消えません。判別式をDとするとD > 0、D = 0、D < 0が、それぞれ実数解2個、1個、0個に対応します。各xに対するyは直線から一意に決まるため、実数解の個数がそのまま共有点数です。

縦の直線x = kなら、円にx = kを代入してyについての二次方程式を調べます。こちらのy²の係数は1です。yについて解ける場合も含め、何を未知数とするかを明記すれば、判別式法でも縦の直線を除かずに済みます。

基本例題：平行な直線を動かす

円 (x − 1)² + (y + 2)² = 25 と直線 3x + 4y + t = 0 を考えます。tは実数です。共有点が2個、1個、0個となるtの範囲を、不等式または等式でそれぞれ答えましょう。

円の中心はC(1, -2)、半径は5です。直線の係数3と4は同時に0ではないので距離公式を使えます。中心と直線の距離をdとすると、図2のように垂線の長さと半径を比較できます。

d = |3・1 + 4・(-2) + t|/√(3² + 4²)
d = |t - 5|/5

2点で交わる条件を解きます。絶対値を外す際は両側の不等式にします。

d < 5
|t - 5|/5 < 5
|t - 5| < 25
-25 < t - 5 < 25
-20 < t < 30

接する条件と共有点がない条件も同じ基準で解きます。

d = 5
|t - 5| = 25
t - 5 = 25 または t - 5 = -25
t = 30 または t = -20

d > 5
|t - 5| > 25
t - 5 > 25 または t - 5 < -25
t > 30 または t < -20

したがって、共有点2個は -20 < t < 30、1個は t = -20 または t = 30、0個は t < -20 または t > 30 です。境界の両側を含めずに答える理由は、境界では距離がちょうど5になって接するからです。

元の図形にも戻しましょう。t = -20なら中心を代入した値は-25、t = 30なら25なので、どちらも距離は25/5 = 5です。たとえばt = 5では中心が直線上にあり、距離0で2点を通ります。t = 35では距離6となり、半径より遠いため交わりません。代表値の確認は計算の点検であり、範囲全体の根拠は上の不等式です。

標準例題：同じ境目を二つの方法で探す

円 x² + y² = 20 と直線 y = 2x + k について、接する実数kをすべて求め、接点を座標で答えましょう。円の中心は原点、半径は√20 = 2√5です。直線の傾きは2で確定しており、ここでは縦の直線を探す必要はありません。

まず距離を使います。直線を 2x − y + k = 0 と書き、中心からの距離を計算します。

d = |k|/√(2² + (-1)²)
d = |k|/√5

d = 2√5
|k|/√5 = 2√5
|k| = 10
k = 10 または k = -10

次に判別式で照合します。y = 2x + kを円に代入して整理します。

x² + (2x + k)² = 20
x² + 4x² + 4kx + k² = 20
5x² + 4kx + k² - 20 = 0

この二次方程式の判別式をDとすると、次のようになります。

D = (4k)² - 4・5・(k² - 20)
D = 16k² - 20k² + 400
D = 4(100 - k²)

接するにはD = 0なので、k² = 100、すなわちk = 10またはk = -10です。距離で得た2つの値と一致します。D > 0に当たる -10 < k < 10 では2点、D < 0に当たる k < -10 または k > 10 では共有点0個です。

接点は、二次方程式が重解を持つことを使います。k = 10のとき、次のように平方の形へ直します。

5x² + 40x + 80 = 0
5(x + 4)² = 0
x = -4
y = 2・(-4) + 10
y = 2

k = -10のときも同様です。

5x² - 40x + 80 = 0
5(x - 4)² = 0
x = 4
y = 2・4 - 10
y = -2

答えはk = 10のとき接点(-4, 2)、k = -10のとき接点(4, -2)です。どちらもx² + y² = 16 + 4 = 20を満たし、対応する直線にも代入できます。距離の等式から接点の存在を示し、その座標を両方の式に戻すところまでで、値と点の対応を確認できます。

距離法では式が短く、判別式法では接点の座標を求める計算につなげやすくなります。どちらも接するかを決める条件であり、一方で得たkだけを使ってもう一方の計算の符号を点検できます。

発展例題：縦の直線を含む場合分け

円 (x − 2)² + (y + 1)² = 16 と、実数sを用いた直線 sx + y − 3s + 1 = 0 を考えます。共有点が2個、1個、0個となるsの範囲をそれぞれ答えましょう。さらに、この直線の族と同じ定点を通る縦の直線も調べ、共有点の個数を答えましょう。

円の中心はC(2, -1)、半径は4です。直線のyの係数が1なので、どの実数sでも直線として成立します。距離をdとすると次の通りです。

d = |2s - 1 - 3s + 1|/√(s² + 1)
d = |s|/√(s² + 1)

分母は正です。両辺とも0以上であることを確かめてから二乗し、半径の二乗16と比べます。

d² = s²/(s² + 1)
16 - d² = (16(s² + 1) - s²)/(s² + 1)
16 - d² = (15s² + 16)/(s² + 1)
16 - d² > 0

よって、すべての実数sでd < 4です。2個となる範囲はすべての実数、1個と0個になるsはありません。接する条件を先に立てると、s² = 16(s² + 1)、つまり15s² + 16 = 0となり、実数解がないことからも境目の不存在が確認できます。

この結果には図形的な理由もあります。直線の式を s(x − 3) + (y + 1) = 0 と整理すると、どのsの直線もP(3, -1)を通ります。Pと中心との距離は1で、半径4より小さいのでPは円の内部です。内部の点を通る直線は、中心からの距離がその点までの距離以下となり、必ず2点で円周と交わります。

ただし、式のyの係数が1に固定されているため、定点Pを通る縦の直線 x = 3 は、この族のどの実数sでも表せません。この直線については別にx = 3を円へ代入します。

(3 - 2)² + (y + 1)² = 16
1 + (y + 1)² = 16
(y + 1)² = 15
y = -1 ± √15

縦の直線にも共有点が2個あります。得られた2点はいずれもx = 3を満たし、円の左辺は1 + 15 = 16です。文字の範囲を答えた後に、式で表せない直線を確認することが、直線の族を図形として読み取る際の大事な一手です。

二乗の比較を間違えたら

円 (x − 1)² + (y − 1)² = 9 と直線 y = 1 + √3 を考えます。中心はC(1, 1)、半径は3です。中心から直線までの距離は√3なので、図3のように直線は円を2点で横切ります。

誤答は「距離の二乗は3で半径も3だから接する」です。等しい数を見つけていますが、左辺は長さの二乗、右辺は長さです。等しい種類の量を比較していないため、接する根拠にはなりません。

修正するには、距離と半径を直接比べるか、両方を二乗して比べます。√3 < 3、または3 < 9なので、共有点は2個です。実際に直線の式を円へ代入すると、次のように異なる2つのxが得られます。

(x - 1)² + (√3)² = 9
(x - 1)² + 3 = 9
(x - 1)² = 6
x = 1 ± √6

どちらの点もy = 1 + √3を満たし、円へ戻すと6 + 3 = 9です。もし距離が3ならその二乗は9となり、半径の二乗と一致します。等号を使う前に、何を二乗した値かを式の横で確認しましょう。

練習：境界と表せない場合を調べる

次の5問は互いに独立した問いです。円の半径が正であることを読み取り、指定された形で答えてから下の解答と比べてください。

1. 円 (x + 2)² + (y − 1)² = 36 と直線 5x + 12y − 15 = 0 の共有点の個数を答えましょう。
2. 円 x² + y² = 9 と直線 y = -x + q が接する実数qを、根号を使ってすべて答えましょう。
3. 円 (x − 4)² + (y + 3)² = 25 と縦の直線 x = u の共有点が2個、1個、0個となる実数uの範囲をそれぞれ答えましょう。
4. 円 x² + y² = 13 と直線 y = 3x + h について、共有点が2個となる実数hの範囲を根号を使う不等式で答えましょう。
5. 円 (x + 1)² + (y − 2)² = 4 と直線 y = mx + 2 が接する実数mがあれば分数で、なければ存在しないと答えましょう。また、接点があれば座標で答えましょう。

練習の解答と確かめ

1. 中心の代入を先にする

中心は(-2, 1)、半径は6です。直線の係数5と12は同時に0でなく、距離の分母は13です。

d = |5・(-2) + 12・1 - 15|/√(5² + 12²)
d = |-13|/13
d = 1

1 < 6より共有点は2個です。円の中心と直線との距離が本当に1であることは、垂線の足 (-21/13, 25/13) を使っても確かめられます。この点は直線上にあり、中心からの座標差は (5/13, 12/13) なので、その距離は1です。半径6より短く、距離の符号を取り違えても答えは左右されません。

2. 絶対値の両側を残す

中心は原点、半径は3です。直線を x + y − q = 0 と書きます。

d = |0 + 0 - q|/√(1² + 1²)
d = |q|/√2
d = 3
|q| = 3√2
q = 3√2 または q = -3√2

どちらの値も距離を3にします。実際、接点はそれぞれ(q/2, q/2)で、x + y = qを満たし、x² + y² = q²/2 = 9です。距離が半径と等しいため、いずれも共有点はその1点です。

3. 縦の直線では横の差を使う

中心は(4, -3)、半径は5です。直線x = uまでの距離は |u − 4| なので、次の条件になります。

|u - 4| < 5
-5 < u - 4 < 5
-1 < u < 9

|u - 4| = 5
u - 4 = 5 または u - 4 = -5
u = 9 または u = -1

2個は -1 < u < 9、1個は u = -1 または u = 9、0個は u < -1 または u > 9 です。境界では円に代入すると (y + 3)² = 0となり、それぞれ(-1, -3)、(9, -3)で接します。これらの点を円に戻すと横の差の二乗が25となり、指定の直線上にもあります。

4. 判別式から範囲を出す

円にy = 3x + hを代入します。x²の係数10は正なので、実数解の個数を判別式で判定できます。

x² + (3x + h)² = 13
x² + 9x² + 6hx + h² = 13
10x² + 6hx + h² - 13 = 0
D = (6h)² - 4・10・(h² - 13)
D = 520 - 4h²

D > 0
520 - 4h² > 0
h² < 130
-√130 < h < √130

答えは -√130 < h < √130 です。中心から直線 3x − y + h = 0 までの距離は |h|/√10、半径は√13です。この距離が半径より小さい条件も |h| < √130 となり、円と直線の位置関係へ戻して同じ範囲を得られます。等号では接するので範囲に含めません。

5. 実数の傾きで得た接点を戻す

中心は(-1, 2)、半径は2です。直線を mx − y + 2 = 0 とすると、係数mと-1は同時に0になりません。

d = |m・(-1) - 2 + 2|/√(m² + 1)
d = |m|/√(m² + 1)

ここでd² = m²/(m² + 1) < 1です。半径2より常に短いので、接する実数mは存在せず、対応する接点もありません。直線は常に(0, 2)を通り、この点は中心から距離1の円内部にあります。したがって、元の図形でもどの実数mについても2点で交わります。分数を求めようとして無理に割り算を進めず、解が存在するか先に調べる問いです。

手元に残す要点

中心からの距離dと半径rを比べ、d < r、d = r、d > rで共有点数を分けます。 二乗して比べるならd²とr²を使い、距離と半径が負でないことを確かめます。 連立して得た二次方程式では、判別式の正・零・負が共有点数に対応します。 傾きで表せない縦の直線や、文字の範囲の境界は別に点検します。

式が止まった場所を聞き取る

共有点の個数が決められないときは、「円の右辺は半径ですか、半径の二乗ですか」と問い、中心と半径を書き出してみましょう。次に「直線までの距離に絶対値が必要なのはなぜですか」と尋ねると、負の値を距離のまま扱っていないか確認できます。距離の計算に進めなければ、係数が同時に0でないことと分母の平方根を一緒に点検します。

個別指導では、不等式の等号が接する境界に対応することを、1つの具体的な文字の値を代入して確かめます。判別式法を選んだ人には、解の個数と座標の個数が対応する理由を説明してもらい、縦の直線を扱えるかも確認します。比較する量をそろえ、図に戻して境界を読むと、円と直線の位置関係を筋道立てて判断できます。