高校数学II 二次方程式と解と係数の関係—解の種類と和や積を条件から求め分ける｜武蔵野個別指導塾

判別式が負のときの複素数解や、方程式を作る手順を途中式でたどります。そこで使う道具は解と係数です。

よくあるのは、高校生が二次方程式の判別式を計算して負になり、「解なし」と書いて手を止める場面です。実数の範囲では解がなくても、複素数の範囲では解を表せます。答案では、どの数の範囲で何を求められているかを最初に読み取ることが出発点です。さらに、2つの解を個別に求めなくても、その和と積から別の式を計算できる場合があります。

答案で切り替える3つの問い

定期テストの問題には、判別式で実数解の個数を調べたり、複素数の範囲で実際に解を求めたりする型があります。判別式の符号は解の種類を知らせますが、負になった時点で複素数解の計算が終わるわけではありません。問題が個数を聞いているのか、解そのものを聞いているのかに線を引いて読みます。

別の型では、2つの解を α、β と置き、α² + β² などの値を求めます。解の公式を使ってから計算することもできますが、和と積を先に求めると根号や虚数単位を含む計算を減らせます。最後に、指定された2つの数を解にもつ二次方程式を作る型もあります。このとき、解を代入して零になることまで確認すると、係数の符号の取り違えを見つけやすくなります。

扱うのは実数を係数とする二次方程式です。複素数の計算には触れますが、複素数を平面上の点として表す方法は使いません。問題ごとに求める数の範囲や、方程式の最高次の係数の指定を確かめて進めます。

判別式と解の和・積をつなぐ

実数 a、b、c に対し、a ≠ 0 の方程式 ax² + bx + c = 0 を考えます。a ≠ 0 が必要なのは、a = 0 なら二次方程式ではなくなるからです。判別式 D を b² − 4ac と置きます。解の公式の根号の中が D なので、その符号から次のように分類できます。

• D > 0：異なる2つの実数解があります。
• D = 0：2つの解が一致し、重解になります。
• D < 0：実数解はなく、異なる2つの複素数解があります。

図1のように、判別式はまず解の種類を分けます。D < 0 の場合は、i² = -1 を満たす虚数単位 i を用います。正の数 t に対して平方して -t になる数は i√t と -i√t です。このため、根号の中が負でも、複素数の範囲なら解の公式を使って解を書けます。

2つの解を α、β とすると、重解のときも同じ値を2回数えて、次の関係が成り立ちます。

α + β = -b/a

αβ = c/a

理由は、解を使って左辺を a(x − α)(x − β) と表し、展開すると ax² − a(α + β)x + aαβ になるからです。x の係数と定数項を元の式と比べれば、それぞれ -a(α + β) = b、aαβ = c です。a が零ではないため、a で割って上の2式を得ます。この関係は解が実数でないときも成立します。

和と積の符号に迷ったら、x の係数にはマイナスが付くことと、定数項には付かないことを別々に確かめます。最高次の係数が 1 でない場合は、どちらも a で割ります。先に式全体を a で割って x² の係数を 1 にしてから読む方法でも同じ結果です。

逆に、和が S、積が P の2数を解にもつ、x² の係数が 1 の方程式は x² − Sx + P = 0 です。2つの数を r、s と置き、(x − r)(x − s) を展開すれば確かめられます。和や積に根号が含まれても同じ形を使えますが、答えの係数を整数にする指定があれば、得られた係数がその条件を満たすか最後に調べます。

和と積を使うときの代表的な変形は、(α + β)² = α² + 2αβ + β² です。したがって α² + β² = (α + β)² − 2αβ となります。解を入れ替えても値が変わらない式は対称式と呼ばれ、和と積に直せると計算が短くなります。一方、α − β は順序を入れ替えると符号が変わるため、和と積から符号まで一意には決まりません。

基本例題：実数解がなくても和と積を求める

次の方程式を複素数の範囲で解き、2つの解を α、β として α² + β² を整数で求めます。解は i を使った正確な形で答えます。

2x² − 4x + 5 = 0

まず a = 2、b = -4、c = 5 です。判別式を計算すると、

D = (-4)² − 4 × 2 × 5

　 = 16 − 40

　 = -24

となります。負なので実数解はありません。しかし、求める範囲は複素数ですから、ここで「解なし」とは書きません。解の公式に係数を代入すると、

x = (4 ± √(-24))/4

　 = (4 ± 2i√6)/4

　 = 1 ± i√6/2

です。平方して -24 になる数を ±2i√6 と表し、分子と分母を 2 で割りました。図2のように、判別式の符号を読んだ後も、指定された数の範囲に応じて解を書き進めます。

この2つの解を α、β とします。順序はどちらでもよく、解と係数の関係から、

α + β = -(-4)/2 = 2

αβ = 5/2

です。したがって、対称式を変形すると、

α² + β² = (α + β)² − 2αβ

　　　　 = 2² − 2 × 5/2

　　　　 = -1

となります。複素数を平方して足すので、結果が負でも矛盾しません。個々の解からも、和は 2、積は 1 − (i√6/2)² = 5/2 と確かめられます。この和と積は、元の係数から得た値に戻っています。

解を求めずに和と積から計算するときにも、元の方程式が二次であるという条件は欠かせません。文字を含む問題で x² の係数が変化するなら、その係数が零になる場合を先に分けます。二次でない式には、このまま2解の和と積の公式を当てはめることができないためです。

解そのものの確認では、たとえば x = 1 + i√6/2 を代入して x² = -1/2 + i√6 と計算できます。すると 2x² − 4x + 5 = (-1 + 2i√6) − (4 + 2i√6) + 5 = 0 です。もう一方も i の符号が反対になるだけで同様に零になります。判別式で実数解の有無を判断することと、実際に複素数解を求めることは、それぞれ別の作業です。

発展例題：新しい解から方程式を作る

方程式 x² − 3x − 1 = 0 の2つの解を α、β とします。2α + 1、2β + 1 を解にもつ、x² の係数が 1 の二次方程式を作ります。係数は整数で答えます。

元の方程式について、解と係数の関係から、

α + β = 3、αβ = -1

です。新しい2つの数の和を S、積を P と置くと、

S = (2α + 1) + (2β + 1)

　= 2(α + β) + 2

　= 2 × 3 + 2 = 8

です。積は、かっこを展開してから和と積にまとめます。

P = (2α + 1)(2β + 1)

　= 4αβ + 2α + 2β + 1

　= 4αβ + 2(α + β) + 1

　= 4 × (-1) + 2 × 3 + 1 = 3

求める方程式は x² − Sx + P = 0 なので、

x² − 8x + 3 = 0

です。新しい解を r、s と書けば、(x − r)(x − s) = x² − (r + s)x + rs です。和に付く符号がマイナスになる理由は、この展開で確認できます。最高次の係数を 1 と指定されたため、この形に定まります。係数の指定がない場合は、左辺を零でない数倍した方程式も同じ解をもちます。

元の条件に戻して確かめます。α は α² − 3α − 1 = 0 を満たすので、x = 2α + 1 を作った方程式の左辺に入れると、

(2α + 1)² − 8(2α + 1) + 3

= 4α² − 12α − 4

= 4(α² − 3α − 1) = 0

です。β についても同様です。和と積の計算だけでなく、元の方程式の解から作った数が新しい式を満たすことまで確認できました。元の判別式は 13 なので α と β は異なり、2倍して 1 を足した後も異なります。

誤答を直す：和の符号と数の範囲

次の誤答を考えます。「3x² + 6x + 7 = 0 の2解の和は 6/3 = 2 で、判別式が負だから複素数の範囲でも解はない」。2か所に別々の誤りがあります。図3のように、和の符号と解を探す範囲を分けて直します。

まず、a = 3、b = 6 なので、解の和は -b/a = -6/3 = -2 です。x² の係数を 1 にすると x² + 2x + 7/3 = 0 ですから、和の符号が係数 2 と反対になることも読み取れます。積は 7/3 であり、和と積に同じ符号の規則を当てはめないようにします。

次に、D = 6² − 4 × 3 × 7 = -48 です。実数解はありませんが、複素数の範囲では x = (-6 ± 4i√3)/6 = -1 ± 2i√3/3 です。2つの和は -2、積は 1 + 4/3 = 7/3 となり、係数から求めた結果に一致します。どの段階で「実数解なし」と言い、どの段階で具体的な解を書くのかを答案上で分けます。

もう1つの落とし穴は、2つの解から新しい方程式を作るとき、和をそのまま x の係数にしてしまうことです。新しい解の和を S とすると、展開後の x の係数は -S です。積は定数項になるので、和と積を一度別々に書き、最後に符号を付けて配置します。

また、D = 0 を「解が2つあるから異なる」と扱うのも誤りです。重解は同じ数が2回現れる場合で、異なる実数解は1個です。和と積の式では、その同じ数を α と β の両方に入れます。問題が「異なる」と指定するかを見落とさないことが重要です。

練習：先に問題を読み、後で解答を比べる

次の4問は、それぞれ独立した問題です。複素数解は i を使い、分数や根号を含む値は正確な形で答えます。

1. x² + 2x + 10 = 0 を複素数の範囲で解き、実数解の個数も答えてください。
2. 3x² − 12x + 2 = 0 の2つの解を α、β とします。α² + β² を分数で求めてください。
3. 2つの数 4 + √2、4 − √2 を解にもつ、x² の係数が 1 の二次方程式を整数係数で作ってください。
4. 実数 k について、x² − 2kx + k + 2 = 0 が重解をもつ k と、そのときの重解をそれぞれ正確な形で求めてください。

1の解答

D = 2² − 4 × 1 × 10 = -36 です。負なので実数解は 0 個です。複素数の範囲では、

x = (-2 ± 6i)/2 = -1 ± 3i

となります。実際、x = -1 + 3i なら x² + 2x + 10 = (-8 − 6i) + (-2 + 6i) + 10 = 0 です。もう一方も i の符号を反対にして代入すると零になります。実数解の個数と複素数解を、異なる問いとして答えます。

2の解答

解と係数の関係から α + β = 12/3 = 4、αβ = 2/3 です。求める値は、

α² + β² = (α + β)² − 2αβ

　　　　 = 4² − 2 × 2/3

　　　　 = 44/3

です。積の分母 3 を落とさないため、まず和と積を別行に書きます。D = 120 > 0 なので解は 2 ± √30/3 です。この2数の和が 4、積が 4 − 30/9 = 2/3 となり、元の方程式の係数に対応することも確かめられます。

3の解答

指定された2数の和は 8、積は (4 + √2)(4 − √2) = 16 − 2 = 14 です。したがって求める式は x² − 8x + 14 = 0 です。

確認として左辺を (x − 4)² − 2 と変形します。x に 4 + √2 または 4 − √2 を入れると、どちらも (±√2)² − 2 = 0 です。もとの指定された2数を確かに解にもち、x² の係数も 1 です。

4の解答

x² の係数は k によらず 1 なので、どの実数 k でも二次方程式です。重解の条件 D = 0 を使います。

D = (-2k)² − 4(k + 2)

　 = 4(k² − k − 2)

　 = 4(k − 2)(k + 1)

よって k = 2 または k = -1 です。重解は -b/(2a) = k なので、順に 2、-1 です。元の方程式へ k = 2 を戻すと x² − 4x + 4 = (x − 2)² = 0、k = -1 を戻すと x² + 2x + 1 = (x + 1)² = 0 です。どちらも指定された重解をもち、他の k では D が零にならないため、条件を満たしません。

解き始めに残す4行

D の符号で実数解の種類を分け、負でも複素数解を調べます。
解の和は -b/a、積は c/a です。
対称式は和と積へ変形し、方程式は x² − 和 × x + 積 = 0 から作ります。
重解と係数の指定を確認し、答えを元の条件に戻します。

つまずいた場所を答案から探す

判別式は合っているのに解が書けない場合は、負の数の平方根を i を使って表すところからたどります。和と積は求まるのに対称式が合わない場合は、(α + β)² の展開で 2αβ が現れる理由を確認します。方程式を作る段階で止まったなら、2つの因数を展開し、和に付くマイナスを自分の言葉で説明できるかを見ます。

個別指導では、解答を見て正誤だけを伝えるのではなく、どの行まで根拠を話せるかを確かめます。実数解がないという判断から複素数解の計算へ進めるか、新しく作った数を方程式へ戻せるかを問い返すと、理解が途切れた位置が見えてきます。解の種類と係数の関係を結べば、答えの形を自分で選べます。