高校数学II 複素数の計算—虚数単位と共役な複素数を使って四則を整理する｜武蔵野個別指導塾

虚数単位の二乗を負の1に直し、共役な複素数を上下に掛ける計算を、積と商の途中式で追えます。

よくあるのは、高校生が積を展開し、最後に虚数単位の二乗を正の1にしてしまう場面です。展開の形が合っていても、i²の置き換えで符号が変わるため、実部が別の数になります。まずi² = -1を手元に置き、実数の項とiを含む項を分けて計算しましょう。

複素数の計算では、見慣れた整式の計算に加えて、割る数を零にしない条件も扱います。ここでは数をa + biの形に整理するところまでを扱い、複素数平面は扱いません。

テストで見分けたい計算の型

1つ目は、和・差・積を計算して実部と虚部を答える型です。括弧を外すときの符号と、積に現れるi²の処理が別々の確認点になります。実部と虚部は数そのものなので、虚部を答えるときはiを付けません。

2つ目は、分母にiを含む商をa + biの形に直す型です。分母と分子に同じ共役な複素数を掛けると、分母が実数になります。その前に元の分母が零でないことを確かめます。実数の分母になった後は、分子の各項をその数で割ります。

3つ目は、文字を含む複素数の等式から実数の値を決める型です。両辺を実部と虚部に分け、それぞれを等しいと置きます。文字が実数だと指定されているかを確認することで、実部と虚部を正しく読み取れます。

見た目が長い式でも、加減、展開、i²の置き換え、同じ種類の項の整理という順に分けると、間違えた場所を探しやすくなります。答えの形式に指定があるときは、最後にその形式になっているかも確認します。

iと共役をどう読むか

虚数単位iは、i² = -1を満たす数です。実数a、bを使ってa + biと表される数を複素数といいます。このときaを実部、bを虚部と呼びます。b = 0なら実数であり、実数も複素数に含まれます。a = 0でも実部は0です。たとえば3 − 2iの実部は3、虚部は-2で、虚部は-2iではありません。

実数a、b、c、dについて、a + bi = c + diとなることと、a = cかつb = dとなることは同じです。片方の成分が一致するだけでは等しいとはいえません。特にa + bi = 0なら、右辺を0 + 0iと見てa = 0、b = 0と判断します。

図1のように、複素数の実部はそのまま、虚部の符号を反対にした数を共役な複素数といいます。a + biの共役はa − biです。虚部が0なら、共役も元の実数と同じです。共役を掛けると、積は次のようになります。

(a + bi)(a − bi) = a² − (bi)² = a² + b²

図1の対応では、掛けた結果にiが残りません。a² + b²は実数であり、aとbが両方0の場合を除いて正です。したがって、零でない複素数を割るとき、共役を利用して分母を零でない実数にできます。

和と差では実部どうし、虚部どうしをまとめます。積では実数の式と同じ分配法則で各項を掛け、i²だけを-1に置き換えます。商では割る数が零でないことを先に調べ、分母と分子の両方に共役を掛けます。分母だけに掛けると元の値が変わるので、同じ零でない数を上下に掛けることが必要です。

計算を始める前の分岐

文字の入った分母では、数の分母と同じように零でないかを調べます。たとえば実数tについて分母がt + 2iなら、虚部が2なので、どの実数tでも分母は零になりません。一方、分母がt − 3であればt = 3で零になり、その値では商を作れません。計算の途中で分子と共通の因数が消えても、最初に除いた値は元の式に戻すと使えないままです。

共役は和の符号を機械的に入れ替える操作ではなく、実部を変えず虚部の符号を変える操作です。たとえば-4 − iの共役は-4 + iであり、4 + iではありません。元の数と共役を掛ければ16 + 1 = 17となります。実部の負号も変えてしまった場合は、この積が正の実数になるかを調べると、読み違いに気づけます。

iの累乗が続くときも定義に戻れます。i³ = i² × i = -i、i⁴ = i² × i² = 1です。これらはi² = -1から順に得られるので、符号を覚え違えた場合は2乗ずつ分けて直せます。複雑な式で途中の項が消えた場合も、その項が本当に反対符号の同類項と打ち消し合ったのかを確かめます。

基本例題：積と商を一歩ずつ整理する

次の2つを計算し、答えをa + biの形で表してください。ただしa、bは実数です。

1. (2 + 3i)(4 − i)

2. (2 + 3i) / (1 − i)

(1)は各項を掛けます。途中でiを含む項とi²を含む項を区別して書くと、置き換える場所が明確です。

(2 + 3i)(4 − i) = 8 − 2i + 12i − 3i² = 8 + 10i − 3 × (-1) = 11 + 10i

-3i²は、i²が-1なので正の3になります。実部は11、虚部は10です。展開後に虚部の係数を-2 + 12と足し、実部には8と3を集めました。

(2)の分母1 − iは実部が1で、零ではありません。その共役1 + iを分母と分子に掛けます。図2のように、上下の両方に同じ数を掛けることが商の値を保つ要点です。

(2 + 3i) / (1 − i) = {(2 + 3i)(1 + i)} / {(1 − i)(1 + i)} = (2 + 2i + 3i + 3i²) / (1 − i²) = (-1 + 5i) / 2 = -1/2 + (5/2)i

図2の分母は1 − i² = 2です。分子では2 + 3i² = -1となるので、正負の両方を確認してください。最後に2で割る対象は実部の-1と虚部の係数5の両方です。

答えを元の計算に戻す確認もできます。商の答えに1 − iを掛けると、(-1/2 + (5/2)i)(1 − i) = 2 + 3iです。割る数と商の積が元の分子に戻るため、分母を払う際の符号まで点検できます。この代入は計算の確認であり、共役を掛ける変形の理由は、上下に同じ零でない数を掛けたことにあります。

条件付きの商と実部の比較

実数xについて、(x + 2i) / (1 − 2i)が実数となるxを求め、そのときの商を実数で答えてください。

分母1 − 2iは零ではないので、共役1 + 2iを上下に掛けられます。xが実数であるため、整理後のiの係数を虚部として読むことができます。

(x + 2i) / (1 − 2i) = {(x + 2i)(1 + 2i)} / {(1 − 2i)(1 + 2i)} = (x + 2xi + 2i + 4i²) / (1 − 4i²) = {(x − 4) + (2x + 2)i} / 5 = (x − 4)/5 + {(2x + 2)/5}i

この商が実数であることは、虚部が0であることと同じです。そこで(2x + 2)/5 = 0を解き、x = -1を得ます。代入した商は(-1 − 4)/5 = -1です。

逆向きも確かめます。x = -1のとき、元の分子は-1 + 2iであり、これは分母1 − 2iの-1倍です。したがって元の商は確かに-1という実数です。虚部が0となる条件を解いたので、他の実数xが答えに混じることも、答えを取り逃すこともありません。

ここで実部を0と置くと、求める条件が変わります。実部を0とする条件は、一般には商が実数になる条件ではありません。問題文の「実数」を見たら、a + biが実数になるのはb = 0のときだと読み替えましょう。商が0の場合も実数に含まれるため、虚部が0という条件から除外しません。

誤答を見つけて直す

(3 + 2i)(3 − 2i)を、誤って9 − 4 = 5とする答案を考えます。和と差の積として9 − (2i)²までは正しいものの、(2i)²を4としたところに誤りがあります。実際には(2i)² = 4i² = -4です。

図3のように、引く対象の括弧を残して代入すると、9 − (-4) = 13になります。二乗したものを引く操作と、i²が負になることは別の符号です。符号が2回現れるので、暗算で一度に処理せずに書き分けてください。

図3の13は、共役の積の公式3² + 2²でも確認できます。ただし公式に入れる数は虚部の係数です。2iをそのまま実数の係数として代入せず、元の式からa = 3、b = 2を読みます。

もう1つの失敗は、分母の共役を分母にしか掛けないことです。たとえば分母を実数に変えても、分子がそのままなら別の値になります。分子と分母をそれぞれ括弧に入れ、両方に共役を書いてから展開すると抜けを防げます。さらに分母が文字を含むときは、共役を掛ける前に元の分母が零となる値を除きます。零による割り算は、後で式を短くできても定義されません。

練習問題

次の問題を先に解いてから、後の解答で途中式を確認してください。各問の文字は実数とします。複素数の答えはa + biの形、実数の答えは整数または分数で表してください。

1. (5 − 2i) + (3 + 7i)と(5 − 2i) − (3 + 7i)をそれぞれ求め、各答えの実部と虚部を答えてください。
2. (1 − 4i)(2 + 3i)を求めてください。
3. (4 + i) / (2 + i)を求めてください。
4. (p + 2) + (3p − q)i = 7 − 4iを満たすp、qを求めてください。

解答と確かめ方

1. 和は実部と虚部をそれぞれ足します。

(5 − 2i) + (3 + 7i) = 8 + 5i

実部は8、虚部は5です。差では後ろの括弧全体の符号を変えます。

(5 − 2i) − (3 + 7i) = 5 − 2i − 3 − 7i = 2 − 9i

実部は2、虚部は-9です。和から2つ目の数を引くと5 − 2iに戻り、差に2つ目の数を足しても5 − 2iに戻ります。括弧の前の引き算が各項に及んだかを、この逆算で点検できます。

2. 分配法則で4つの項を作ります。

(1 − 4i)(2 + 3i) = 2 + 3i − 8i − 12i² = 2 − 5i + 12 = 14 − 5i

元の両方の因数を展開して得た実部2 − 12i²は14、虚部の係数3 − 8は-5です。積を共役どうしと誤認すると中央の項を消してしまいますが、この2つの因数は共役ではありません。

3. 2 + iは零ではありません。共役2 − iを使います。

(4 + i) / (2 + i) = {(4 + i)(2 − i)} / {(2 + i)(2 − i)} = (8 − 4i + 2i − i²) / (4 − i²) = (9 − 2i) / 5 = 9/5 − (2/5)i

答えに元の分母を掛けると、(9/5 − (2/5)i)(2 + i) = 4 + iです。分母の5で虚部の係数も割ったことを確かめられます。2 + iが零でないので、この逆算は元の商の確認として使えます。

4. 左辺の実部はp + 2、虚部は3p − qです。右辺の実部7、虚部-4とそれぞれ等しく置きます。

p + 2 = 7

3p − q = -4

前の式からp = 5です。後の式に戻すと15 − q = -4なので、q = 19です。元の左辺に代入すると(5 + 2) + (15 − 19)i = 7 − 4iとなり、両方の成分が問題の右辺に一致します。pとqを逆に書くと元の等式を満たさないので、値と文字の対応まで確認してください。

練習の答えが一致しなかったときは、まず元の問題が和、差、積、商のどれかを見直します。和なのに各項を掛けたり、差の後ろの括弧にある1項だけ符号を変えたりすると、最後に整理し直しても正しい式には戻りません。次に実部と虚部を分け、数の足し引きとi²の処理のどちらでずれたかを特定します。

分数の答えは、分母を掛け戻して分子に戻るかを点検します。戻らなければ共役の符号、分子の展開、分母で割る範囲の順に見直します。掛け戻しで一致しても、元の分母が零なら商として使えません。条件の確認と計算の確認を別々に行うことが、文字を含む問題への備えになります。

手元に残す要点

実部と虚部はa + biのaとbです。 i² = -1を使い、積を実部と虚部に整理します。 零でない分母の共役を上下に掛けると分母が実数になります。 複素数の相等は実部どうし、虚部どうしの相等に分けます。

途中式からつまずきを見分ける

積の実部が合わないときは、展開の4項を作れたかと、i²を-1に直せたかを別々に見ます。4項がそろっていれば置き換えを、項が足りなければ分配法則を先に練習できます。虚部にiまで書いている場合は、a + biのbが何かを言葉で説明してみてください。

商が合わないときは、元の分母が零でない理由、共役を上下に掛ける理由、実数の分母で各項を割る手順を順に確かめます。個別指導では、生徒自身がどの行で何を掛けたかを説明し、最後に商と元の分母の積を元の分子に戻せるかまで確認できます。符号の根拠を1行ずつ言えれば、長い式でも修正する場所が見えてきます。