高校数学I 二次関数の頂点形式—平方完成した式と軸の位置を対応させて描く｜武蔵野個別指導塾

分数係数の平方完成を展開で点検し、括弧の符号と軸の位置へつなぐ頂点形式です。

よくあるのは、高1の本人が復習中に、平方完成した式の括弧にある符号をそのまま頂点の横座標に写してしまう場面です。例えば括弧が x + 2 なら、横座標を 2 と書きたくなるかもしれません。しかし、その括弧が 0 になるのは x = -2 のときです。式を展開できても、グラフの軸を反対側に描けば頂点の位置は変わります。括弧が 0 になる数を出発点にして、式と図の対応をたどりましょう。

式から図へ移るときの3つの問い

頂点形式を使う問題には、まず展開された式を平方完成し、頂点と軸を求めてグラフを描く型があります。次に、頂点形式から頂点と、その左右にある点を読み取り、点の高さを確かめる型があります。もう一つは、文字を含む式について、頂点が指定された直線上にある条件を調べる型です。いずれも、平方の部分が 0 になる横座標を見つけることが入口です。

必要な復習は、括弧の展開と分数の四則計算です。(x + p)² = x² + 2px + p² ですから、x の係数がわかれば、その半分を p に選びます。ただし x² の係数が 1 でないときは、先に x² と x の項からその係数をくくります。定数項までくくったつもりになって値を変える失敗を避けるため、どの項を括弧に入れたかを行ごとに見ます。

括弧が0になる場所を軸にする

実数 a、p、q について a ≠ 0 とすると、y = a(x − p)² + q は二次関数です。この形を頂点形式と呼び、頂点は (p, q)、軸は直線 x = p です。ここで扱う定義域は、特に断らない限りすべての実数です。a が正ならグラフは下に凸、負なら上に凸です。a の絶対値は開き方を決めますが、頂点の横座標は括弧が 0 になる条件 x − p = 0 から決まります。

なぜ x = p が軸なのでしょうか。軸から同じ距離 t だけ右と左にある x = p + t と x = p − t を代入すると、どちらも平方の部分は t² です。したがって高さはともに at² + q です。左右の点が対になり、軸上の点 (p, q) では平方が 0 になります。平方は負にならないので、a が正なら頂点は最も低く、a が負なら最も高い点です。図を描くとき、頂点を打った後に左右の同じ距離の点を取ると、軸との対応を確かめられます。

図1のように、x + 2 は x − (-2) と同じです。括弧の中に見える +2 をそのまま座標にするのでなく、x + 2 = 0 を解くと軸は x = -2 と読めます。括弧の外の数は頂点の高さなので、その符号は式のまま読みます。横と縦で読み方が異なる理由は、横座標が括弧を 0 にする数だからです。

たとえば y = (1/2)(x + 2)² − 1 では頂点が (-2, -1)、軸が x = -2 です。x = -1 と x = -3 は軸からそれぞれ 1 離れ、どちらの高さも -1/2 です。分数が現れても、横の距離を二乗し係数を掛けてから頂点の高さを足す順序は変わりません。点の座標を元の式へ入れると、図から読み違えたときにも見直せます。

基本例題：分数をくくって頂点を描く

次の関数について、頂点形式に直し、頂点と軸を整数または分数で求め、グラフを描いてください。

y = (1/2)x² - 2x + 1

まず x² と x の項から 1/2 をくくります。括弧の中の x の係数は -2 ではなく -4 です。実際に 1/2 を掛け戻すと -2x になります。

y = (1/2)(x² - 4x) + 1
y = (1/2){(x - 2)² - 4} + 1
y = (1/2)(x - 2)² - 2 + 1
y = (1/2)(x - 2)² - 1

2行目は (x − 2)² を展開すると x² − 4x + 4 になるので、余分な 4 を引いています。3行目では括弧内の -4 にも 1/2 を掛けます。頂点は (2, -1)、軸は x = 2 です。係数 1/2 は正なので下に凸です。

図を描くため、軸から 2 離れた x = 0 と x = 4 を取ります。どちらも平方の部分は 4 なので y = 1 です。頂点と2点を滑らかに結び、左右が軸について対称になるよう描きます。図2のように、点 (0, 1) はもとの式の定数項とも合います。

図2の頂点の横座標 2 をもとの式へ戻すと、(1/2)・4 − 4 + 1 = -1 です。また完成した式を展開すれば (1/2)x² − 2x + 2 − 1 となり、元の式に戻ります。頂点への代入は座標の確認、展開は式全体の確認です。片方だけでは見落とす誤りがあるため、両方を使います。

標準例題：負の分数と軸の左右

次の関数を頂点形式に直し、頂点、軸、および x = 0 と x = -3 のときの値を整数または分数で求めてください。その結果を使って概形を描いてください。

y = -(2/3)x² - 2x + 1

二次係数は -2/3 で、0 ではありません。x² と x の項からこの数をくくると、括弧の中の x の係数は 3 です。負の数で割るので符号が変わります。

y = -(2/3)(x² + 3x) + 1
y = -(2/3){(x + 3/2)² - 9/4} + 1
y = -(2/3)(x + 3/2)² + 3/2 + 1
y = -(2/3)(x + 3/2)² + 5/2

頂点は (-3/2, 5/2)、軸は x = -3/2 です。x = 0 と x = -3 は軸からの距離がともに 3/2 なので、高さが等しくなります。

y = -(2/3)・(3/2)² + 5/2
y = -3/2 + 5/2
y = 1

よって2点は (0, 1)、(-3, 1) です。元の式にも代入すると、x = -3 のとき -6 + 6 + 1 = 1、x = 0 のとき 1 です。係数が負なので頂点より左右の点が低く、上に凸の概形になります。頂点自体も元の式へ代入すると -3/2 + 3 + 1 = 5/2 と確かめられます。

この問題では、括弧を完成させたら頂点を読み取り、指定された2点を代入すれば進みます。発展例題では文字が残り、図の条件からその文字を逆に決めます。文字を決める前でも、二次係数が 0 でないことと、軸の読み方を先に確かめる点は同じです。

発展例題：頂点が直線上にある条件

実数 t に対し、次の二次関数の頂点が直線 y = x + 1 上にあります。t と頂点の座標を整数または分数で求め、元の式と直線の両方で確かめてください。

y = (1/2)x² - tx + 2t

二次係数 1/2 は 0 ではないので、どの実数 t に対しても二次関数です。t を定数として平方完成します。

y = (1/2)(x² - 2tx) + 2t
y = (1/2){(x - t)² - t²} + 2t
y = (1/2)(x - t)² - (1/2)t² + 2t

頂点の横座標は t、縦座標は -(1/2)t² + 2t です。直線上にあるとは、頂点の座標が y = x + 1 を満たすことですから、次の条件を得ます。

-(1/2)t² + 2t = t + 1
-(1/2)t² + t - 1 = 0
t² - 2t + 2 = 0
(t - 1)² + 1 = 0

左辺は実数 t について 1 以上なので、この条件を満たす t はありません。したがって求める実数 t も頂点も存在しません。平方完成の形から条件を作れても、必ず答えが存在するとは限らないことに注意します。ここで直線の条件を変えたらどうなるかも考えられますが、元の条件で得られた式の左辺が正である以上、候補を代入して探し続ける必要はありません。

同じ式の頂点が直線 y = x 上にある場合なら、-(1/2)t² + 2t = t、すなわち t(t − 2) = 0 となります。t = 0 または 2 です。前者の頂点は (0, 0)、後者は (2, 2) で、いずれも直線上にあります。元の関数でも t = 0、x = 0 のとき y = 0、t = 2、x = 2 のとき y = 2 です。この比較では、条件が解なしの場合と2つある場合を区別しています。

符号を写した図はどこで崩れるか

基本例題の y = (1/2)(x − 2)² − 1 について、「括弧に -2 とあるので頂点は (-2, -1)」とする誤答を考えます。原因は、括弧の定数項を横座標として写したことです。軸は x − 2 = 0 を解いて x = 2 と決めます。縦座標 -1 は括弧の外にあるので、そのまま使います。

図3のように、誤って選んだ x = -2 では括弧が -4 となり、平方は 0 ではありません。実際の高さは (1/2)・16 − 1 = 7 で、誤答の高さ -1 と合いません。一方 x = 2 では括弧が 0 となり、高さは -1 です。図に頂点を置く前に括弧へ横座標を代入し、0 になるか試すと符号の取り違えを見分けられます。

別の失敗は、(1/2){(x − 2)² − 4} + 1 の -4 を括弧の外へそのまま出すことです。外側の 1/2 は -4 にも掛かるので、外へ出る値は -2 です。展開した定数項が元の 1 に戻るかを確認すれば、この誤りも見つかります。頂点の座標が式を満たしていても、式変形そのものの確認として展開を残しておくと確実です。

練習：式、軸、図の対応を試す

答えは整数または分数で表し、グラフを描く問いでは頂点と軸に加えて指定した点を記入してください。問題をまとめて解いた後、下の解答と照らしてください。

1. y = (1/3)x² + 2x + 2 を頂点形式に直し、頂点と軸を求めてください。
2. y = -(1/2)x² + x + 3 を頂点形式に直し、頂点、軸、x = 0 と x = 2 の点を求めて概形を描いてください。
3. y = (3/4)(x + 4)² − 2 の頂点と軸を求め、x = -2 と x = -6 のときの値を求めてください。
4. y = (2/3)x² − (4/3)x − 1 を頂点形式に直し、展開して元に戻ることと、頂点が元の式を満たすことを確かめてください。
5. 実数 s に対し、y = (1/2)x² − sx + s の頂点が直線 y = 0 上にあるような s と頂点をすべて求めてください。

練習の答えと途中の考え方

1

y = (1/3)(x² + 6x) + 2
y = (1/3){(x + 3)² - 9} + 2
y = (1/3)(x + 3)² - 1

括弧が 0 になるのは x = -3 なので、頂点は (-3, -1)、軸は x = -3 です。元の式に x = -3 を入れると 3 − 6 + 2 = -1 です。展開しても (1/3)x² + 2x + 3 − 1 と戻ります。

2

y = -(1/2)(x² - 2x) + 3
y = -(1/2){(x - 1)² - 1} + 3
y = -(1/2)(x - 1)² + 7/2

頂点は (1, 7/2)、軸は x = 1 です。x = 0、2 は軸から同じ距離にあり、いずれも y = 3 です。頂点と (0, 3)、(2, 3) を打ち、上に凸の曲線を描きます。元の式でも x = 2 のとき -2 + 2 + 3 = 3、x = 1 のとき -1/2 + 1 + 3 = 7/2 です。

3

x + 4 = 0 より軸は x = -4、頂点は (-4, -2) です。x = -2 と -6 は軸から 2 離れています。平方部分はどちらも 4 なので、高さは (3/4)・4 − 2 = 1 です。元の式へ両方を入れても、それぞれ括弧が 2 と -2 となり同じ 1 です。

4

y = (2/3)(x² - 2x) - 1
y = (2/3){(x - 1)² - 1} - 1
y = (2/3)(x - 1)² - 5/3

展開すると (2/3)x² − (4/3)x + 2/3 − 5/3 で、確かに元の式になります。頂点は (1, -5/3) です。元の式へ x = 1 を入れると 2/3 − 4/3 − 1 = -5/3 となります。

5

二次係数 1/2 は 0 ではありません。s を定数として平方完成すると、次の形です。

y = (1/2)(x² - 2sx) + s
y = (1/2){(x - s)² - s²} + s
y = (1/2)(x - s)² - (1/2)s² + s

頂点は (s, -(1/2)s² + s) です。直線 y = 0 上にある条件は次の通りです。

-(1/2)s² + s = 0
s(s - 2) = 0
s = 0 または s = 2

s = 0 のとき頂点は (0, 0)、s = 2 のとき頂点は (2, 0) です。元の式にそれぞれ戻すと、前者は x = 0 で y = 0、後者は x = 2 で y = 2 − 4 + 2 = 0 です。どちらも指定の直線上にあり、積が 0 となる場合を尽くしているので他の実数 s はありません。

持ち帰る3点

• a ≠ 0 のとき、y = a(x − p)² + q の頂点は (p, q)、軸は x = p です。
• 括弧が 0 になる横座標を求め、外の係数を含めて展開し直します。
• 軸の左右に同じ距離の点を取って、式と図を照合します。

どの行から見直すか

頂点の横座標だけが違うときは、括弧を 0 と置く行を書き出します。横座標は合うのに高さが違うときは、平方を作るために引いた数へ外の係数を掛けたか調べます。図だけが合わないときは、頂点の左右に1組の点を取り、その高さを元の式で計算します。

個別指導で確かめるなら、完成した式を隠さずに、括弧が 0 になる理由、元の式への代入、左右の点が同じ高さになる理由を本人の言葉と図で順にたどります。答えが一致しても途中の符号の扱いが曖昧なら、別の分数係数で同じ確認をします。括弧を 0 にする数が、式と放物線をつなぐ軸の位置です。