高校数学I 二次関数の動く軸と最大値—中点を境に採用する端点と等値の条件を決める｜武蔵野個別指導塾

固定区間の端点差と等値のときの2つの位置から求めるのが、動く軸と最大値です。

よくあるのは、高1の本人が復習中に、動く軸を区間の左端と右端で区切り、最大値も3つに場合分けする場面です。軸が区間内にあるとき、頂点を最大値の候補にしてしまうこともあります。上に開く放物線では、頂点は谷の底です。どちらの端が軸から遠いかを見ると、必要な境界が見えてきます。

何を比べる問題なのか

現れ方は主に3つあります。1つ目は、固定された閉区間で、文字によって軸が移るときの最大値と、それを取る x を求める型です。2つ目は、展開された式のまま左右の端の値を引き、その差の符号から切り替わる条件を出す型です。3つ目は、求めた最大値が指定された範囲に収まるように文字の条件を決める型です。

どの型でも、文字を1つ決めてから x を動かすと考えます。文字と x は役割が違います。たとえば軸が x = t なら、t はその回の軸の位置を指定し、x は定義域の中を動く変数です。比較の途中で t が区間の外にあっても、x が区間外に出たことにはなりません。

必要なのは平方の大小と、積の展開、一次不等式の向きです。閉区間は両端を含む区間ですから、端点で実際に値を取れます。ここでは上に開く放物線の最大値を中心に扱います。下に開く場合の最大値は頂点の位置で決まり、端点の遠さをそのまま使えません。

軸と区間の中点を並べる

二次関数 f(x) = A(x − p)² + q を考えます。A > 0、定義域を L ≤ x ≤ R、L < R とします。軸は x = p です。各点の軸からの距離は |x − p| で、距離が大きいほどその平方も大きく、A が正なので f(x) も大きくなります。

区間内のどの x についても、軸から最も遠い位置は端点の少なくとも一方です。軸が区間内なら、軸の左側では左端が、右側では右端がそれぞれ最も遠くなります。軸が区間の外なら、区間全体が軸の片側にあるので、遠い側の端が最大です。この説明は軸が端点に重なる場合も含みます。

図1のように、中点を m = (L + R)/2 と置きます。p < m なら右端 R の方が遠く、p > m なら左端 L の方が遠くなります。p = m なら端点は軸から同じ距離にあるので、両方で同じ最大値を取ります。

図1は大小関係の模式図です。端点と軸の距離を直接比べてもよいのですが、式なら絶対値を外さずに判定できます。左右の端点値の差は、平方の差を使って次のように変形できます。

f(L) - f(R) = A{(L - p)² - (R - p)²}
             = A{(L - p) - (R - p)}{(L - p) + (R - p)}
             = A(L - R)(L + R - 2p)
             = 2A(R - L)(p - m)

2A(R − L) は正です。したがって差の符号は p − m の符号と一致します。差が負なら右端、正なら左端、0なら両端を採用します。この式は軸が区間の外にあるときにも成り立ち、3つの位置関係を別々に調べなくても済みます。

一方、上に開く放物線の最小値を探すときは、軸が区間の左、内部、右のどこにあるかが重要です。最大値では遠い端を比べるため、切り替えの境界は両端ではなく中点です。区間が1点だけなら両端は同じ点なので、この比較を使う前にその点の値を直接求めます。

基本例題：端点差から最大値を決める

実数 t に対し、関数 f(x) = (x − t)² + 1 の定義域を -1 ≤ x ≤ 3 とします。最大値を t の式で場合分けし、その値を取る x も整数で答えてください。

二次係数は 1 で正、軸は x = t です。区間の中点は (-1 + 3)/2 = 1 です。図2のように、軸が中点より左なら右端、右なら左端が遠くなります。端点の値と差を順に計算します。

f(-1) = (-1 - t)² + 1
      = (t + 1)² + 1
      = t² + 2t + 2
f(3)  = (3 - t)² + 1
      = t² - 6t + 10
f(-1) - f(3) = (t² + 2t + 2) - (t² - 6t + 10)
               = 8t - 8
               = 8(t - 1)

8 は正です。t < 1 なら差は負で f(3) が大きく、t > 1 なら差は正で f(-1) が大きくなります。t = 1 では差が 0 なので、同じ最大値を2か所で取ります。よって答えは次のとおりです。

• t < 1：最大値 t² − 6t + 10、取る位置 x = 3。
• t = 1：最大値 5、取る位置 x = -1, 3。
• t > 1：最大値 t² + 2t + 2、取る位置 x = -1。

境界の t = 1 を戻すと、f(-1) = (-2)² + 1 = 5、f(3) = 2² + 1 = 5 です。図2に示した境界では両端が区間に含まれるため、2つの位置を答えます。また、t = 0 では右端の値が 10、左端の値が 2、t = 2 では左端の値が 10、右端の値が 2 となり、境界の両側の選び方にも合います。

式を2行にまとめて t ≤ 1 と t ≥ 1 と書く方法もあります。ただし、その場合も t = 1 で両端の x を書かなければ、最大値は合っていても位置の答えが欠けます。値の式が境界で一致することと、位置が2つあることは別々に確認します。

標準例題：展開された式でも端点を比べる

実数 a に対し、g(x) = 2x² − 4ax + a² + 3 を -2 ≤ x ≤ 4 で考えます。最大値を a の式で場合分けし、最大値を取る x を整数で答えてください。

二次係数 2 は正です。平方完成すると軸の位置が見えます。

g(x) = 2(x² - 2ax) + a² + 3
     = 2{(x - a)² - a²} + a² + 3
     = 2(x - a)² - a² + 3

軸は x = a、中点は (-2 + 4)/2 = 1 です。縦方向の項 -a² + 3 も a で変わりますが、固定した a に対して左右の端では共通です。端点の差には現れません。元の式へ端点を代入し、差の符号を確かめます。

g(-2) = 2・(-2)² - 4a・(-2) + a² + 3
      = a² + 8a + 11
g(4)  = 2・4² - 4a・4 + a² + 3
      = a² - 16a + 35
g(-2) - g(4) = (a² + 8a + 11) - (a² - 16a + 35)
               = 24a - 24
               = 24(a - 1)

したがって a < 1 では最大値 a² − 16a + 35 を x = 4 で、a > 1 では最大値 a² + 8a + 11 を x = -2 で取ります。a = 1 では最大値 20 を x = -2, 4 の両方で取ります。

実際に a = 1 を元の式へ戻すと、g(x) = 2x² − 4x + 4 です。g(-2) = 8 + 8 + 4 = 20、g(4) = 32 − 16 + 4 = 20 となります。a = 0 では右端が 35、左端が 11、a = 2 では左端が 31、右端が 7 です。端点の順序は計算した差の符号と一致します。

基本例題との違いは、軸だけでなく頂点の高さも文字で変わる点です。それでも同じ a の下では高さは共通なので、どちらの端を選ぶかは中点で決まります。最大値の式を作るときには、その共通の高さを落とさず元の関数に代入します。

発展例題：最大値の条件を文字に戻す

実数 t に対し、h(x) = (x − t)² − 2t を 0 ≤ x ≤ 4 で考えます。この区間の最大値が 5 以下となる t の範囲を、根号を用いて正確に答えてください。

二次係数は正で、軸は x = t、区間の中点は 2 です。t < 2 では右端、t > 2 では左端で最大となり、t = 2 では両端で最大になります。境界では2つの式が一致するので、次のように等号を両側に入れても条件を取りこぼしません。

h(4) = (4 - t)² - 2t
     = t² - 10t + 16
h(0) = t² - 2t

まず t ≤ 2 で右端の値が 5 以下となる条件を解きます。

t² - 10t + 16 ≤ 5
t² - 10t + 11 ≤ 0
(t - 5)² - 14 ≤ 0
(t - 5)² ≤ 14
5 - √14 ≤ t ≤ 5 + √14

ここに t ≤ 2 を重ねます。14 > 9 より √14 > 3 なので 5 − √14 < 2 です。また 5 + √14 > 2 です。よって、この場合は 5 − √14 ≤ t ≤ 2 です。

次に t ≥ 2 で左端の値が 5 以下となる条件を解きます。

t² - 2t ≤ 5
t² - 2t - 5 ≤ 0
(t - 1)² - 6 ≤ 0
(t - 1)² ≤ 6
1 - √6 ≤ t ≤ 1 + √6

6 > 1 より √6 > 1 なので 1 + √6 > 2、また 1 − √6 < 2 です。t ≥ 2 を重ねると 2 ≤ t ≤ 1 + √6 です。両方を合わせ、求める範囲は次のようになります。

5 - √14 ≤ t ≤ 1 + √6

境界の t = 2 では h(0) = 4 − 4 = 0、h(4) = 4 − 4 = 0 なので、どちらの式も最大値 0 を与え、条件に入ります。左の端 t = 5 − √14 では、(t − 5)² = 14 から右端の値が 5 です。右の端 t = 1 + √6 では、(t − 1)² = 6 から左端の値が 5 です。それぞれの軸は先に求めた場合の範囲にあるため、代入した端点は確かに最大値を取ります。

この発展例題では、端点を選ぶ条件と、最大値が 5 以下という条件を最後に共通部分として重ねます。片方の二次不等式だけを解いて、軸の条件を忘れると、採用していない端点の値で判定してしまいます。逆に、閉区間での最大値が 5 以下であることは、両端の値がともに 5 以下であることとも同値です。各端点が 5 以下なら、それより大きい方も 5 以下だからです。

ずれた場合分けを直す

基本例題で「t が -1 より小さい、-1 以上 3 以下、3 より大きい」の3つに分け、中央では頂点 x = t を最大値にする解答を考えます。たとえば t = 1 では頂点の値は 1 ですが、端点の値はともに 5 です。実際に区間内でより大きい値があるので、この解答は成り立ちません。

原因は、軸に最も近い位置と最も遠い位置を混同したことです。図3のように、t = 1 の頂点は谷の底であり、両端はそこから等距離です。軸が区間に入ったかどうかより、左右の端点値の差がいつ 0 になるかを先に調べます。

図3では頂点を含む区間の内部に目を向けても、端点の高さを超えません。直す手順は、二次係数の符号を見て、両端を代入し、差を因数分解し、その符号で端点を選ぶことです。最後に差が 0 の場合を戻し、最大値を取る x を2つ書きます。

もう1つの誤りは、軸が右へ動くと右端が遠いと決めることです。軸が右にあるほど左端までの距離が大きくなります。差を左端の値から右端の値として計算したなら、正のとき左端が大きいという対応を、式の横に書いておくと符号の読み違いを防げます。

練習：5つの条件を比べる

次の5問は、すべて実数の文字について考えます。最大値を求める問では場合分けの条件と、値を取る x も整数で答えてください。範囲を求める問では、端を含むかどうかを不等号で示してください。

1. f(x) = (x − p)² の定義域を -3 ≤ x ≤ 1 とします。最大値と、それを取る x を求めてください。
2. g(x) = x² − 2kx + 4 の定義域を -1 ≤ x ≤ 5 とします。最大値と、それを取る x を求めてください。
3. h(x) = -(x − s)² + 2 の定義域を -2 ≤ x ≤ 4 とします。最大値と、それを取る x を、必要なら文字を使って答えてください。
4. j(x) = (x − q)² + 2 の定義域を -2 ≤ x ≤ 2 とします。最大値が 11 となる q を整数で求め、それぞれ最大値を取る x も答えてください。
5. u(x) = (x − r)² の定義域を 1 ≤ x ≤ 3 とします。この区間のすべての x で u(x) ≤ 9 が成り立つ r の範囲を求めてください。

練習の答えと道筋

1. 中点が負の場合

軸は x = p、区間の中点は (-3 + 1)/2 = -1 です。端点の差を計算します。

f(-3) - f(1) = (p + 3)² - (p - 1)²
               = 8(p + 1)

p < -1 では最大値 (p − 1)² を x = 1 で取ります。p > -1 では最大値 (p + 3)² を x = -3 で取ります。p = -1 では最大値 4 を x = -3, 1 で取ります。境界で元の式に代入すると、両端とも平方する数が 2 または -2 となり、確かに 4 です。p = -2 では右端 9 と左端 1、p = 0 では左端 9 と右端 1 なので、両側も合います。

2. 文字が一次の係数にある場合

平方完成すると g(x) = (x − k)² + 4 − k² で、軸は x = k、中点は 2 です。端点の値を引きます。

g(-1) = 5 + 2k
g(5) = 29 - 10k
g(-1) - g(5) = 12(k - 2)

k < 2 では最大値 29 − 10k を x = 5 で取ります。k > 2 では最大値 5 + 2k を x = -1 で取ります。k = 2 では最大値 9 を x = -1, 5 で取ります。k = 2 を元の式に戻すと g(x) = x² − 4x + 4 で、両端の値は 9 です。k = 1 では右端 19、左端 7、k = 3 では左端 11、右端 -1 と確かめられます。

3. 下に開く場合

負の平方を引くため、軸に最も近い点で最大になります。s < -2 のとき近い点は x = -2、-2 ≤ s ≤ 4 のとき頂点 x = s、s > 4 のとき近い点は x = 4 です。

• s < -2：最大値 2 − (s + 2)²、取る位置 x = -2。
• -2 ≤ s ≤ 4：最大値 2、取る位置 x = s。
• s > 4：最大値 2 − (s − 4)²、取る位置 x = 4。

s = -2 と s = 4 では頂点がそれぞれ端点にあり、元の式へ代入すると最大値は 2 です。s = -3 と s = 5 では近い端の値はともに 1 です。s = 0 では区間内の x = 0 で 2 を取ります。ここでは上に開く場合と違い、中点ではなく両端で条件が変わります。

4. 指定された最大値から軸を探す

軸は x = q、中点は 0 です。q ≤ 0 では右端、q ≥ 0 では左端を使えます。q = 0 では両方を使っても同じ値です。

q ≤ 0 のとき：(2 - q)² + 2 = 11
               (2 - q)² = 9
               2 - q = 3 または -3
               q = -1 または 5

条件 q ≤ 0 に合うのは q = -1 です。同様に反対側を解きます。

q ≥ 0 のとき：(q + 2)² + 2 = 11
               (q + 2)² = 9
               q + 2 = 3 または -3
               q = 1 または -5

条件 q ≥ 0 に合うのは q = 1 です。したがって q = -1 では x = 2、q = 1 では x = -2 で最大値 11 を取ります。元の式に戻すと、どちらも遠い端の平方が 9、近い端の値は 3 です。両端は定義域に含まれ、捨てた値 5 と -5 はそれぞれ解いた場合の条件に合いません。境界 q = 0 の最大値は 6 なので答えに入りません。

5. 区間内のどの値も上限以下にする

上に開くので、両端がともに 9 以下であることが必要十分です。一方でも 9 を超えれば、その端点自体が条件を破ります。両端が 9 以下なら、その大きい方が最大値であり、区間内の値も 9 以下です。

u(1) ≤ 9 から (1 - r)² ≤ 9
-3 ≤ 1 - r ≤ 3
-2 ≤ r ≤ 4
u(3) ≤ 9 から (3 - r)² ≤ 9
-3 ≤ 3 - r ≤ 3
0 ≤ r ≤ 6

共通部分は 0 ≤ r ≤ 4 です。r = 0 では右端の値が 9、左端の値が 1 で、r = 4 では左端が 9、右端が 1 です。両方とも等号を許すので範囲に含みます。中点 r = 2 では両端とも 1 です。範囲の外では、たとえば r = -1 なら右端が 16、r = 5 なら左端が 16 となり、条件を満たしません。

手元に残す要点

• 上に開く放物線の閉区間での最大値は、軸から遠い端点で取ります。
• 固定区間の中点を境に、最大値を与える端点が切り替わります。
• 端点値の差が 0 なら、両方の端点と共通の値を答えます。
• 文字の条件を逆算したら、その式を選んだ範囲と共通部分を取ります。

つまずきを見分けるには

途中式が合っていても位置を1つしか書いていなければ、等値の場合を見落としている可能性があります。端点差を求める前に3分岐している場合は、何と何の距離を比べたのかを図に書いて説明してみてください。値が文字を含むときは、端点を選ぶ条件と最大値の式を別の欄に置くと、x と文字の取り違えに気づきやすくなります。

個別指導で確かめるなら、まず軸と中点を数直線に置き、次に端点の差の符号を声に出して対応させます。境界では両端を元の式に代入し、指定された値と位置を両方確認します。軸の移動を端点の比較につなげると、場合分けの境目が式と図の両方から見えます。