高校数学II 二次式になる三角方程式—置換の変域を残して解の候補をふるい分ける｜武蔵野個別指導塾

二次方程式の根を三角関数の変域で選別し、残った値に対応する角を指定区間から列挙します。

よくあるのは、三角方程式を二次方程式に直した高2が、出てきた2つの実数解をどちらも角に戻そうとする場面です。二次方程式の計算が正しくても、その値をsin θやcos θが取れるとは限りません。さらに、値自体は取れても、問題で指定された角の範囲には現れないことがあります。解を候補としていったん受け止め、元の条件で選び直すところまでを考えます。

どこで候補を選ぶのか

まず、同じ三角関数の二乗と一次の項が並ぶ式です。たとえば、sin θの二乗とsin θだけでできた式なら、t = sin θと置くとtの二次方程式として扱えます。因数分解が済んだ時点で得られるのはtの候補であり、θそのものではありません。

次に、sin θとcos θの片方が二乗で現れる式です。角が実数ならsin²θ + cos²θ = 1が使えるので、一方にそろえられる場合があります。二次の項を読む際には、sin²θをsin θの二乗である(sin θ)²として扱い、cos²θもcos θを二乗した(cos θ)²として計算します。平方の関係を代入する操作と、変域を調べる操作は別の段階です。

もう1つの分かれ目は角の指定です。0以上2π未満なら1周分を列挙しますが、端が含まれるか、1周より長いかが変われば答えも変わります。置換した文字が同じ値でも、元の範囲で対応する角の数は決まっていません。最終的な答えには、問題が求める範囲の角を書きます。

解答を書くときは、各段階で扱う対象を明示します。「tの候補」「採用するt」「対応するθ」を分ければ、2という実数が二次方程式の解であることと、角の解には使えないことを矛盾なく記せます。答えが解なしのときも、どの段階で候補が消えたのかを示せます。

式が一見複雑でも、最初にどの値を1つの文字に置くかを決めます。sin θとcos θが両方あるときは、そのままそれぞれを別の文字に置くのではなく、平方の関係で片方にそろえられるかを調べます。そろえた後にできた二次式に、角の範囲から得た条件を添えます。置換した文字が何を表すかを書き続けると、最後に角へ戻す際にも値と角を取り違えません。

置いた文字の範囲を持ち歩く

実数の角θに対応する単位円上の点は、横座標がcos θ、縦座標がsin θです。円の半径は1なので、それぞれの座標は-1以上1以下です。したがってt = sin θまたはt = cos θと置けば、必ず-1 ≤ t ≤ 1という条件が付きます。

図1のように、二次方程式から得た値を数直線に並べると、円の座標になれる候補と、なれない候補が分かれます。円の上下左右の端にあたる-1と1は実際に取れる値ですから、等号を落とさないでください。図の1/2は範囲内、2は範囲外の例です。

図1では1/2が範囲に入っています。ただし、範囲に入ることは実数の角が存在するための条件であって、指定された角の区間に解がある保証ではありません。たとえばcos θ = 1/2には角がありますが、π/2 ≤ θ ≤ 3π/2の範囲では単位円の左半分に限られるので、cos θは正になりません。

実際の変域が-1から1より狭い場合は、その狭い範囲で候補を選ぶと効率的です。角の区間が与えられたら、動く点が円のどの部分にあるか、両端を含むかを先に確かめます。変域の境界を図だけで推測せず、円の座標と端点の条件で判断します。

候補を残したら、円上で同じ高さまたは同じ横座標を探します。一般に高さが円の内部の値なら1周に2点ありますが、高さが1または-1ならそれぞれ1点です。横座標も同様です。軸上の端の値を、常に2つの角に対応させることはできません。

値から角へ戻るときには、単位円のどの座標を使っているかも意識します。sin θなら横向きの直線で円を切り、cos θなら縦向きの直線で切ります。値が0なら直線は中心を通り、値が1または-1なら円の端に接します。線と円の交わりを数える見方は、なぜ端の値だけ対応する点が1個になるのかという理由にもなります。

ただし、円上の点が1個だから角も1個とは限りません。角には1周の違いがあり、問題の区間が両端を含む1周や、それより長い範囲なら同じ点に対応する角が複数入ることがあります。たとえば点(1, 0)は0でも2πでも表せます。区間に2つの角が含まれるときは、角の異なりを保って答えます。

変形の前後で条件を保つことも大切です。tを文字として扱うと、二次方程式自体はあらゆる実数を相手に計算できます。その際に元の条件が消えたわけではなく、いったん脇に置いているだけです。候補が出たら最初に書いた条件へ戻る、と作業を区切ります。

基本例題：範囲外の根を除く

0 ≤ θ < 2πにおいて、次の方程式を解き、θをπを含む厳密な角で列挙してください。

2sin²θ - 5sin θ + 2 = 0

θは実数で、sin θはどの角でも定義されます。t = sin θと置き、同時に-1 ≤ t ≤ 1を書きます。元の式は次の二次方程式になります。

2t² - 5t + 2 = 0
(2t - 1)(t - 2) = 0
t = 1/2 または t = 2

因数のどちらかが0になることから、二次方程式の実数解はこの2つです。しかし、t = 2は1を超えるため、sin θの値にはなりません。残るのはt = 1/2です。二次方程式を解く作業と、三角関数の値として採用する作業を分けると、範囲外の根が残りません。

図2のように、単位円で縦座標が1/2の点を見ます。第1象限にはθ = π/6があり、第2象限の同じ高さにはθ = 5π/6があります。0 ≤ θ < 2πで、対応する点はこの2点です。よって答えは次のようになります。

θ = π/6, 5π/6

図2の各点は左から5π/6、π/6に対応します。どちらもsin θ = 1/2ですから、元の左辺は2・(1/2)² − 5・(1/2) + 2 = 0です。また、両方とも指定された1周の区間に入っています。式への代入と角の範囲の確認を、それぞれ最後に行います。

もしt = 2を残すと、単位円の縦座標を円の外に探すことになります。一方、t = 1/2からπ/6だけを書けば、同じ高さの第2象限の点を落とします。二次方程式に正しく因数分解できた後にも、別々の確認が必要です。

この例で数値を逆にたどると、t = 1/2から2t − 1 = 0が成り立ちます。残る因数t − 2はt = 1/2で-3/2ですが、2t − 1が0なので、因数分解した積全体は0になります。この確認は因数分解の式を使った説明であり、最後の原式への代入と同じ答えを別の経路から確かめています。

一方、範囲外のt = 2は二次方程式には確かに代入できます。間違っているのは二次方程式の計算ではなく、その値から実数の角を探そうとするところです。「途中の計算結果」と「もとの方程式の解」を同じ欄に並べず、矢印や言葉で段階を区切ると採否が明確になります。

標準例題：角の範囲が変域を狭める

π/2 ≤ θ ≤ 3π/2において、次の方程式を解き、解があればθをπを含む厳密な角で列挙してください。

4cos²θ + 4cos θ - 3 = 0

この範囲の点は単位円の左半分を動きます。両端ではcos θ = 0、中央のθ = πではcos θ = -1です。したがってt = cos θと置くと、今回は-1 ≤ t ≤ 0です。単に-1 ≤ t ≤ 1とするより、角の区間まで反映した条件です。

4t² + 4t - 3 = 0
(2t - 1)(2t + 3) = 0
t = 1/2 または t = -3/2

まず-3/2は-1より小さく、どんな実数の角でもcos θの値にはなりません。もう一方の1/2は一般には取り得ますが、今回の変域-1 ≤ t ≤ 0から外れます。どちらも指定された範囲に対応しないので、答えは「解なし」です。

この結論は二次方程式に実数解がないという意味ではありません。実数解は2つありますが、元の場面で実現できる値が残らないのです。π/2と3π/2の端を代入してもcos θ = 0で、元の左辺は-3です。端点を含めても解が増えないことを、問題の式でも確かめられます。

条件を外して0 ≤ θ < 2πに変えた場合なら、t = 1/2からπ/3と5π/3が得られます。両者は先ほどの範囲には入りません。同じ二次方程式でも、指定された円周の部分を変えると答えが変わることが見えます。

この問題で、最初から一般的な-1 ≤ t ≤ 1だけを使っても解けます。-3/2を捨ててcos θ = 1/2とした後、対応する角π/3と5π/3を求め、どちらもπ/2から3π/2までの範囲外であると確かめる方法です。狭い変域を先に使う方法と、最後に角で選ぶ方法は、同じ条件を異なる順序で使っています。

角の範囲に対応する変域を作るときは、端の値を代入するだけでは足りない場合があります。この例では両端のcos θはともに0ですが、途中のπでは-1になります。円の左端を途中で通ることまで見て、-1から0までと判断します。端だけを比べてt = 0と決めると、途中の値を落としてしまいます。

発展例題：端を含むかで角を選ぶ

π/2 < θ ≤ 5π/2において、次の方程式を解き、θをπを含む厳密な角で列挙してください。

sin²θ - sin θ = 0

sin θはこの範囲で定義されます。t = sin θと置けば-1 ≤ t ≤ 1です。式をtで割らずに因数分解します。tで割ると、t = 0の場合を失うからです。

t² - t = 0
t(t - 1) = 0
t = 0 または t = 1

2つとも-1以上1以下です。まずsin θ = 0に対応する角を、指定された範囲に限って探すとπと2πです。次にsin θ = 1となる角を探します。左端のπ/2は条件に含まれませんが、1周後の5π/2は右端に含まれます。よって答えは次の3つです。

θ = π, 2π, 5π/2

実際にsin π = 0、sin 2π = 0、sin(5π/2) = 1なので、いずれも元の左辺は0です。π/2も方程式自体は満たしますが、角の条件から除きます。式を満たすかどうかと、問題の区間に入るかどうかは別々に判定します。

右端を5π/2未満に変更すれば、5π/2も答えから消えます。逆に左端を含めれば、π/2が加わります。端点に丸を付けるかどうかを図に書き添えるだけでも、条件の読み違いを防げます。

区間の調べ方をもう少し整理します。sin θ = 0の角は、単位円の横軸上の点に対応し、πの間隔で現れます。区間の左から右へ進み、π、2πを確認した次は3πですが、それは5π/2を超えます。sin θ = 1は円の上端で1周ごとに現れるため、左端のπ/2を除き、その次の5π/2を残します。

この手順では、角を求める途中で範囲を忘れないことが重要です。1周分だけを暗記して答えにするのではなく、指定された区間の左端から右端までたどります。右端では等号が付いているので採用し、左端では不等号が厳密なので採用しない、と根拠も添えられます。

誤答から直す：値のふるいと角のふるい

基本例題の式で、t = 1/2または2を得た後、「sin θ = 2にも角がある」として候補を増やすのは誤りです。原因は、二次方程式の実数解をそのまま単位円の座標とみなしたことです。修正するときは、t = sin θと書いた横に-1 ≤ t ≤ 1を戻します。2は範囲外なので、この時点で取り除きます。

図3のように、まず値が範囲にあるかを確認し、通った値を角に戻してから区間を確認します。順番を分けると、どちらの条件で候補が落ちたかを説明できます。値の条件と角の条件を1つの曖昧な判断にしないことが、見直しの助けになります。

図3の後半では、残った角を元の式にも戻します。値のふるいを通った後であっても、端点の採否や角の列挙に誤りがあれば正しい答えにはなりません。候補の生成と採用の根拠を隣に残しておくと、どの段階からやり直すかを見つけやすくなります。

もう1つは、sin θで割ってsin θ = 0を消してしまう誤りです。0でないと確認できない量では割れません。発展例題なら積の形のまま、それぞれの因数が0になる場合に分ければ、0の候補も残せます。二乗を使う変形をする場合も、元の式で符号を確かめて余分な候補を除きます。

二次方程式の判別式が0の場合にも注意が要ります。重解とは、置換した文字の値が重なっているという意味です。その値が三角関数の変域外なら角はなく、変域内なら単位円の点と指定区間から角の数を決めます。「重解だから角も必ず1つ」とは言えません。

平方根を使う解き方でも、正負を別々に検討します。たとえばt² = aでaが正なら、tには正と負の候補があります。どちらも三角関数の変域に入るとは限らず、入った後の対応角も別々に探します。aが負なら実数のtはなく、a = 0なら候補は0です。場合の違いを無視して正の平方根だけを書くと、負の値に対応する角を落とします。

練習問題

次の5問は、それぞれ指定された区間で解き、θをπを含む厳密な角で小さい順に列挙してください。解がない場合は、その旨を書いてください。

1. 0 ≤ θ < 2πで、4sin²θ − 1 = 0を解きます。
2. 0 ≤ θ ≤ 2πで、2cos²θ − 3cos θ + 1 = 0を解きます。
3. -π ≤ θ < πで、sin²θ + 2sin θ + 1 = 0を解きます。
4. 0 ≤ θ < 2πで、4cos²θ + 8cos θ + 5 = 0を解きます。
5. -π ≤ θ < πで、2sin²θ + cos θ − 2 = 0を解きます。

練習問題の解答と考え方

1. 正と負の高さを両方探す

実数のθでsin θは定義され、t = sin θの範囲は-1 ≤ t ≤ 1です。次の2つはどちらもその範囲に入ります。

4t² - 1 = 0
(2t - 1)(2t + 1) = 0
t = 1/2 または t = -1/2

高さが1/2の点は第1・第2象限、高さが-1/2の点は第3・第4象限にあります。0以上2π未満での答えは次の4つです。

θ = π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6

それぞれsin θが1/2または-1/2なので、元の左辺は4・(1/4) − 1 = 0です。どの角も指定された範囲にあり、2πは範囲に含まれませんが、そこではsin θ = 0なので元の式も満たしません。

ここで負の候補を忘れた場合、後半の2つの角が抜けます。平方をもとの値に戻すときに符号が2通りあることと、1つの高さに対応する点が2つあることは、異なる2段階の話です。最初に値を分け、次にその値ごとに円周上の点を探すと整理できます。

2. 同じ点でも両端の角を残す

実数のθでcos θは定義され、t = cos θなら-1 ≤ t ≤ 1です。因数分解して値を選びます。

2t² - 3t + 1 = 0
(2t - 1)(t - 1) = 0
t = 1/2 または t = 1

cos θ = 1/2はπ/3と5π/3に対応します。cos θ = 1は円の右端に対応し、今回の区間には0と2πの両方が含まれます。同じ円上の点でも、異なる角としてどちらも残します。

θ = 0, π/3, 5π/3, 2π

元の式にcos θ = 1/2を入れると2・(1/2)² − 3・(1/2) + 1 = 0、cos θ = 1を入れると2 − 3 + 1 = 0です。端点を含む指定と照らして、0と2πの両方を確認します。

もし右端が2π未満に変更されれば、2πだけを除きます。0は左端に等号があるので残り、π/3と5π/3は端ではないため影響を受けません。式の根は変わらなくても、最後の角の選択が変わる例です。

3. 重解は角の数をそのまま表さない

実数のθに対してt = sin θと置き、-1 ≤ t ≤ 1を添えます。

t² + 2t + 1 = 0
(t + 1)² = 0
t = -1

二次方程式は重解ですが、ここで必要なのは値-1から指定区間の角を探すことです。sin θ = -1となるのは、-π ≤ θ < πでは-π/2です。

θ = -π/2

sin(-π/2) = -1を元の式に戻すと1 − 2 + 1 = 0です。-πとπではsin θ = 0で、元の左辺は1です。左端は含み、右端は含まないという区間条件も確認します。

重なっている因数を2つ別の値として数えないことも確認します。t + 1 = 0が2回現れてもtの候補は-1です。その後で角を探すので、重解という言葉から直接角の個数を決める必要はありません。

4. 二次式の段階で候補がない

実数のθでt = cos θと置き、-1 ≤ t ≤ 1を記します。左辺を平方の形にすると次のようになります。

4t² + 8t + 5 = 0
4(t + 1)² + 1 = 0

実数の平方は0以上なので、左辺は1以上です。等式を満たす実数tはなく、角に戻す候補がありません。答えは「解なし」です。円上のどの位置でも実数のcos θが得られるため、候補なしという結論は元の区間にもそのまま適用されます。

別の見方では、t = -1のときに左辺は最も小さい1になります。それ以外の実数tでも4(t + 1)²は負にならないので、左辺が0になることはありません。指定区間の端だけ調べて解なしと判断したのではなく、実数全体で候補を除いています。

5. 平方の関係で1種類にそろえる

θは実数ですから、sin²θ + cos²θ = 1が成り立ちます。分母による制限はありません。t = cos θと置くと-1 ≤ t ≤ 1で、sin²θ = 1 − t²です。

2(1 - t²) + t - 2 = 0
-2t² + t = 0
t(1 - 2t) = 0
t = 0 または t = 1/2

どちらの値も変域内です。-π ≤ θ < πにおいて、cos θ = 0なら-π/2とπ/2、cos θ = 1/2なら-π/3とπ/3です。小さい順にまとめます。

θ = -π/2, -π/3, π/3, π/2

cos θ = 0のときsin²θ = 1なので、元の左辺は2・1 + 0 − 2 = 0です。cos θ = 1/2のときsin²θ = 3/4なので、左辺は2・(3/4) + 1/2 − 2 = 0です。4つの角はいずれも指定された区間に入ります。両端ではcos θ = -1で、左辺は-3ですから、端の採否を変えてもこの式の解は増えません。

この問題でtで割ると、t = 0の候補を見落とします。式をt(1 − 2t) = 0の形にしたら、t = 0と1 − 2t = 0をそれぞれ調べます。置き換えによって元の式が簡単になっても、0で割れないという条件は変わりません。

覚えておくこと

tに置くとき、角の範囲からtの変域も書きます。 二次方程式の根を変域で選び、残った値を角に戻します。 指定区間の端と元の式を確かめて答えを整えます。

つまずきの見分け方

二次方程式までは解けるのに角が求まらないときは、まずtの値が-1から1の外にないかを見ます。範囲内なら、単位円で高さを見るのか横座標を見るのかを言葉にします。次に指定区間を円周上の動きに対応させ、同じ値になる点を探します。

答え合わせでは、正解の角だけでなく、除いた候補にどの条件が適用されたかも確認します。値が変域から外れたのか、値は実現できても角が区間から外れたのかによって、見直す図や式が変わるからです。区間が1周より長い場合には、同じ円上の点を複数の角で表せることも口に出して確かめます。

個別指導で確かめる箇所は、どの因数が0になるか、残った値が実現するか、端の角を含むかを自分の言葉で説明できるかです。解なしの場合も、二次方程式に実数解がないのか、三角関数の変域や角の範囲で候補が消えたのかを区別します。置換後の候補は、元の角の条件に戻して初めて答えになります。