高校数学III べき関数の積分—指数の条件と根号の定義域をそろえて計算する｜武蔵野個別指導塾

分母の根号を分数指数へ直し、指数-1の例外と定義域を区別して、べき関数の積分を微分で確かめます。

よくあるのは、根号を分数指数に直した途端に、もとの式がどこで定義されるかを忘れる場面です。たとえば分母に平方根があれば、根号の中が0以上という確認では足りません。分母が0でないことも必要です。指数を1増やす計算自体は短くても、その式をどの区間で使うのか、例外の指数では何が起こるのかまで見て初めて答えになります。

ここでは実数指数のべき、負の指数と根号を含む不定積分を扱います。学習指導要領の数学IIIには積分の基本性質と式の変形による方法の考察が挙げられています。積分した結果を微分し、もとの被積分関数に戻ることを毎回の照合に使います。

指数を増やす前に見るところ

出方の1つは、正の数を底とする実数指数の積分です。xの指数に1を足し、その新しい指数で割ります。ただし新しい指数が0になると割れないので、指数が-1の場合は別に考えます。係数を含む和なら、各項を分けて指数を調べます。

もう1つは根号や分母を負の分数指数に直す型です。式を直す前に、根号の中と分母を見て定義域を決めます。分母の平方根では中身は正、分子の平方根では中身は0でも構いません。ただし、実数指数の微分公式をそのまま使う作業は正の区間で行い、0を含む端点は別に確認します。

さらに、指数を含む文字の値を場合分けする型もあります。一般式を作ってから分母が0になる値を探すのでなく、先に除外値を書いてから公式を使うと、答えに意味のない割り算が混じりません。どの型でも最後に微分し、指数と係数の両方を元に戻します。

べきの微分を逆にたどる

区間上で微分可能な関数Fが、各点でF′(x)=f(x)を満たすとき、Fをfの原始関数といいます。同じ区間での原始関数は定数の差しか持たず、不定積分はそれらをまとめて表します。以下のCは任意定数です。区間が切れているときは、左右で同じ定数にする必要はありません。

x>0で実数rを考えると、xʳの導関数はr xの(r-1)乗です。したがってr≠-1なら、指数をr+1にしたべきの導関数にr+1が現れます。これを打ち消せば次の式になります。

∫ xʳ dx = xの(r+1)乗 / (r+1) + C    （x>0、r≠-1）

図1のように、積分では指数を1増やして新しい指数で割り、微分で逆向きに戻します。図1の分岐でr=-1を止めるのは、公式の分母が0になるからです。x>0なら1/xの原始関数はlog xですが、これは上の割り算の式に-1を代入した結果ではありません。

整数指数では負のxも扱えますが、x=0で負の指数は定義されません。実数指数を一般に扱う式はx>0に限定すると安全です。たとえば平方根はx=0でも定義されますが、1/√xはx=0では定義されません。変形後の文字式の見た目より、変形前の条件を優先します。

指数の規則を使うときは、変形の前後で意味が同じかも確認します。たとえば正のxでは√xとxの1/2乗は等しく、その逆数も等しいので、分母の根号を負の指数に変えられます。0では逆数が作れないため、この等式を使って0まで定義域を広げることはできません。負のxでは実数の平方根がないので、同じ変形を実数の範囲で行えません。

計算の確認には、答えを微分してから元の形へ戻す順序が便利です。分数指数のままで微分して係数を確認し、最後に根号や分母に戻します。途中で係数が違えば割り算、符号が違えば負の指数の扱いを見直せます。微分の結果が一致しても定義域が広がるわけではないので、区間の確認は別に残します。

基本例題：分母の根号を指数へ

問題：x>0で、∫ (3/√x + 2x²) dxを求め、任意定数を含む形で答えてください。

平方根が分母にあるので、もとの式の実数としての定義域はx>0です。図2のように、最初の項を3xの-1/2乗に直します。指数に1を加えると1/2ですから、この値で割る操作は2倍に相当します。

3/√x + 2x² = 3xの-1/2乗 + 2x²
∫ (3/√x + 2x²) dx
 = 3・xの1/2乗 / (1/2) + 2・x³/3 + C
 = 6√x + 2x³/3 + C

最初の等号ではx>0を使い、和の積分を項別に計算しました。次の行では各指数が-1でないことを確かめて公式を適用し、最後に正の平方根へ戻しています。Cは2項に別々に付けても、その和を1つの定数として表せます。

答えを微分すると、6√xから3/√xが、2x³/3から2x²が得られます。よって両項とももとの問題に戻ります。x=0を答えの式に代入すること自体はできますが、もとの分母は0です。原始関数の式に値があることと、もとの被積分関数がそこで定義されることは別です。

標準例題：負の側は区間ごとに扱う

問題：x≠0で、∫ (4/x³ − 5/x²) dxを求めてください。各区間の任意定数を含む形で答えます。

負の整数乗なので、正の区間と負の区間のどちらでも式を定義できます。一方、0では分母が0です。定義域はx<0とx>0に分かれ、各区間で独立に原始関数を求めます。

4/x³ - 5/x² = 4x⁻³ - 5x⁻²
∫ (4x⁻³ - 5x⁻²) dx
 = 4x⁻²/(-2) - 5x⁻¹/(-1) + C
 = -2/x² + 5/x + C

指数-3には-2を、指数-2には-1をそれぞれ新しい指数として使いました。ここで-1になるのは積分後の指数です。公式から除くのは積分前の指数が-1の場合なので、この計算は支障ありません。負の整数乗の微分則は0を除いて成立します。

微分すると、-2/x²は4/x³に、5/xは-5/x²に戻ります。したがって両区間で式は条件を満たします。ただし定数は、x<0でC₋、x>0でC₊と別々に選べます。0を通る連続性は問題の条件ではなく、存在しない0で両者をつなぐ必要もありません。

発展例題：指数に文字があるときの分岐

問題：x>0、aは実数とします。∫ (xのa乗 + xの(-a-2)乗) dxを、aの値で場合分けし、任意定数を含めて求めてください。

第1項の指数が-1になる条件はa=-1です。第2項の指数が-1になる条件は-a-2=-1、つまりやはりa=-1です。両項の例外が一致することを、計算の前に確認します。

まずa≠-1とします。このときa+1も-a-1も0ではありません。各項に公式を適用すると、次のように分母の符号を整理できます。

∫ (xのa乗 + xの(-a-2)乗) dx
 = xの(a+1)乗 / (a+1) + xの(-a-1)乗 / (-a-1) + C
 = (xの(a+1)乗 - xの(-a-1)乗) / (a+1) + C

第2項の分母が-(a+1)であることから、分子の間は負号です。答えを微分すると、第1項はxのa乗、第2項はxの(-a-2)乗に戻ります。第2項では微分で現れる負の係数と分母の負号が打ち消し合います。

次にa=-1なら、もとの2項はいずれも1/xです。x>0におけるlog xの導関数は1/xなので、答えは2 log x + Cです。これを微分すれば2/xとなり、代入後のもとの式に一致します。一般式にa=-1を代入すると分母が0になるため、この代入で答えを出すことはできません。

場合分けの位置も大切です。先に一般式を書いて最後に例外を探すと、途中で0による除算を行った式が混ざります。指数を元の各項から読み、除外値を先に定めておけば、その後の式変形の成立条件を追えます。

誤答を微分して原因を見つける

次の誤答を考えます。x>0で∫ x⁻² dxをx⁻¹ + Cとしました。指数を1増やすところまでは合っていますが、新しい指数-1で割る操作が抜けています。図3のように誤った答えを微分すると-x⁻²となり、元の被積分関数と符号が反対です。

正しくはx⁻¹/(-1) + C、すなわち-x⁻¹ + Cです。これを微分するとx⁻²に戻ります。図3の左右は、指数だけではなく微分後の係数まで比較するためのものです。

別の失敗は、∫ x⁻¹ dxにも同じ割り算を試すことです。新しい指数は0なので、その式の分母は0になります。指数-1を見た時点で通常の公式を止め、正の区間ではlog xの微分に戻って考えます。また、根号を含む問題でx=0を不用意に含める失敗もあります。分母が0になるかを元の式に戻って確かめれば、変形で隠れた条件を拾えます。

練習問題

いずれも不定積分を求め、任意定数を含む形で答えてください。各問の区間は指定した通りとします。

1. x>0で、∫ (5√x − 3x⁴) dx。
2. x≠0で、∫ (7/x⁴ + 2/x²) dx。左右の区間の定数にも触れてください。
3. x>0で、∫ (4/√x − 3/x) dx。
4. x>0で、∫ (xの2/3乗 + 2xの-2/3乗) dx。
5. x>0、実数bについて、∫ (xのb乗 + xの2b乗) dx。bの値で場合分けしてください。

解答と戻し方

1

√xをxの1/2乗に直すと、各項の指数は-1ではありません。指数を1増やしてその数で割ります。

∫ (5√x - 3x⁴) dx
 = 5・xの3/2乗 / (3/2) - 3x⁵/5 + C
 = (10/3)xの3/2乗 - 3x⁵/5 + C

第1項を微分すると(10/3)(3/2)xの1/2乗で5√xです。第2項は-3x⁴に戻ります。問題の正の区間で根号とべきの書き換えも一致します。

2

分母を負の整数乗に直し、各項を別々に積分します。0を除く両側で微分公式が使えます。

∫ (7/x⁴ + 2/x²) dx
 = ∫ (7x⁻⁴ + 2x⁻²) dx
 = 7x⁻³/(-3) + 2x⁻¹/(-1) + C
 = -7/(3x³) - 2/x + C

微分すると第1項は7/x⁴、第2項は2/x²です。もとの分母が0になる点をまたがず、x<0とx>0で定数をそれぞれ選びます。

3

第1項は指数-1/2ですが、第2項は指数-1です。後者にはべきの割り算を使わず、対数の導関数を使います。

∫ (4/√x - 3/x) dx
 = 4・xの1/2乗 / (1/2) - 3 log x + C
 = 8√x - 3 log x + C

微分すると4/√x − 3/xになり、問題の式に戻ります。x>0なので平方根の分母は0でなく、log xも定義されています。

4

指数に1を足すと順に5/3、1/3です。どちらも0でないので公式を適用できます。

∫ (xの2/3乗 + 2xの-2/3乗) dx
 = xの5/3乗 / (5/3) + 2・xの1/3乗 / (1/3) + C
 = (3/5)xの5/3乗 + 6xの1/3乗 + C

微分すると、それぞれxの2/3乗と2xの-2/3乗に戻ります。2項目は負の指数なので、0を含まない指定区間で照合します。

5

第1項の例外はb=-1、第2項の例外は2b=-1、すなわちb=-1/2です。この2値以外では両方の分母が0になりません。

b≠-1、-1/2のとき
∫ (xのb乗 + xの2b乗) dx
 = xの(b+1)乗 / (b+1) + xの(2b+1)乗 / (2b+1) + C

各項を微分すると、それぞれxのb乗、xの2b乗です。次にb=-1を元の式へ入れると、被積分関数はx⁻¹ + x⁻²です。

b=-1のとき
∫ (x⁻¹ + x⁻²) dx = log x - x⁻¹ + C

微分結果は1/x + x⁻²で、代入後の式に一致します。b=-1/2では、元の式はxの-1/2乗 + x⁻¹です。

b=-1/2のとき
∫ (xの-1/2乗 + x⁻¹) dx = 2√x + log x + C

微分するとxの-1/2乗 + 1/xに戻ります。例外の一方を処理しても、もう一方の項は通常の公式を使える点に注意します。

手元に残す要点

• まず元の式の定義域を決め、分母が0にならないことを確かめます。
• x>0では指数が-1でなければ、指数を1増やしてその値で割ります。
• 指数-1では割り算を止め、1/xの原始関数を別に考えます。
• 答えを微分して係数と符号を戻し、切れた区間では定数を分けます。

つまずいた式から確かめる

個別指導で見るなら、最初に生徒が根号を書き換えた行と、その横の条件を確かめます。分母の根号に0を許していれば、元の分母に0を代入して式が定義されるかを問い直します。次に積分後の指数と割った数を指で対応させ、微分で係数が1に戻るかを見ます。

文字を含む指数では、例外値を答えの式から探す前に、各被積分項の指数が-1になる条件を書けるかを確かめます。計算の途中で誤った符号が出た場合も、答えを微分してどの項から違いが出るか追えば、修正する場所が絞れます。定義域と逆向きの微分を並べると、べきの公式を使える範囲が見えます。