高校数学III 対数型の積分—絶対値と区間を保って原始関数を書き分ける｜武蔵野個別指導塾

逆数や一次式の逆数を積分するとき、負の区間の係数や積分定数を微分で点検し、答えに残すのは絶対値です。

よくあるのは、負の区間で逆数を積分しているのに、答えをそのまま log x と書く場面です。たとえば x が負なら、実数の範囲では log x が定義されません。微分すると逆数になる形を知っていても、その式が問題の区間で使えるかは別に確かめる必要があります。

ここでの log は自然対数、つまり底が e の対数です。逆数と一次式の逆数を扱い、零点を除いた区間で原始関数を考えます。式を微分して元に戻すことと、対数の中身が正であることを、答えの両方の条件として使います。

どこで判断が分かれるか

まず、1/x の原始関数を求める型があります。x が正なら log x ですが、x が負なら log(-x) です。両方を log|x| とまとめられます。ただし x=0 は分母が0になるので、どちらの区間にも入れません。絶対値は0を使えるようにする記号ではなく、負の数を対数の正の引数へ直すための記号です。

次に、分母が ax+b の型です。a が0でなければ、分母の零点は x=-b/a です。その点を外してから、内側の微分が a であることを使い、log|ax+b| の前に 1/a を付けます。a が負でも係数の符号を保ちます。分母に一次式があることと、原始関数の係数を1にできることは同じではありません。

さらに、零点の両側にある区間で原始関数を考える型があります。左右を一本の区間としてつなぐことはできず、積分定数もそれぞれ独立です。初期条件が片側に与えられても、その情報から反対側の定数は決まりません。この区別は、公式を書くだけでは見落としやすい部分です。

対数と逆数を区間で結ぶ

ある区間で微分可能な関数 F が、各点で F′(x)=f(x) を満たすとき、F をその区間における f の原始関数といいます。同じ区間上の原始関数どうしの差は定数です。なぜなら、差を微分すると0になり、区間上で導関数が0の関数は定数だからです。原始関数に任意の定数 C を加えた形を不定積分として表します。

正の数 u に対して、自然対数の導関数は 1/u です。x>0 では |x|=x なので log|x|=log x、微分すると 1/x です。一方 x<0 では |x|=-x>0 です。合成関数の微分を使うと、log(-x) の導関数は (-1)/(-x)=1/x です。したがって、0を含まない各区間で次が成り立ちます。

∫ 1/x dx = log|x| + C

図1のように、左と右の区間は0で分かれています。どちらでも微分の結果は同じ逆数ですが、真ん中の0では被積分関数も対数も定義されません。左右を越えて定数が同じだと主張する根拠はありません。

a≠0 とし、ax+b≠0 の区間を考えます。ax+b が正なら log|ax+b|=log(ax+b) です。負なら log|ax+b|=log(-(ax+b)) であり、内側の微分は -a です。どちらの場合も導関数は a/(ax+b) になります。そこで a で割れば、一次式の逆数に戻ります。

∫ 1/(ax+b) dx = (1/a)log|ax+b| + C

この公式は a=0 のときには使えません。その場合、b≠0 なら分母は定数 b なので原始関数は x/b+C、b=0 なら元の式が定義されません。また、定義域が複数の区間に分かれる場合の C は各区間で選びます。以下では、この条件を問題ごとに先に書き出します。

基本例題：負の区間で逆数を積分する

問題：x<0 で f(x)=3/x とします。f の原始関数 F で F(-2)=1 を満たすものを、自然対数を使う正確な式で求めてください。

解き方：区間 x<0 は0を含まず、f はそこで連続です。x は負なので -x>0 と確認してから対数を書きます。図2は条件の点と、対数の中身への対応を示しています。

まず 1/x の原始関数に3を掛けます。x<0 では log|x|=log(-x) なので、区間に合わせた形は次です。

F(x) = 3log(-x) + C
F(-2) = 3log 2 + C
1 = 3log 2 + C
C = 1 - 3log 2

1行目は log(-x) を微分すると 1/x になることによります。2行目では -(-2)=2 を使い、3行目で初期条件を代入しました。最後に C を解いて戻します。

F(x) = 3log(-x) + 1 - 3log 2  （x<0）

微分すると 3・(-1)/(-x)=3/x です。また x=-2 では対数の項が打ち消し合い、F(-2)=1 に戻ります。たとえば 3log x と書くと、x<0 では実数として値がなく、条件の点にも代入できません。微分の形が似ていても、答えとして成立する区間の確認が必要です。

初期値を先に見ると、定数を求めるための代入点が原始関数の定義域にあるかも点検できます。log|x| を使った同じ答えでも、x<0 という範囲は添えてください。式を短く書いても、0を通って延長できるという意味にはなりません。

標準例題：一次式の係数と符号

問題：x<2/5 で ∫ 4/(5x-2) dx を求めてください。答えは自然対数と積分定数を使い、対数の中身を正の式で表してください。

解き方：5x-2=0 となる点は x=2/5 です。指定された区間では 5x-2<0 なので、2-5x>0 です。被積分関数はその区間で連続ですから、対数の原始関数を使えます。

分母の微分は5であり、分子の4とは一致しません。まず分子を 5 の定数倍として読み、内側の微分をそろえます。

4/(5x-2) = (4/5)・5/(5x-2)
∫ 4/(5x-2) dx = (4/5)log|5x-2| + C
= (4/5)log(2-5x) + C

1行目は (4/5)・5=4 だからです。2行目は log|5x-2| の導関数が 5/(5x-2) であることを使いました。3行目では指定区間で絶対値を外しています。答えは (4/5)log(2-5x)+C です。

確かめると、log(2-5x) の導関数は -5/(2-5x) です。これに 4/5 を掛けると -4/(2-5x)、分母と分子に -1 を掛けて 4/(5x-2) に戻ります。負の区間で絶対値を外す際、対数の内側だけを変えて係数にも別の負号を付けると、符号を二重に変えることになります。微分の時点で内側の -5 が現れることを、途中式に残してください。

発展例題：切れた定義域と初期条件

問題：x≠-3/2 で F′(x)=6/(2x+3) とします。F(-2)=0、F(0)=4 を満たす F を、それぞれの区間で自然対数を使う正確な式として求めてください。

解き方：分母が0になる x=-3/2 を境に、定義域は x<-3/2 と x>-3/2 に分かれます。両方の区間で被積分関数は連続ですが、0になる点を含む1本の区間ではありません。そこで積分定数を左では A、右では B と別に置きます。

6/(2x+3) = 3・2/(2x+3)
F(x) = 3log|2x+3| + A  （x<-3/2）
F(x) = 3log|2x+3| + B  （x>-3/2）

1行目は分母の微分が2であることを使った分解です。次の2行は、それぞれの区間上で導関数が所定の逆数になる形です。左側の条件を使うと、x=-2 で |2x+3|=1 です。log 1=0 なので、次のように決まります。

0 = 3log 1 + A
A = 0

右側では x=0 のとき |2x+3|=3 です。右の式に代入して B を求めます。

4 = 3log 3 + B
B = 4 - 3log 3

よって、求める関数は次の2つの式で表されます。

F(x) = 3log|2x+3|  （x<-3/2）
F(x) = 3log|2x+3| + 4 - 3log 3  （x>-3/2）

両式の導関数は 3・2/(2x+3)=6/(2x+3) です。左の式に -2 を、右の式に 0 を戻せば、それぞれ0と4になります。各条件は自分が属する側の定数を決めます。もし左の条件しかなければ、右の B は任意のままです。左の式をそのまま右に置くことは可能な選択の1つですが、条件から強制された結論ではありません。

間違えた式を微分と定義域で直す

たとえば x<1/3 で 1/(3x-1) を積分するとき、次の答えは成立しません。

誤り：∫ 1/(3x-1) dx = log(3x-1) + C

図3のように、指定区間では 3x-1<0 です。したがって log(3x-1) は実数の範囲で定義されません。さらに、仮に内側が正の区間を考えても、その微分は 3/(3x-1) となり、元の分子の1とは一致しません。定義域と係数という2つの問題が重なっています。

修正では、まず負の分母を正にするため 1-3x を対数の中身にします。その微分は -3 なので、全体に 1/3 を掛けます。

正しい形：∫ 1/(3x-1) dx = (1/3)log(1-3x) + C
微分結果 = (1/3)・(-3)/(1-3x)
= -1/(1-3x)
= 1/(3x-1)

図3の右側にある係数は、分母の微分を打ち消すためのものです。絶対値の形なら (1/3)log|3x-1|+C とも書けます。符号だけ直して log(1-3x)+C とすると、微分結果は元の3倍です。係数だけ直しても、負の数の対数という問題は残るため、2つを独立に点検します。

また、x=1/3 を含む区間全体でこの式を原始関数とすることはできません。対数の絶対値を付けても、その点では中身が0で、元の逆数も定義されないからです。区間を示す作業は、答えの書式を整えるためだけではありません。

練習：式と区間を先に読む

次の5問は、それぞれ自然対数を用いる正確な式で答えてください。不定積分には積分定数を付け、指定された区間で成り立つ形にしてください。

1. x>0 で ∫ 7/x dx を求めてください。
2. x>3/4 で ∫ 2/(4x-3) dx を求め、絶対値を外してください。
3. x<2 で ∫ 5/(6-3x) dx を求め、絶対値を外してください。
4. x>1 で G′(x)=8/(x-1)、G(2)=5 となる G(x) を求めてください。
5. x≠4 で H′(x)=2/(x-4)、H(3)=2、H(6)=0 となる H(x) を、左右の区間ごとに求めてください。

解答と解き方

1. x>0 なので log x の中身は正です。log x の導関数は 1/x ですから、定数倍を戻します。

∫ 7/x dx = 7log x + C

微分は 7/x となり、元の式に戻ります。x=0 は指定区間に含まれず、負の x にこの答えをそのまま適用することもありません。

2. x>3/4 なら 4x-3>0 です。分母の微分4を分子に作り、その分の係数を外に置きます。

2/(4x-3) = (1/2)・4/(4x-3)
∫ 2/(4x-3) dx = (1/2)log(4x-3) + C

微分すると (1/2)・4/(4x-3)=2/(4x-3) です。絶対値を外せる根拠は、指定区間全体で 4x-3 が正であることです。

3. x<2 なら 6-3x>0 です。分母の微分は -3 なので、分子の5を得る係数は -5/3 になります。

5/(6-3x) = (-5/3)・(-3)/(6-3x)
∫ 5/(6-3x) dx = (-5/3)log(6-3x) + C

答えを微分すると (-5/3)・(-3)/(6-3x)=5/(6-3x) です。係数が負でも、対数の内側の微分が負なので、被積分関数の符号は正に戻ります。

4. x>1 では x-1>0 です。まず導関数に対応する原始関数を置き、条件を代入します。

G(x) = 8log(x-1) + C
G(2) = 8log 1 + C
5 = C
G(x) = 8log(x-1) + 5

log 1=0 を使いました。答えを微分すると 8/(x-1)、x=2 を代入すると5です。どちらも指定された条件に戻ります。

5. x=4 で定義域が切れるので、左側の定数を A、右側の定数を B とします。それぞれの初期条件を対応する区間に代入します。

H(x) = 2log|x-4| + A  （x<4）
H(x) = 2log|x-4| + B  （x>4）
2 = 2log 1 + A
A = 2
0 = 2log 2 + B
B = -2log 2

したがって、x<4 では H(x)=2log|x-4|+2、x>4 では H(x)=2log|x-4|-2log 2 です。どちらを微分しても 2/(x-4) になります。左に3を、右に6を代入すると、それぞれ2と0です。左右で異なる定数を選んでも、各区間で与えられた微分条件に反しません。

手元に残す要点

• log|x| の導関数は、x≠0 の各区間で 1/x です。
• 一次式の逆数では、内側の微分の係数で割ります。
• 対数の中身と分母の零点を調べ、区間を明示します。
• 零点で分かれた区間の積分定数は別に決めます。
• 答えを微分し、初期条件にも戻して点検します。

途中式からつまずきを見分ける

対数を書いた行で中身が負になっていないか、まず指定区間と照らします。中身は正でも微分結果が元の定数倍になるなら、一次式の係数を取り落としている可能性があります。零点の左右に条件がある問題で同じ C を使っている場合は、区間がつながっているという前提がないかを調べます。

個別指導では、答案の対数の中身に実際の区間の値を代入し、続いてその答案を本人に微分してもらいます。そこで元の分母と分子に戻るか、初期値がどちら側の定数を決めるかを一緒に点検できます。区間と微分の両方がそろえば、対数型の答えの根拠が式に残ります。