高校数学A 期待値—値と確率を対応させて一回当たりの平均を計算する｜武蔵野個別指導塾

玉の得点表で値と確率を対応させ、実際の得点とは異なることもある平均を表す期待値です。

よくあるのは、定期テスト前の高校生が、くじで決まる得点の期待値を求めたあと、「1回引けばその得点になる」と考えてしまう場面です。計算が合っていても、その数が実際には出ない場合があります。期待値は起こりうる値を確率に応じて平均したものです。値と確率を対にして並べ、最後に何を表す数なのかまで確かめましょう。

どのような形で問われるか

1つ目は、結果とその確率が表で与えられ、期待値を計算する問題です。得点が何種類あるかを読み取り、それぞれの得点に対応する確率を掛けて足します。確率が等しいとは限らないため、得点を足して種類数で割るだけでは正しいとは限りません。

2つ目は、玉やカードの条件から、先に確率を作る問題です。同じ確率で選ばれる個々の玉やカードを数え、同じ得点になるものをまとめます。得点の種類を同じ確率の結果と決めつけると、分母を間違えます。

3つ目は、2つの方法の期待値を比べる問題です。比較する量と1回の条件をそろえ、両方の期待値をそれぞれ求めます。期待値が大きい方法でも、毎回もう一方より高い結果が出るとはいえません。ここでは有限個の値を取る得点や個数の平均を扱い、分布の理論には立ち入りません。

値と確率を一組ずつ読む

ある操作で決まる数を X とします。X が値 a、b、c を取り、それぞれの確率が p、q、r であるとき、X の期待値は a × p + b × q + c × r です。可能な値が2種類でも4種類でも、値とその確率の積を作り、すべて足す考え方は同じです。

確率は0以上で、可能な値の確率をすべて足すと1になります。この確認は、値の種類を落としていないかを見つける手がかりです。ただし合計が1でも、確率を別の値に付け替えていれば正しい表とは限りません。もとの条件に戻り、それぞれの組を確かめます。

例えば、ある操作の結果が0点、2点、5点で、それぞれの確率が1/2、1/3、1/6だとします。図1のように、上の値と下の確率を縦に対応させます。確率の和は1/2 + 1/3 + 1/6 = 1です。

図1では、0点には1/2、2点には1/3、5点には1/6が対応します。期待値は 0 × 1/2 + 2 × 1/3 + 5 × 1/6 = 3/2点です。0点にも確率がありますが、積は0です。0点の行を表から消して確率の合計を考えると、結果の抜けに気づきにくくなります。

なぜ積を足すのでしょうか。この例で各結果の回数が確率どおりに合計6回分あったと考えると、0点が3回、2点が2回、5点が1回です。合計は9点なので、1回当たりの平均は9/6 = 3/2点になります。これは重み付きの平均を理解するための考え方であり、実際の6回が必ずこの回数になるという意味ではありません。

どの結果にも同じ確率が付く場合には、通常の平均と一致します。一方、出やすい値と出にくい値が混ざるときは、出やすさを反映させる必要があります。期待値は可能な値の最小と最大の間にありますが、値の候補そのものと一致する必要はありません。

期待値を作る前には、次の順番で表を調べると整理しやすくなります。まず結果を区別する基準を決め、同じ得点になる結果をまとめます。次に、各行の確率がその得点に対応する理由を、元の結果の数に戻って説明します。最後に確率の合計を調べ、値と確率の積を計算します。表の行の順番を変えても、値と確率を一緒に移す限り、期待値は変わりません。

確率が0の値は、その条件では起こりません。計算上は値に0を掛けた項として書いても期待値には影響しませんが、起こりうる値を答える問題では区別します。また、1点と1個のように単位が異なる数を足しても、意味のある期待値にはなりません。先に何の量を平均するかを決め、答えにもその単位を付けます。

回数を増やすと常に決まった順序で結果が現れると考える必要もありません。たとえ一時的に同じ結果が続いても、1回の条件が同じなら、問題で与えられた確率に基づく期待値は変わりません。過去に出た結果を見て次の確率が変わる設定なら、別途その条件を読み直します。

基本例題：色から得点への対応

袋に赤玉が2個、青玉が3個、緑玉が1個入っています。6個の玉はどれも同じ確率で取り出されるものとし、1個取り出します。赤なら4点、青なら1点、緑なら0点です。1回の得点の期待値を既約分数で求めてください。単位は点とします。

まず1回に取り出す玉の候補は 2 + 3 + 1 = 6個です。色は3種類ありますが、色ごとの個数が違います。色を等確率の3通りとして扱うことはできません。

図2のように、玉の個数から確率を出し、そこに決められた得点を合わせます。赤、青、緑は同時には起こらず、どれか1色が必ず出るので、得点ごとの確率を重複なく並べられます。

赤を引く確率は 2/6 = 1/3 です。青を引く確率は 3/6 = 1/2、緑を引く確率は 1/6 です。図2の3つの確率を足すと 1/3 + 1/2 + 1/6 = 1 です。

赤の得点と確率の積は 4 × 1/3 = 4/3、青は 1 × 1/2 = 1/2、緑は 0 × 1/6 = 0 です。これらを足して、期待値を求めます。

4/3 + 1/2 + 0

= 8/6 + 3/6

= 11/6点

答えは 11/6点 です。確認のため、6個の玉をそれぞれ1回ずつ選んだ場合の得点を合計すると、赤2個で8点、青3個で3点、緑1個で0点、合計11点です。6個が同じ確率なので、その平均も 11/6点です。この確認は条件の個数と得点に戻るもので、実際に6回引くと各玉が1回ずつ選ばれるという主張ではありません。

11/6点は、1回に得られる0点、1点、4点のどれでもありません。それでも期待値として正しい数です。0点が出た回の得点を期待値に書き換えるのではなく、可能な結果全体の平均として読みます。

発展例題：同じ条件で2つの方式を比べる

1から8までの整数を1つずつ書いた8枚のカードから、1枚を同じ確率で選びます。方式Aでは、選んだ数が1、2、3、4なら3個、それ以外なら1個のシールをもらいます。方式Bでは、選んだ数が1、2なら5個、3、4、5、6、7なら2個、8なら0個のシールをもらいます。それぞれ1回当たりにもらうシールの個数の期待値を既約分数で求め、どちらが大きいか答えてください。

方式Aでは、3個になるカードは4枚、1個になるカードも4枚です。したがって、3個の確率は4/8、1個の確率も4/8です。それぞれの確率の和は1なので、8枚分を漏らさず整理できています。

方式Aの期待値は 3 × 4/8 + 1 × 4/8 = 16/8 = 2個です。カード8枚のシール数を合計しても 3 × 4 + 1 × 4 = 16個なので、1枚当たり16/8 = 2個と確認できます。

方式Bでは、5個になるカードは2枚、2個になるカードは5枚、0個になるカードは1枚です。確率は順に2/8、5/8、1/8となり、和は1です。方式Aとは値の種類と枚数が異なるので、同じ確率表を使い回さないことに注意します。

方式Bの期待値は 5 × 2/8 + 2 × 5/8 + 0 × 1/8 = 20/8 = 5/2個です。8枚分を合計すると10 + 10 + 0 = 20個で、条件に戻した確認も一致します。2 = 4/2 なので、5/2個の方式Bのほうが期待値は大きいです。

ただし、同じ数のカードで方式を比べると、例えば8では方式Aが1個、方式Bが0個です。方式Bが常に多いわけではありません。期待値の比較は、全カードを同じ確率で選ぶ1回当たりの平均の比較です。どちらの方式にも同じカードの選び方を使って初めて、ここでの比較が成り立ちます。

誤答を直す：得点の種類を等しく扱わない

基本例題で、得点の種類が4点、1点、0点だから、その平均は (4 + 1 + 0) ÷ 3 = 5/3点だとしたとします。図3の左側は、この誤りが各得点に1/3ずつの重みを付けたことを表します。

図3の右側では、実際の赤2個、青3個、緑1個に合わせ、確率をそれぞれ2/6、3/6、1/6としています。左の確率の和も1ですから、和の検査だけでは誤りを見抜けません。色の種類数で割るのではなく、同じ確率で選ばれる6個の玉を基準に数え直します。

修正後は 4 × 2/6 + 1 × 3/6 + 0 × 1/6 = 11/6点です。値と確率の対が元の袋の条件に合うか、各色の玉を指さすつもりで確認します。別の誤りとして、確率だけを足して1を答えにする場合もあります。確率の和は表の点検に使い、求める期待値は得点を掛けてから足します。

また、期待値が11/6点だからその点数を実際に取ると考えるのも誤りです。1回の得点は0点、1点、4点のいずれかで、11/6点はその平均を表します。計算結果と起こりうる結果の一覧を並べると、2つの役割を分けられます。

計算途中に分数が並ぶときは、約分を先にしても後にしても構いません。ただし、足し算をする前に、各分子がどの得点の何回分に由来するかを確認します。例えば基本例題の 8/6 は赤の4点が6個中2個に対応する部分であり、3/6 は青の1点が3個に対応する部分です。両者を取り違えると、計算が整っていても袋の条件と一致しません。

自分で解く4問

次の問題では、答えは既約分数または整数で表し、単位も付けてください。すべての選択肢は、それぞれ同じ確率で選ばれるものとします。

1. 1から5までの数を1つずつ書いた5枚のカードから1枚を選びます。1または2なら6点、3、4、5なら1点です。1回の得点の期待値を求めてください。
2. 白い札4枚と黒い札2枚から1枚を選びます。白なら花の絵を2個、黒なら花の絵を5個描きます。1回に描く花の絵の個数の期待値を求めてください。
3. 1から6までの数を1つずつ書いた6枚の札から1枚を選びます。方法Pは1または2なら9点、それ以外は0点です。方法Qは1、2、3、4なら4点、それ以外は1点です。それぞれの期待値を求め、大小を比較してください。
4. 7枚のカードのうち3枚には0点、2枚には2点、残り2枚には7点と書いてあります。1枚を選ぶときの得点の期待値を求めてください。期待値と同じ得点のカードがあるかも答えてください。

解答と確かめ方

1の答え：3点。 6点の確率は2/5、1点の確率は3/5です。期待値は 6 × 2/5 + 1 × 3/5 = 15/5 = 3点です。5枚について得点を合計すると 6 + 6 + 1 + 1 + 1 = 15点で、1枚当たり3点となり、カードの条件に戻しても一致します。6点と1点を単純に足して2で割ると、各得点のカード枚数の違いが消えてしまいます。

2の答え：3個。 白と黒の確率はそれぞれ4/6と2/6です。したがって 2 × 4/6 + 5 × 2/6 = 18/6 = 3個です。白4枚分で8個、黒2枚分で10個となり、合計18個を札6枚で平均した値とも一致します。白と黒が各1/2とは限らないことを、枚数の合計に立ち返って確かめます。

3の答え：Pは3点、Qは3点で等しい。 Pは 9 × 2/6 + 0 × 4/6 = 3点です。Qは 4 × 4/6 + 1 × 2/6 = 18/6 = 3点です。札6枚の得点の合計は、Pでは18点、Qでも18点です。期待値が同じでも、例えば札の数が3ならPは0点、Qは4点で、各結果まで同じではありません。

4の答え：18/7点、同じ得点のカードはありません。 得点0、2、7の確率は順に3/7、2/7、2/7です。期待値は 0 × 3/7 + 2 × 2/7 + 7 × 2/7 = 18/7点です。7枚に書かれた得点の合計は 0 + 0 + 0 + 2 + 2 + 7 + 7 = 18点で、平均を取り直しても18/7点です。カードに書かれた3種類の値を順に調べると、18/7と等しいものはありません。

手元に残す要点

期待値は、値と対応する確率の積を足した数です。
確率の合計が1か確かめ、各組を元の条件とも照合します。
比較では1回の条件と対象の量をそろえます。
期待値は1回で必ず得られる値ではありません。

途中式からつまずきを見分ける

表を作る前に値だけを平均していたら、まず「同じ確率で選ばれるのは何か」を本人の言葉で説明してみましょう。玉が同じ確率なのか、色が同じ確率なのかを区別できれば、分母に置く個数が定まります。確率の和が1でも、対応が入れ替わる誤りは残るので、1つの色について玉の個数と得点をたどります。

個別指導で確認するなら、本人が書いた1つの積を選び、左の数が何を表し、右の数をどの条件から求めたのかを順に説明してもらいます。最後に、答えが実際の候補にあるかと、その有無が計算の正誤を決めるかを尋ねます。値と確率の対応をたどれば、期待値の意味まで見通せます。