高校数学A 条件付き確率—条件を満たす範囲に分母を絞って確率を求め直す｜武蔵野個別指導塾

表の行と列や樹形図の枝から分母の変化をたどり、向きを読み解くのが条件付き確率です。

よくあるのは、定期テスト前の高校生が「赤い札だったとき、丸印がある確率」と「丸印があるとき、赤い札である確率」を逆向きに読んでしまう場面です。どちらにも赤と丸が出てくるので、分子は同じになりえます。しかし、何が既にわかっているかが違えば、比べる相手の範囲も変わります。まず条件に線を引き、その範囲の中で求める事象を探しましょう。

問われ方を先に仕分ける

条件付き確率には、表から必要な行や列を選ぶ型があります。例えば札の色と印を表にまとめたとき、「赤とわかっている」なら赤の札を母集団として見ます。その中に丸印がいくつあるかを数えます。全体の枚数をそのまま分母にするのは、赤という情報を受け取る前の確率です。

次に、順に起こる事象を樹形図で追う型があります。最初の枝の確率と、その枝に進んだ後の確率を掛けると、両方が起こる確率が出ます。玉を戻さずに引く場合は、最初の結果によって残りの中身が変わります。2回目の確率を、初めの袋の割合のまま使えるとは限りません。

さらに、結果から原因を逆算する型もあります。ある箱から札を取った結果が知られた後に、どの箱から取ったかを求める問題です。箱ごとの出やすさだけで決めず、その箱を選ぶ確率も含めて、結果に到達する枝を比べます。条件の向きが変わると、必要な計算も変わります。

条件の内側に視点を移す

事象 A が起こったという条件のもとで、事象 B が起こる確率を P(B|A) と書きます。縦線の右が条件、左がその条件の中で調べる事象です。縦線は割り算の記号ではなく、「という条件のもとで」という意味を表します。

P(A) が 0 でないとき、定義は次のとおりです。

P(B|A) = P(A と B の両方) / P(A)

分母は条件 A の確率、分子は A と B が両方起こる確率です。図1のように、まず全体から A を選び、その中で B にも入る部分を見ます。条件の範囲を分母にすることが、この式の中心です。

図1の枠は範囲の包含関係を表します。数値に比例した面積として確率を読む図ではありません。全体から見る共通部分と、A の内側だけから見る共通部分は同じ部分でも、比べる基準が異なります。

例えば同様に確からしい札が 20 枚あり、A に当たる札が 8 枚、そのうち B にも当たる札が 3 枚なら、P(B|A) = 3/8 です。全体に対する両方の確率は 3/20 ですが、これは別の問いの答えです。札が均等に選ばれない場合、単純な枚数の比は使えません。その場合は各事象の確率を定義式に入れます。

P(A) = 0 なら、上の式は 0 で割ることになるため、この定義では P(B|A) を求められません。条件に当たる札が 0 枚の表で、分母に 0 を置いて計算を続けないようにします。問題の条件が成り立つ可能性を最初に確認することも、式を立てる手順の一部です。

定義式を変形すると、P(A と B の両方) = P(A) × P(B|A) です。これを乗法定理といいます。順序を逆にして P(B) × P(A|B) としても、両方が起こる同じ確率になります。ただし、掛ける条件付き確率の向きまで一緒に変える必要があります。

表を使うときは、行と列の見出しを先に書き、空欄を引き算で埋めてから合計を照合します。たとえば条件に当たる行に含まれる数の和が、問題文の条件の個数と一致しなければ、分母を選ぶ前に表を修正します。確率だけが与えられた樹形図でも同様に、同じ分岐から出る枝の確率の和が 1 になるかを確かめます。枝が抜けたまま結果に至る経路を足すと、分母が小さくなり、逆算した答えが変わってしまいます。

独立と排反も区別します。独立なら A が起きても B の確率は変わらず、P(B|A) = P(B) です。一方、排反は A と B が同時に起こらないことです。両方の確率が正の排反な事象では、A のもとで B の確率は 0 なので独立ではありません。「同時に起きない」と「影響しない」は別の関係です。

表のどこを分母にするか

基本例題。赤い札 12 枚と青い札 8 枚があり、赤のうち 9 枚、青のうち 3 枚に丸印があります。20 枚から 1 枚を同様に確からしく選びます。赤い札だったとわかったとき、丸印がある確率を既約分数で求めてください。また、丸印があるとわかったとき、赤い札である確率も既約分数で求めてください。

図2のように、色と印の組を表にします。丸印なしの枚数は赤が 12 − 9 = 3、青が 8 − 3 = 5 です。丸印ありの合計は 9 + 3 = 12 枚、印なしの合計は 3 + 5 = 8 枚です。各行の合計も 12 枚と 8 枚に戻るので、与えられた枚数と合っています。

最初の問いでは赤い札とわかっています。条件に当たる 12 枚を分母とし、その中で丸印がある 9 枚を分子にします。

P(丸|赤) = 9/12 = 3/4

確率の定義からも確認できます。P(赤と丸) = 9/20、P(赤) = 12/20 なので、(9/20) / (12/20) = 3/4 です。全体の 20 が約分されて、赤の中の割合になります。

次の問いは丸印が条件です。丸印のある 12 枚を分母とし、その中の赤 9 枚を分子にします。

P(赤|丸) = 9/12 = 3/4

この例では偶然どちらも同じ値ですが、これは一般には成り立ちません。分母に選んだ範囲は赤の行と丸の列で異なります。数が等しくても理由を区別して書けば、値が異なる問題にも対応できます。

表の中の 9 枚は、赤であり丸印もある共通部分です。条件の向きを変えても共通部分は変わりません。変わるのは、赤の 12 枚を基準にするか、丸の 12 枚を基準にするかです。答えを見直すときは、分数の分子と分母がそれぞれどの札を数えているかを言葉に戻します。

枝を逆向きにたどる

少し難しい例題。箱 X を選ぶ確率は 2/5、箱 Y を選ぶ確率は 3/5 です。X には白玉 3 個と黒玉 1 個、Y には白玉 1 個と黒玉 3 個があります。選んだ箱から 1 個を同様に確からしく取り出します。白玉だったとき、箱 X を選んでいた確率を既約分数で求めてください。

白玉という結果が条件です。白玉に至る経路は X を選んで白玉を取る経路と、Y を選んで白玉を取る経路の 2 つです。箱の選択はどちらか一方なので、これらの経路は重なりません。まず各経路の確率を乗法定理で求めます。

P(X と白) = P(X) × P(白|X) = 2/5 × 3/4 = 3/10

P(Y と白) = P(Y) × P(白|Y) = 3/5 × 1/4 = 3/20

したがって、P(白) = 3/10 + 3/20 = 9/20 です。この値を条件付き確率の分母に置きます。

P(X|白) = P(X と白) / P(白)

= (3/10) / (9/20)

= 2/3

X から白を取る確率 3/4 は P(白|X) です。求める P(X|白) は、白を取った場合に限って箱を見直した割合です。箱の選ばれやすさが異なるため、3/4 をそのまま答えにはできません。X と Y の両方の白への経路を足してから比べることが必要です。

検算として、分母の白の確率 9/20 に答え 2/3 を掛けると 3/10 となり、X を選んで白を取る確率に戻ります。Y の側は残りの 1/3 で、9/20 × 1/3 = 3/20 です。2 本の経路を足すと、元の白の確率に戻ります。

条件が「X を選んだ」なら分母は P(X) になり、答えは 3/4 です。条件が「白玉だった」なら、X と Y の両方から来る白玉を分母にします。同じ樹形図でも、問題文の「とき」の前が変われば、集める枝が変わります。

逆向きの分母を直す

誤答例として、上の箱の問題に 3/4 と答えた場合を考えます。図3のように 3/4 は X という出発点を指定して白へ進む枝の確率です。白という終点から X を尋ねる問いでは、白に達する 2 本の経路を比較しなければなりません。

誤りの原因は、条件の言葉と求める言葉を入れ替えて式にしたことです。図3で白に達する経路は 3/10 と 3/20 なので、正しくは 3/10 をその和 9/20 で割ります。共通部分の確率を分子に、条件の確率を分母に置き直すと 2/3 です。

別の間違いは、白の割合が X では 3/4、Y では 1/4 だから、3/4 を両者の和で割って 3/4 とする方法です。この計算は箱を同じ確率で選ぶ場合にしかそのまま使えません。ここでは X と Y の選択確率が違うため、それぞれの枝に 2/5 と 3/5 を掛けてから比べます。

また、表の問題で赤と丸の 9 枚を全体の 20 枚で割ると、赤と丸が同時に起こる確率になります。条件付き確率の分母が全体に戻っていないか、分数の下に「条件に合う範囲」と書いて点検しましょう。条件に合うものが 0 個なら、その条件のもとでの割合は定義できません。

練習問題

各問題で、特に指定しない限り、選ぶ対象は同様に確からしいものとします。答えは既約分数で表してください。先に条件と調べる事象を言葉で書き分けてから解きましょう。

1. 30 枚のカードのうち星印があるものは 18 枚です。星印がある 18 枚のうち 6 枚、星印がない 12 枚のうち 8 枚は角が青色です。1 枚を選び、角が青色だったとき、星印がある確率を求めてください。
2. 袋に赤玉 4 個と白玉 3 個があります。戻さずに 2 個を順に取り出します。1 個目が赤玉だったとき、2 個目が白玉である確率と、赤玉の後に白玉を取る確率を求めてください。
3. 箱 C を選ぶ確率は 1/3、箱 D を選ぶ確率は 2/3 です。C には当たり札 2 枚とはずれ札 3 枚、D には当たり札 1 枚とはずれ札 4 枚があります。選んだ箱から 1 枚を取って当たりだったとき、C を選んでいた確率を求めてください。
4. 1 から 12 までの整数を 1 つ選びます。偶数であるとき、3 の倍数である確率と、3 の倍数であるとき、偶数である確率をそれぞれ求めてください。

答えと考え方

1. 青い角のカードは 6 + 8 = 14 枚です。そのうち星印があるものは 6 枚なので、求める確率は 6/14 = 3/7 です。星印のある 18 枚を分母にした 6/18 は、星印のもとで青い角を求める逆向きの確率です。青い角の中の星なしは 8/14 であり、6/14 と合わせると青い角の 14 枚に対応します。

2. 1 個目が赤なら、残りは赤 3 個、白 3 個の計 6 個です。条件付き確率は 3/6 = 1/2 です。最初に赤を取る確率は 4/7 なので、順に赤、白となる確率は 4/7 × 1/2 = 2/7 です。最初の赤を条件にした割合と、最初から両方を求める確率を区別します。赤の後に残る 3 個の白は、元の白 3 個から減っていないことも確認できます。

3. C から当たりに至る確率は 1/3 × 2/5 = 2/15、D から当たりに至る確率は 2/3 × 1/5 = 2/15 です。当たりの確率は 4/15 なので、C の確率は (2/15) / (4/15) = 1/2 です。当たりの中で C と D の経路が等しいこととも一致します。答え 1/2 に当たりの確率 4/15 を掛けると、C から当たりへの 2/15 に戻ります。

4. 偶数は 2、4、6、8、10、12 の 6 個です。そのうち 3 の倍数は 6、12 の 2 個なので、前者は 2/6 = 1/3 です。3 の倍数は 3、6、9、12 の 4 個で、そのうち偶数は同じ 2 個です。後者は 2/4 = 1/2 です。共通する 2 個を両方に使い、条件側の個数だけを取り替えています。

手元に残す要点

条件付き確率の分母は、条件に当たる範囲の確率です。
分子は条件と求める事象がともに起こる確率です。
枝の確率は、そこまでの条件を確かめて掛けます。
結果から原因を見るときは、その結果に至る経路を集めます。

途中式からつまずきを見分ける

分母が全体のままなら、「何が既にわかっているか」を問題文に戻って確かめます。分子と分母が逆なら、条件の範囲の中に共通部分が収まることを表で指さして説明します。値が 1 を超えた場合も、範囲の取り方や割る向きを見直す手がかりになります。ただし 1 以下でも分母の選択が正しいとは限りません。

個別指導で確かめるなら、箱の問題の 3/10 と 9/20 がそれぞれ何を表すか、図を指しながら説明してもらいます。式の答えだけでなく、白に至る別の枝を足す理由まで言えれば、条件を逆向きに読む誤りを見つけやすくなります。条件を言葉で示してから分母を選ぶと、確率の向きが定まります。