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高校数学A 角の二等分線の比—辺の長さと分けられた線分の比を対応させて求める｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.11更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校の定期テスト数学A 単元別

内分と外分の図を見比べ、比の順序や等辺で外分点がない理由を、辺の長さへ戻して確かめます。

よくあるのは、定期テスト前に三角形の角の二等分線の問題を解き、図の左右にある辺の長さを逆に対応させてしまう場面です。計算は丁寧でも、最初の比の順序が入れ替わると、求める点が反対側に移ってしまいます。頂点からどちらの端へ向かう辺かを、分けられた線分の端と結びつけてみましょう。内角と外角で点の位置がどう変わるかも、同じ文字を使って確かめます。

長さを求める前に見たい3つの型

角の二等分線の比では、まず三角形の2辺と、残る辺の全体が与えられ、二等分線が残る辺を分けた長さを求める型があります。もう1つは、分けられた長さと1辺から、別の辺の長さを逆に求める型です。どちらも、辺と線分の対応を決めてから式にします。

3つ目は外角の二等分線が辺の延長と交わる型です。このときは、辺の全体が2つの線分の和ではなく、長い方から短い方を引いた差になります。図の中に点があるか、延長上にあるかで式を選びます。図だけを頼りにして長さの大小を決めるのではなく、与えられた比と位置を照合することが必要です。

このページで扱うのは三角形の角の二等分線と内分・外分です。二等分線の交点を中心とする別の性質は使わず、線分の長さと比に絞って考えます。

内側と外側で変わる点の位置

三角形ABCで、頂点Aの内角を二等分する直線と辺BCとの交点をDとします。二等分とは、角BADと角DACが等しいという意味です。Dは辺BCの途中にあるので、BDとDCを足すとBCになります。このとき成り立つ関係は次のとおりです。

BD : DC = AB : AC

左から順に読むと、B側の線分BDはBへ向かう辺ABに、C側の線分DCはCへ向かう辺ACに対応します。比の両側を同時に逆にしたDC : BD = AC : ABも同じ関係です。一方だけを逆にすると、一般には別の式になってしまいます。

図1のように、内角ではDがBとCの間にあります。右側の図はAの外角の二等分線と直線BCの交点をEとした場合で、Eは辺BCの外にあります。外角は、例えば辺BAをAの先へ延長してできる角です。Eが有限の点として存在するとき、長さの比は次のようになります。

BE : CE = AB : AC

こちらもB側のBEとAB、C側のCEとACが対応します。ただしEがCの外側ならB、C、Eの順に並ぶので、BE = BC + CEです。EがBの外側ならE、B、Cの順に並び、CE = BC + BEです。Eがどちらにあるかを決めずに、いつも同じ引き算を使うことはできません。

内角の関係は面積で確かめられます。三角形ABDとACDは、それぞれ底辺をBDとDCと見れば、Aから直線BCに下ろした高さが共通です。したがって面積の比はBD : DCです。一方、底辺をABとACと見ると、それぞれDからその辺へ下ろした高さの比は等しくなります。ADを共通の斜辺とする2つの直角三角形で、Aの角が等しいためです。よって面積の比はAB : ACでもあり、2つの比が一致します。

外角でも、二等分によってEから直線ABとACへ下ろした垂線の長さが等しくなります。三角形ABEとACEの面積を共通の高さで比べるとBE : CE、別の共通の高さで比べるとAB : ACです。ここでは直線への垂線を考えるので、足が辺の延長上にあっても構いません。面積の比を2通りで表すことで、内角と同じ対応が得られます。

外角では、ABとACが等しい場合に注意します。もし有限の交点EがあればBE = CEですが、B、C、Eが一直線上にあり、Eが辺BCの外側にあるとき、この2つの長さは等しくなりません。実際には外角の二等分線はBCに平行で、交点がありません。等辺のときに差を分母とする式を使ってはいけないのは、単に計算が止まるからではなく、求める交点自体がないからです。

比と位置から答えを点検する

内角の二等分線では、ABがACより短いとBDもDCより短くなります。Dは辺の中点よりBに近い側です。反対にABがACより長ければ、DはCに近い側です。両方の辺が等しければBDとDCも等しく、Dは中点になります。こうした大小は計算後の簡単な点検になりますが、図の見た目だけで大小を測る必要はありません。

外角では、交点からBとCまでの長さのうち、遠い方が長くなります。AB > ACならBE > CEなので、EはCの外側です。AB < ACならCE > BEなので、EはBの外側になります。比が1に近づくと差に当たる部分が小さくなるため、同じBCに対して交点までの距離は大きくなります。等しくなったときには有限の交点がなくなるので、分母が0の式に数値を入れて長さを決めることはできません。

基本例題：辺の全体を比に分ける

三角形ABCでAB = 6 cm、AC = 9 cm、BC = 10 cmです。角Aの内角の二等分線と辺BCとの交点をDとします。BDとDCの長さを、それぞれ既約分数または整数で、単位を付けて求めてください。

図2ではDが辺BCの途中にあります。まず定理に文字の順序を合わせ、次の比を立てます。

BD : DC = AB : AC

BD : DC = 6 : 9 = 2 : 3

両方とも正の長さです。そこで、同じ正の数を使ってBD = 2t cm、DC = 3t cmと置きます。DはBとCの間にあるため、2つを足すと辺全体の10 cmです。

2t + 3t = 10

5t = 10

t = 2

よってBD = 4 cm、DC = 6 cmです。比の和が5なので、10 cmを5等分した1つ分が2 cmと考えても同じです。ここで2 : 3をそのまま長さとせず、全体の長さに合わせた倍率tを求めています。

元の条件へ戻して確認します。4 + 6 = 10なので、2つを合わせた長さはBCに一致します。また4 : 6 = 2 : 3 = 6 : 9で、B側とC側の比も与えられた2辺に合います。三角形の辺の条件も6 + 9 > 10、6 + 10 > 9、9 + 10 > 6を満たします。点Dが辺の途中にあることも、両方の長さが正であることから確かめられます。

比を使ってBDを直接求めるなら、BDは全体のうち2/(2 + 3)に当たります。したがって10 × 2/5 = 4 cmです。DCには残りの3/5を対応させます。比の数字のうち、求める線分に対応する側を分子にすることが、式を短くしても順序を間違えないための手掛かりです。

発展例題：外側の点までの長さを求める

三角形ABCでAB = 8 cm、AC = 5 cm、BC = 9 cmです。頂点Aの外角の二等分線と直線BCとの交点をEとします。BEとCEを、それぞれ既約分数または整数で、単位を付けて求めてください。

外角の定理からBE : CE = AB : AC = 8 : 5です。BEの方が長いため、EはCの外側にあります。もしEがBの外側にあると、CEの方がBCだけ長くなり、8 : 5に合いません。したがってB、C、Eの順に並び、BE = BC + CEです。

BE = 8s cm、CE = 5s cmと置くと、長い方と短い方の差がBCです。

8s − 5s = 9

3s = 9

s = 3

BE = 24 cm、CE = 15 cmです。元の図に戻すと、24 − 15 = 9でBCの長さに一致し、24 : 15 = 8 : 5で2辺の比にも一致します。8 + 5 > 9など、3辺は三角形の条件を満たします。点の並びと正の長さも矛盾しません。

内角の例では比の和2 + 3を使い、外角の例では比の差8 − 5を使いました。この違いは公式の暗記ではなく、BCが2つの長さの和か差かという点の位置から決まります。AB < ACならEはBの外側です。その場合も、CEからBEを引いてBCに戻ることを確認します。

対応を逆にした答案を直す

基本例題で「BD : DC = AC : AB = 9 : 6」と書き、BD = 6 cm、DC = 4 cmとした答案を考えます。和は10 cmなので、全体の長さだけを点検すると誤りを見逃します。図3のように、Bとつながる辺ABにはBDを、Cとつながる辺ACにはDCを対応させます。破線は逆の比で置いた点を示しています。

誤答の6 : 4は9 : 6に一致しますが、正しく対応させたAB : AC = 6 : 9には一致しません。正しい比はBD : DC = 6 : 9です。BDを4 cm、DCを6 cmに直せば、和と対応の両方が条件を満たします。和が合うことは必要ですが、それだけで二等分線上の点とは決まりません。

外分で起こりやすい別の間違いは、BE : CE = 8 : 5に対して、BE + CE = 9とすることです。EがCの外にあるならBEはBCとCEを合わせた長さなので、BE − CEが9です。もし和を使うと、求めた2つの長さの差が9にならず、元の点の並びに戻せません。計算の前に3点を一直線上に書くと、どの部分が重なっているか見えます。

また、AB = ACなのに外角の式を機械的に変形し、0を分母にすることも避けます。等しい長さで外分する有限の点はなく、直線は平行です。答えが出ない計算を続ける前に、交点が存在する条件まで確かめましょう。

手を動かす4問

次の問題は長さが正で、三角形はつぶれていないものとします。指定の長さは既約分数または整数で表し、単位を付けてください。

三角形PQRでPQ = 10 cm、PR = 6 cm、QR = 8 cmです。角Pの内角の二等分線と辺QRの交点をSとします。QSとSRを求めてください。
三角形XYZでXY = 9 cm、YZ = 7 cmです。角Xの内角の二等分線と辺YZの交点をTとし、YT = 3 cmとします。XZを求めてください。
三角形KLMでKL = 7 cm、KM = 4 cm、LM = 6 cmです。角Kの外角の二等分線と直線LMとの交点をNとします。LNとMNを求めてください。
三角形UVWでUV = UW = 5 cm、VW = 6 cmです。角Uの外角の二等分線と直線VWに有限の交点があるか答え、理由を説明してください。

答えと元の条件への戻し方

答えはQS = 5 cm、SR = 3 cmです。QS : SR = PQ : PR = 10 : 6 = 5 : 3で、全体のQRは8 cmです。比の和は8なので、1つ分は8 ÷ 8 = 1 cmです。5 + 3 = 8、5 : 3 = 10 : 6となり、元の長さと比に戻ります。三角形の3辺も10 + 6 > 8、6 + 8 > 10、8 + 10 > 6を満たします。
答えはXZ = 12 cmです。Tは辺YZの途中なのでTZ = 7 − 3 = 4 cmです。YT : TZ = XY : XZより、3 : 4 = 9 : XZとなります。3 × XZ = 4 × 9ですから、XZ = 12 cmです。戻して9 : 12 = 3 : 4、3 + 4 = 7を確認します。9 + 7 > 12を含む3辺の条件も満たします。7をTZにそのまま使うと、辺全体と一部分を混同します。
答えはLN = 14 cm、MN = 8 cmです。LN : MN = KL : KM = 7 : 4なので、LNの方が長く、NはMの外側にあります。LN = 7u cm、MN = 4u cmとすると、LN − MN = LM = 6 cmです。3u = 6、u = 2から答えが出ます。14 − 8 = 6、14 : 8 = 7 : 4で元の条件へ戻ります。7 + 4 > 6など、三角形も成立します。
答えは有限の交点はありません。仮に直線VWと外角の二等分線が有限の点で交わるとすれば、外分の関係からその点とV、Wとの距離は等しくなります。しかし辺VWの外側にある点では、2つの距離はVWの長さだけ異なります。したがって矛盾し、外角の二等分線はVWに平行です。5 + 5 > 6など、三角形の条件は満たしているので、交点がない理由は三角形が作れないことではなく、2辺が等しいことです。