数検準2級—高1程度の範囲、2次関数と三角比｜武蔵野個別指導塾

高1の秋に受ける準2級は、1次が50分15問、2次が90分10問です。2次関数の頂点と鈍角の三角比の符号でつまずく所を例題3問で確かめ、8週間の進め方を1日の量まで並べています。

準2級は高校1年程度の級で、実施は公益財団法人 日本数学検定協会、検定の正式名は実用数学技能検定です。先に要点を表に置きます。

1次か2次の片方だけに合格したときは、次に受けるときにその合格した側の免除を申請する制度があります（1〜5級）。検定日ごとにどの級が受けられるか、会場がどこかは、協会の案内で確かめてから申し込みます。

よくあるのは、高1の秋の定期テストが返ってきて、2次関数の最大・最小と三角比の章で点を落とし、このまま冬を迎えてよいのかと机の前で考え込む場面です。答案を見ると、頂点の座標の符号が逆、cos120°の符号が逆、といった同じ種類の誤りが並んでいます。準2級の範囲はこの秋の単元とほぼ重なります。検定日を一つ決めて8週間の計画を引けば、定期テストの直しと検定の対策が同じ作業になります。

試験のかたちと範囲

準2級は1次と2次の2つの検定で成り立っています。図1のように、1次の計算技能検定は50分で15問、2次の数理技能検定は90分で10問です。初めて受けるときは1次と2次の両方を受けます。合格の目安は1次が全問題の70%程度、2次が全問題の60%程度で、両方に合格すると準2級の合格です。

1次は計算技能を測る検定で、1問あたりに使える時間は3分と少しです。式を変形して値を出す力、つまり手の速さと正確さが問われます。2次は数理技能を測る検定で、1問あたり9分です。問題文を読んで何を求めるかを決め、使う道具を選び、筋道を立てて答えに着地させる力が問われます。同じ2次関数でも、1次では頂点の座標を出す問題、2次では条件から最大値を求めて理由まで示す問題、という違いになります。

出題の範囲は協会の案内に、数と集合、数と式、二次関数、二次不等式、三角比、データの分析、場合の数、確率、整数の性質、n進法、図形の性質と示されています。高校の教科書でいえば数学Ⅰと数学Aの内容が中心で、そこに中学3年までの内容が土台として入ります。高1の秋の時点では、三角比の後半にある正弦定理と余弦定理や、データの分析をまだ授業で習っていない学校もあります。その場合は、習っていない単元を自分で先に読んでから検定に臨むか、授業が追いつく検定日まで待つかを決めます。個人受検の残りの回はどれも準2級を受けられます。これから申し込むなら、締切は1月16日（土）の回が12月1日、2月12日（金）と13日（土）の回が1月8日（受付の開始は12月7日）、3月6日（土）の回が1月26日です。

検定料は個人受検で5,600円です。片方だけ合格した場合の免除を申請すれば、次は残った側だけを受けます。これは、1次だけは先に取っておく、という作戦が成り立つことを意味します。計算の速さに自信があるなら、まず1次を確実に取り、2次の記述を次の検定日までに仕上げる、という2段構えも選べます。

当日の時間の使い方も先に決めておきます。1次は50分で15問なので、最初の30分で15問を一巡し、残りの20分で符号が関わる問題だけを代入して確かめます。2次は90分で10問なので、60分で一巡し、残りの30分で途中の式が飛んでいないかを見直します。一巡のときに手が止まった問題には印を付けて飛ばし、最後に戻ります。1問に10分以上かけて残りを落とすのが、いちばん多い失点の形です。

合格までの進め方

高1の秋から冬の検定日までを8週間と置き、図2のように4つの段に分けます。順番には理由があります。1次の計算技能は毎日の短い練習で伸び、2次の数理技能はその計算が自動化されて初めて考える余裕が生まれるからです。

第1段（1〜2週目）は計算の土台です。展開と因数分解、平方根の計算、絶対値、1次不等式、集合と命題の記号を、1日40分で見直します。この段では新しい知識を足すより、中3までの計算で詰まる所を無くすことが目的です。たとえば分母の有理化で √ の中の計算を間違える、因数分解でたすき掛けの符号を落とす、といった誤りをここで潰します。1次の15問のうち、この土台だけで解ける問題が確実に取れるようになります。

第2段（3〜4週目）は2次関数です。平方完成で頂点を出す、グラフの向きと軸を読む、定義域が決まっているときの最大値と最小値を求める、2次方程式の解と判別式、2次不等式の解の範囲、の順に進みます。1日40分のうち前半の15分は平方完成だけを10題ほど繰り返し、後半の25分で最大・最小と不等式の問題を解きます。平方完成が手で自動的に進むようになると、最大・最小の問題は、頂点が定義域の中にあるか外にあるかを見るだけの問題に変わります。

第3段（5〜6週目）は三角比です。直角三角形の定義から始めて、30°・45°・60°の値を表に頼らず図から出せるようにし、次に鈍角の三角比を単位円で確かめます。sin、cos、tan の相互関係、正弦定理と余弦定理、三角形の面積の公式まで進めます。ここでも1日40分のうち、最初の10分は、cos120°はいくつか、sin150°はいくつか、を図を描いて答える練習に当てます。図を描かずに暗記で答えると、本番で符号を落とします。

第4段（7〜8週目）は過去の検定問題による仕上げです。協会が公開している問題を、1次は50分、2次は90分と時間を計って解きます。1回解いたら、間違えた問題を、計算の誤り、知識の抜け、読み違い、の3つに分けて書き出します。計算の誤りは翌日に同じ型の問題を5題、知識の抜けはその単元の例題に戻る、読み違いは問題文に線を引いて条件を数え直す、と直し方を変えます。2回目以降は、前回と同じ分類の誤りが減っているかだけを見ます。

1日40分を週5日、8週間で合計1,600分、およそ26時間半です。この量で足りるかどうかは、第1段の2週間で決まります。土台の計算で詰まりが多ければ、第1段を3週に延ばして検定日を1月か3月にずらします。逆に土台に不安がなければ、第2段と第3段を1週ずつ縮めて、過去問の回数を増やします。延ばすか縮めるかの判断は、1週間に1度、間違えた問題の数で行います。

例題で確かめる

自作の例題を3問置きます。いずれも準2級の範囲の中心にある型で、解き方の順番を体に入れるために使います。

例題1。2次関数 y = x² − 6x + 5 について、頂点の座標を求め、1 ≤ x ≤ 4 のときの最大値と最小値を求めます。

まず平方完成します。x² − 6x + 5 = (x − 3)² − 9 + 5 = (x − 3)² − 4 なので、頂点は (3, -4) です。x² の係数が正なので、グラフは下に凸、つまり上に開いた形です。定義域 1 ≤ x ≤ 4 の中に軸 x = 3 が入っているので、最小値は頂点で、x = 3 のとき -4 です。最大値は定義域の両端のうち軸から遠い方で決まります。x = 1 のとき y = 1 − 6 + 5 = 0、x = 4 のとき y = 16 − 24 + 5 = -3 なので、最大値は x = 1 のとき 0 です。答えは、頂点 (3, -4)、最大値 0（x = 1）、最小値 -4（x = 3）です。

例題2。三角形 ABC で AB = 5、AC = 8、角 A = 60° のとき、辺 BC の長さと三角形の面積を求めます。

2辺とその間の角がわかっているので余弦定理を使います。BC² = AB² + AC² − 2 × AB × AC × cos A = 25 + 64 − 2 × 5 × 8 × (1/2) = 89 − 40 = 49 なので、BC = 7 です。面積は S = (1/2) × AB × AC × sin A = (1/2) × 5 × 8 × (√3/2) = 10√3 です。cos60° = 1/2、sin60° = √3/2 は暗記ではなく、1辺が2の正三角形を半分にした直角三角形の図から出します。この図が描ければ、30°と60°の値はいつでも取り出せます。

例題3。5人の小テストの得点が 4、6、7、9、14 のとき、平均値と分散を求めます。

平均値は (4 + 6 + 7 + 9 + 14) ÷ 5 = 40 ÷ 5 = 8 です。分散は各値と平均の差を2乗して平均したものなので、差は -4、-2、-1、1、6、その2乗は 16、4、1、1、36 で、合計 58 です。58 ÷ 5 = 11.6 が分散です。標準偏差は分散の正の平方根なので √11.6 で、小数で答えるよう指示があれば指示に従います。データの分析は計算そのものは易しく、何を何で割るかを間違えなければ取れる単元です。

3問に共通するのは、手順が決まっていることです。平方完成、余弦定理、分散の定義。この3つは、見た瞬間に手が動くまで繰り返す価値があります。2次では、この手順の途中式を省かずに書くことがそのまま得点になります。

まちがえやすいところ

準2級の答案で繰り返し見る誤りを3つ挙げます。どれも知識の不足ではなく、符号と向きの取り違えです。

1つ目は頂点の符号です。y = (x − 2)² − 1 の頂点を (-2, -1) と書く誤りです。図3のように、このグラフの軸は x = 2 で、頂点は (2, -1) にあります。括弧の中が x − 2 のとき、x = 2 を入れると括弧が 0 になるので、頂点の x 座標は 2 です。括弧の中の符号と逆、と覚えるより、括弧を 0 にする x、と覚える方が、x + 3 の形でも間違えません。

図3の放物線は x 軸と x = 1、x = 3 で交わり、y 軸とは y = 3 で交わります。頂点を (-2, -1) と置くと、この3つの交点のどれとも合いません。頂点を出したら、x = 0 を入れた値がグラフの y 切片と合うかを一度確かめる習慣をつけると、符号の誤りはその場で見つかります。

2つ目は鈍角の三角比の符号です。cos120° を 1/2 と答える誤りです。単位円で 120° の点を取ると、x 座標は負の側にあるので cos120° = -1/2 です。sin120° = √3/2 は正、tan120° = -√3 は負です。90° を超えると sin は正のまま、cos と tan は負になる。この1行を、単位円の図と一緒に覚えます。余弦定理で角が鈍角のときは、cos の値が負なので、引くが足すに変わります。ここで符号を落とすと、辺の長さが実際より短く出ます。

3つ目は2次不等式の向きです。x² − 5x + 6 > 0 を解いて 2 < x < 3 と答える誤りです。左辺を因数分解すると (x − 2)(x − 3) > 0 で、グラフが x 軸より上にある範囲を聞いているので、答えは x < 2 または 3 < x です。2 < x < 3 はグラフが x 軸より下にある範囲で、不等号が < のときの答えです。不等式を解いたら、範囲の中の数を1つ入れて確かめます。x = 0 を入れると 6 > 0 で成り立つので、0 を含む x < 2 が正しい側だと確かめられます。

3つとも、答えを出した後に1つ代入して確かめるだけで防げます。1次は50分で15問なので、全問を確かめる時間はありません。確かめるのは、符号が関わる問題だけに絞ります。

確かめの問題

例題と同じ型の2問と、整数の性質の1問です。時間を計って解いてから、答えと解説を読みます。

• 問1。2次関数 y = -x² + 4x + 1 について、0 ≤ x ≤ 3 のときの最大値と最小値を求めます。
• 問2。三角形 ABC で AB = 3、BC = 5、角 B = 120° のとき、辺 AC の長さを求めます。
• 問3。108 の正の約数の個数を求めます。

答えと解説

問1の答えは、最大値 5（x = 2）、最小値 1（x = 0）です。平方完成すると y = -(x − 2)² + 5 で、x² の係数が負なので上に凸、頂点 (2, 5) が最大です。定義域 0 ≤ x ≤ 3 に軸 x = 2 が入っているので最大値は 5 です。最小値は両端のうち軸から遠い x = 0 で、y = 1 です。x = 3 では y = -9 + 12 + 1 = 4 で、こちらは最小ではありません。上に凸のときは最大と最小の役割が例題1と入れ替わります。

問2の答えは AC = 7 です。余弦定理で AC² = AB² + BC² − 2 × AB × BC × cos B = 9 + 25 − 2 × 3 × 5 × (-1/2) = 34 + 15 = 49 です。cos120° = -1/2 なので、引き算が足し算に変わる所がこの問題の要です。ここを 34 − 15 = 19 としてしまうと、AC = √19 という誤った答えになります。

問3の答えは 12 個です。108 を素因数分解すると 108 = 2² × 3³ です。約数の個数は指数にそれぞれ 1 を足して掛けるので、(2 + 1) × (3 + 1) = 12 です。整数の性質は準2級の範囲に含まれ、素因数分解さえ正確なら短い時間で取れる問題です。素因数分解は 2 で割れるだけ割り、次に 3 で割れるだけ割る、と小さい素数から順に進めます。

次に受ける級と入試での扱い

準2級に合格したら、次は高校2年程度の2級です。2級の範囲は数学Ⅱと数学Bに当たり、三角関数、指数と対数、微分と積分、数列、ベクトルが加わります。準2級の2次関数と三角比はそのまま2級の土台になるので、合格してから間を空けずに次の範囲へ進む方が、忘れる前に積み上がります。

高校入試や大学入試で準2級がどう扱われるかは、学校や入試の種類ごとに違います。出願の条件や加点の対象になるかどうかは、志望する学校の募集要項でその年の記載を確かめます。検定の合格そのものより、準2級の範囲が数学Ⅰ・Aと重なることの方が、入試に向けた準備としては実質的な意味を持ちます。

個別指導では、準2級を目指す高1の生徒に、まず2次関数の平方完成と三角比の符号を5問ずつ解いてもらい、どこで手が止まるかを見ます。そこで中3の因数分解や平方根まで戻るかどうかを決め、戻る必要があるときは2週間だけ中学の範囲を扱ってから高1の内容に進みます。

まとめ

準2級は、高1の秋に習っている2次関数と三角比を、1次の計算と2次の記述の両方で仕上げる級です。頂点の符号、鈍角の cos の符号、2次不等式の向き。この3つを代入して確かめる癖で封じれば、定期テストの直しと検定の対策は8週間で一つにまとまります。高1の秋に落とした点を取り返す場所が、準2級の答案用紙です。