数検3級—中3程度の範囲、高校入試と重なる所｜武蔵野個別指導塾

中3程度の数検3級を、1次50分30問と2次60分20問というかたち、検定料4,900円、夏休み6週の進め方、平方根と二次方程式と三平方の定理の自作例題で確かめてから申し込めます。

数検3級は、公益財団法人 日本数学検定協会の実用数学技能検定のうち、中学校3年程度にあたる級です。先に要点を表にまとめます。

1次と2次の両方に合格して、3級の合格になります。片方だけ合格したときは、次に受けるときにその側の免除を申請するしくみがあります（1〜5級）。出題の中心は、平方根、式の展開と因数分解、二次方程式、三平方の定理、円の性質、相似比と面積比・体積比、簡単な二次関数、簡単な統計で、中学1年と2年の内容も出ます。3級は残りのどの回でも受けられますが、会場は検定日ごとに違うので、申し込む前に協会の案内で確かめてください。

よくあるのは、中3の夏休み、部活を引退した翌週に、机の上に学校のワークと数検の案内が並んでいる、という場面です。入試の勉強を始めたい気持ちはあるのに、何から手をつけるかが決まらないまま、午前中が過ぎていきます。そこで「冬の数検3級に出す」と決めると、夏休みの6週間で中学3年分の数学を一周する理由ができます。3級の範囲は高校入試の数学の範囲と大きく重なるので、検定の勉強が入試の勉強の二度手間になりません。

試験のかたちと範囲

数検3級は、1次の計算技能検定と2次の数理技能検定に分かれます。図1のように、1次は50分で30問、2次は60分で20問です。はじめて受けるときは両方を受け、同じ日に続けて行われます。合格基準は、1次が全問題の70%程度、2次が全問題の60%程度で、30問の70%は21問、20問の60%は12問にあたります。目安として、1次は30問のうち21問、2次は20問のうち12問を正しく答えるつもりで準備すると、基準の線が具体的な数になります。

1次は計算が中心です。平方根の計算、式の展開と因数分解、二次方程式を解く、連立方程式を解く、一次関数の式を求める、といった問題が短く並びます。1問にかけられる時間は、50分を30問で割って1分40秒です。考え込む問題ではなく、手が止まらずに動くかどうかが試されます。図1の左の箱に書いた「70%程度」は、30問のうち9問までなら落としても届く数ですが、計算のミスが2問、やり方を知らない問題が3問と積み上がると、残りの余裕はすぐに消えます。

2次は数理技能、つまり文章題と図形と関数の応用です。問題文を読んで式を立てる、三平方の定理で長さを求める、相似を使って面積の比を出す、途中の考え方を書く、という形です。1問にかけられる時間は60分を20問で割って3分で、1次より1問の重さがあります。途中の式や考え方を書かせる問題が入るので、答えだけを書く練習をしてきた人は、ここで初めて「なぜそうなるか」を書く練習が要ることに気づきます。

範囲は中学校3年程度を中心に、中学校2年程度と中学校1年程度の内容も含みます。協会の案内では、3年程度の内容として平方根、式の展開と因数分解、二次方程式、三平方の定理、円の性質、相似比、面積比、体積比、簡単な二次関数、簡単な統計が挙げられ、2年程度の内容として文字式の計算、連立方程式、一次関数、平行線の性質、三角形の合同条件、四角形の性質、確率の基礎が、1年程度の内容として正の数と負の数、文字を用いた式、一元一次方程式、作図、空間図形、比例と反比例、度数分布が挙げられています。三平方の定理と円の性質は、多くの中学校で3年の後半に習います。夏休みの時点では、まだ学校で習っていない単元を自分で進めてから受けることになります。冬の早い回に出すなら、夏と秋で三平方の定理と円の性質まで自分で終える必要があります（今年度の 12月5日の回は申込が終わっています）。1月16日、2月12日、2月13日、3月6日の回なら、学校の進度に追いついてから受けられます。

高校入試と重なるのはここです。公立高校の入試の数学は中学3年間の範囲から出題され、その中心は3級の範囲と同じ平方根、二次方程式、関数、相似、三平方の定理です。3級の対策で解いた問題は、そのまま入試の基礎問題の練習になります。逆に言えば、3級の1次で落とした計算は、入試の最初の大問で落とす計算と同じものです。

合格までの進め方

順番は、中1・中2の計算の確認、中3の単元を順に進める、過去問を時間を測って解く、間違いを分けて直す、の4つです。図2のように、夏休みの6週間を4つの区切りに分けると、どの週に何をするかが決まります。

第1週と第2週は、中1と中2の計算の確認にあてます。正の数と負の数、文字式、一次方程式、連立方程式、一次関数の式を求める問題です。中3の内容を先に始めたくなりますが、1次の30問には中1と中2の内容がまとまった数で出ます。ここを落とすと、中3の単元が解けても70%に届きません。1日の量の例は、計算問題20問を20分で解き、間違えた問題だけをその日のうちにもう一度解くことです。20問を20分で解くのは、1次の1問1分40秒より速い目安で、本番で時計を見ても慌てない速さを夏のうちに作るためです。

第3週と第4週は、中3の単元です。平方根、式の展開と因数分解、二次方程式、二次関数、相似、円の性質、三平方の定理の順に進めます。この順にする理由は、平方根の計算が二次方程式の解に使われ、相似の考え方が三平方の定理の証明や応用に使われるからです。まだ学校で習っていない単元は、教科書の例題を手で写すところから始めます。1日の量の例は、新しい単元を1つ、例題3問と練習問題10問で40分です。2週間で7つの単元を一周するには、この2週間だけ週に7日、2日で1つの単元を進めます。

第5週は、過去問を時間を測って解きます。協会のサイトには、3級の1次と2次の検定問題と模範解答が公開されています。1次は50分、2次は60分を時計で測り、途中で止めずに最後まで解きます。理由は、時間の配分を体に入れるためです。家で解くと、わからない問題で5分も10分も止まってしまいますが、本番の1次では1問に1分40秒しかありません。わからない問題は飛ばして、最後に戻る習慣をここで作ります。

第6週は直しです。間違えた問題を、計算のミス、やり方を知らない、問題文の読み違い、の3つに分けます。計算のミスなら、同じ型の計算を10問追加で解きます。やり方を知らないなら、教科書の該当する単元に戻って例題を解き直します。問題文の読み違いなら、問題文の数と求めるものに印をつけながら読み直します。分け方を変えると、直し方が変わります。どれも「もう一度解く」で済ませると、同じ間違いが本番で出ます。

1日の時間は40分から60分、週に5日で、夏休みの6週間に20時間から30時間です。これを冬の検定日まで続けるのではなく、9月からは週に2日、1回30分の計算の練習に減らします。学校の進度に合わせて三平方の定理と円の性質を習ったら、そこだけ第3週と同じやり方でもう一度通します。

例題で確かめる

例題は3問です。平方根の計算、二次方程式の文章題、三平方の定理の順で、3級の1次と2次の両方の型を含みます。手順を書いた上で、答えを示します。

例題1は平方根の計算です。次の2つを計算します。

• 1. √48 − √27 + √3
• (2) (√6 + 2)(√6 − 3)

1. の手順は、まず根号の中を素因数分解して、平方数を外に出すことです。√48 = √(16 × 3) = 4√3、√27 = √(9 × 3) = 3√3 なので、4√3 − 3√3 + √3 = 2√3 です。答えは 2√3 です。(2) は展開の公式ではなく、1つずつ分配します。√6 × √6 = 6、√6 × (-3) = -3√6、2 × √6 = 2√6、2 × (-3) = -6 です。足し合わせて 6 − 6 − 3√6 + 2√6 = -√6 です。答えは -√6 です。(2) で 6 − 6 = 0 になるのは偶然ではなく、√6 の2乗が6になることを使う問題の作りで、1次ではこの型がよく出ます。

例題2は二次方程式の文章題です。縦が横より 3cm 長い長方形があり、面積は 40cm² です。横の長さを求めます。

手順は、横の長さを x cm とおき、縦を x + 3 で表して、面積の式を立てることです。x(x + 3) = 40 を整理すると x² + 3x − 40 = 0 になり、因数分解して (x + 8)(x − 5) = 0 です。解は x = -8 と x = 5 ですが、長さは正の数なので x = 5 です。答えは横 5cm で、縦は 8cm です。確かめは 5 × 8 = 40 で合います。2次でこの型が出たときは、x = -8 を捨てた理由を「x は長さなので x > 0」と一言書きます。解を2つ出して片方を捨てる、その理由を書く、ここまでが答案です。

例題3は三平方の定理です。直角三角形があり、斜辺が 13cm、直角をはさむ一辺が 5cm です。もう一方の辺の長さと、この三角形の面積と、直角の頂点から斜辺に引いた垂線の長さを求めます。

手順は、三平方の定理で残りの辺を出すことから始めます。斜辺が 13 なので、13² = 5² + a² より a² = 169 − 25 = 144 で、a = 12cm です。面積は、直角をはさむ2辺が底辺と高さになるので、5 × 12 ÷ 2 = 30cm² です。垂線の長さを h とすると、斜辺 13 を底辺と見ても面積は同じ 30 なので、13 × h ÷ 2 = 30 より h = 60/13cm です。小数にすると約 4.62cm です。答えは、辺 12cm、面積 30cm²、垂線 60/13cm です。面積を2通りに見る考え方は、2次の図形の問題で繰り返し使います。答案には、どの辺を底辺と見たかを「斜辺 13 を底辺とすると」のように一言書くと、採点する側に式の意味が伝わります。

まちがえやすいところ

3級で多い誤りは3つです。どれも、知らないのではなく、知っていることを急いで使うときに起きます。

1つ目は、平方根の足し算で根号の中を足してしまうことです。√9 + √16 を √25 としてしまう誤りで、正しくは √9 = 3、√16 = 4 なので 3 + 4 = 7 です。√25 = 5 と答えると、本当の値 7 と食い違います。根号の中どうしを足したり引いたりしてよい式はなく、足し算と引き算は、根号の中をそろえてから係数を足し引きします。かけ算と割り算は根号の中でまとめてよいので、足し算との違いが頭の中で混ざるのが原因です。

2つ目は、二次方程式を解くときに両辺を x で割って解を落とすことです。x² = 5x を両辺 x で割って x = 5 とすると、x = 0 が消えます。正しくは x² − 5x = 0 と移項して x(x − 5) = 0 と因数分解し、x = 0 と x = 5 の2つを出します。1次の30問にこの型が入っていると、答えが1つしか書けていない時点で1問分を失います。文字で割るときは、その文字が0でないことが決まっているかを先に見ます。

3つ目は、三平方の定理で斜辺を取り違えることです。図3のように、斜辺は直角の向かい側にある辺で、3つの辺のうち一番長い辺です。例題3の三角形なら、13 が斜辺で、5 と 12 が直角をはさむ辺です。問題文に「斜辺」と書いていないとき、図の中で一番長く見える辺を斜辺にしてしまい、5² + 13² = a² と立ててしまう誤りが起きます。定理の形は、斜辺の2乗が他の2辺の2乗の和です。図を見て直角の位置を確かめ、その向かいの辺に印をつけてから式を立てます。

図3の緑の線は、例題3で求めた直角の頂点から斜辺への垂線で、長さは 60/13 です。この垂線は斜辺より短く、直角をはさむ2辺のどちらよりも短い線になります。図の中でその関係が崩れていたら、計算のどこかで斜辺を取り違えています。

確かめの問題

例題と同じ型で、数を変えた3問です。答えを見る前に、例題の手順を思い出しながら解いてみてください。

• 問1 次を計算する。(1) √50 − √18 + √8　(2) (√7 + 1)(√7 − 2)
• 問2 (1) 二次方程式 x² − 7x + 10 = 0 を解く。(2) 連続する2つの正の整数があり、その積が 72 である。2つの整数を求める。
• 問3 直角をはさむ2辺が 8cm と 15cm の直角三角形がある。斜辺の長さと、直角の頂点から斜辺に引いた垂線の長さを求める。

答えと解説

問1の (1) は、√50 = 5√2、√18 = 3√2、√8 = 2√2 なので、5√2 − 3√2 + 2√2 = 4√2 です。(2) は分配して √7 × √7 = 7、√7 × (-2) = -2√7、1 × √7 = √7、1 × (-2) = -2 で、7 − 2 − 2√7 + √7 = 5 − √7 です。

問2の (1) は、因数分解して (x − 2)(x − 5) = 0 なので、x = 2 と x = 5 です。確かめは 2² − 14 + 10 = 0 と 5² − 35 + 10 = 0 で合います。(2) は、小さい方の整数を n とおくと n(n + 1) = 72 で、n² + n − 72 = 0 を因数分解して (n + 9)(n − 8) = 0 です。n は正の整数なので n = 8 で、答えは 8 と 9 です。確かめは 8 × 9 = 72 です。

問3は、斜辺を c とすると c² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289 で、c = 17cm です。面積は 8 × 15 ÷ 2 = 60cm² で、垂線の長さを h とすると 17 × h ÷ 2 = 60 より h = 120/17cm、約 7.06cm です。垂線は 8cm より短くなっているので、斜辺の取り違えはありません。

次に受ける級と入試での扱い

3級の次は準2級で、目安は高校1年程度です。中学の内容を土台に、二次関数の一般形、三角比、場合の数と確率が加わります。3級を中3の冬までに取ったなら、準2級は高校の数学Ⅰと数学Aを習い終える高1の終わりを目安にすると、学校の進度と検定の範囲が重なります。

高校入試で3級がどう扱われるかは、学校によって違います。調査書に記載する学校、出願の条件や加点に関わる学校、まったく扱わない学校があり、その年の募集要項で確かめる必要があります。扱いの有無にかかわらず、3級の対策で解いた平方根や二次方程式や三平方の定理の問題は、入試の数学の基礎問題そのものです。

個別指導では、3級の問題を解いてもらう前に、正の数と負の数の計算と一次方程式から順に確かめて、どこまで戻るかをお子さまごとに決めます。中3の単元が解けない原因が中1の計算にあることが多いからです。

まとめ

数検3級は、1次 50分 30問を70%程度、2次 60分 20問を60%程度で合格する、中学校3年程度の検定です。検定料は個人受検で 4,900円、これから申し込める回は 2027年1月16日、2月12日、2月13日、3月6日です。夏休みの6週間を、中1・中2の計算、中3の単元、時間を測る過去問、間違いの分け方による直し、の4つに分けて進めれば、範囲は一周します。中学3年分の数学を自分の手で一周した印は、入試の前の机の上に合格証として残ります。